МУ к лабораторным работам (1238837), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Неявная шеститочечная схемаCеточный шаблон:p + 1, m 1 p + 1, m p + 1, m + 1****p, m*p, m 1*p, m + 1Разностная схема:p 1ump 1pump 1ppu m 1  u m 1  u m1  u m14hp 1 / 2 fmp = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,,p = 1, 2, …, P.Значения сеточной функции в точках xM рассчитываются посхеме «явный левый уголок».Порядок аппроксимации: O(  2  h 2 ).Cхема устойчива при любых соотношениях между шагамисетки  и h.1299.19. Точное решение задачи Кошидля однородного уравненияУкажем случай, когда известно решение краевой задачи (9.1а), иможно сравнивать приближенное решение с точным.Зададим функцию (x) :   x  .Непосредственно проверяется, что при условияхu ( x, 0)  ( x ),0  x  X,u ( 0, t )  ( t ),0t Tточное решение рассматриваемой краевой задачи задается следующей формулой:u ( x, t )  ( x  t ).9.20.

Порядок выполнения работы1. Исследуйте поведение численного решения в зависимости отизменения числа Куранта r   / h.Для однородного уравнения переноса (с нулевой правойчастью) с установленным разбиением отрезка [0, T] получитечисленное решение задачи (9.1a) с третьим типом начальныхусловий (см. пункт меню «Параметры»), используя следующиеразностные схемы (см. пункт меню «Методы»):1) явный левый уголок (r = 1; 0,5; 1,01);2) явная четырехточечная схема (q = 0,5; r = 1; 0,5; 1,01);3) неявная четырехточечрая схема (r = 1; 0,5; 1,01);4) неявная шеститочечная схема (r = 1; 1,01);5) явный правый уголок (r = 0,5);6) неявный правый уголок (r = 0,5; 1,01).Сравните полученные численные решения с точным.

Объяснитеразницу в поведении численных решений при различных значениях числа Куранта. Расчеты проводите последовательно поразным схемам с одним установленным значением числа Куранта, затем установите следующее значение r и т. д.2. Исследуйте поведение численного решения в зависимости отизменения сеточных параметров (, h). Для однородного уравнения и второго типа начальных данных проведите расчеты последующим разностным схемам (N — количество разбиений отрезка интегрирования):1) явный левый уголок (N = 16; r = 0,5);1302) явная четырехточечная схема (q = 0,5; N = 16; r = 0,5);для (q = 0,5; N = 30) расчетным путем подберите шаг повремени (   rh ) такой, чтобы эта схема была устойчивой;3) неявный левый уголок (N = 16; r = 0,5);4) неявная шеститочечная схема (N = 16; r = 0,5);5) явная центральная трехточечная схема (N = 80; r = 1; 0,1;0,01; 0,001);Обратите внимание на отсутствие сходимости к точномурешению, если при измельчении сетки выполняется соотношение   h 2 .

Объясните это явление, исследовав схему на аппроксимацию.3. Исследуйте поведение численных решений уравнения переноса в зависимости от типа начальных данных. Для всех четырех типов начальных данных проведите расчеты по схемам:1) явный левый уголок;2) явная четырехточечная схема;3) схема «чехарда»;4) неявный левый уголок;5) неявная четырехточечная схема;6) неявная шеститочечная схема.Объясните поведение этих схем при использовании различныхтипов начальных данных.4.

Исследуйте влияние на численное решение дополнительного краевого условия на правой границе области интегрирования ( x  X ). Для задачи 2 проведите расчеты (при r = 0,9; r = 2)c использованием неявной четырехточечной схемы и всех указанных в меню краевых условиях.5. Методы регуляризации численных решений с большимиградиентами по координатной переменной:5.1. Гибридная схема. Для установленного разбиения отрезка[0, T] и начальных условий третьего и четвертого типов расчетным путем подберите наилучшее значение (в смысле близости кточному решению) коэффициента  в формуле перехода от однойсхемы к другой (явной четырехточечной и левого уголка).

Предварительно проведите численные расчеты при  = 0 и  = 100(предельные случаи). Объясните поведение гибридной схемы.5.2. Схема с искусственной вязкостью. Проведя исследованиеявной четырехточечной схемы на устойчивость, численно опре131делите наилучшее значение коэффициента q (в смысле близости кточному решению). Используйте третий тип начальных данных.9.21. Библиографическая справкаПодробнее о разностных схемах для решения модельного уравнения переноса см. в [1–4, 27, 31]. Уравнение переноса является хорошей моделью уравнений газовой динамики, поэтому на его примере проводится изучение свойств разностных схем газовой динамики и тестирование задач механики сплошных сред [33–37].Гибридные схемы были предложены Р.П.

Федоренко (см.[2] и библиографическую справку в ней). В настоящее времяподходы, связанные с применением гибридных схем, активноразвиваются.132Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 10ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ10.1. ВведениеРабота предоставляет возможность познакомиться с разностными методами решения типичных задач для одномерного гиперболического уравнения второго порядка (на примере задачи омалых колебаниях тонкой струны):  f (t , x ),u tt  a 2u xx0  x  1,u( x, 0)  1 ( x),u t (0, x)   2 ( x ),u (t , 0)  1 (t ),u (t , 1)   2 (t ).t  0,(10.1)Обсуждаются:1) способы конструирования разностных схем для решениязадачи (10.1);2) вопросы аппроксимации начальных и краевых условий;3) последовательность вычислений.10.2.

Дифференциальная краевая задачаВ работе рассматривается следующая задача:  f (t , x ),utt  a 2u xx0  x  1,u (0, x )  1( x),ut (0, x)  2 ( x),u (t , 0)  ψ1(t ),u (t , 1)  ψ 2 (t ).t  0,13310.3. Сеточная областьДля рассмотренной задачи:W h  [(t p , xm )],p = 0, 1, ..., P,pu h  [u m ], p = 0, 1, ..., P,m = 0, 1, …, M,m = 0, 1, …, M,pгде u m — компонента сеточной функции, относящаяся к узлу(t p , x m ), t p  p,  — шаг по времени, P  T , xm  mh, h —шаг по координате, Mh  1.10.4.

Разностная задача (разностная схема)Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возможных разностных схем имеет вид:p 1umppp 1 2u m  u m2 a2p = 1, 2, …, P – 1;0  ,um1mppu0  1 ,ppuM  2 ,ppu m 1  2u m  u m1h2p fm ,m = 1, 2, …, M – 1;0u 1m  u m   2m ,m = 0, 1, …, M;p = 1, 2, …, P;p = 1, 2, …, P.10.5. Шаблон разностной схемыp + 1, mРассмотренная разностная схема при*заданных m и p связывает значениярешения в четырех точках сетки, ко- **торые образуют конфигурацию, на- p, m 1 p, mзываемую шаблоном рассматриваеp *1, mмой схемы.*p, m + 110.6. Ошибка аппроксимации (невязка)Представление о величине невязки легко получить, если задатьопорную точку и представить значения [u (t , x )], входящие в134pвыражение для f h (или f m ), в виде разложения в ряды Тейлора относительно этой точки.

Например, выбирая в качествеопорной точку (t p , x m ), для рассмотренной в п. 10.4 разностнойсхемы получим|| f h ||  O(  2  h 2 ).За м еча ние. Схема «крест» для волнового уравнения имеет порядок аппроксимации, определяемый порядком аппроксимацииначальных условий. Он может быть и ниже второго порядка пообоим переменным, достигаемого во внутренних точках.10.7. Спектральный признак устойчивостиПодробнее о спектральном признаке устойчивости см.

в теоретической справке к работам 9–11.Для однородной разностной задачи ищем решение в видеpu m   p eim .Подставляя это решение в разностные уравнения, получим  2 1/ 2 a2e i  2  e ih2 0,или 2 2 a 22  2  1 sin 2    1  0.2 h2Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дискриминантD() 4 2 a 2   2 a 2h2 sin 2  1 sin 2 h222квадратного уравнения отрицателен, то корни 1 (),  2 ()комплексно-сопряженные и равны единице по модулю.Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство|  |  1, т.

е. когда {, h} выбраны так, чтоa 22h2 1.13510.8. Способы конструирования разностных схемдля задачи (10.1)10.8.1. Непосредственная аппроксимация задачи (10.1) на сеточной области. Сеточная областьW ( h )  {(t p , xm ),p  0, 1,  , M  1 / h},t p  p,xm  mh, — шаг по времени, h — шаг по координате x;pu ( h )  {um ,p  0, 1,  ; m  0, 1,  , M }p— искомая сеточная функция; u m — значение сеточной функции, относящееся к узлу (t p , xm ).Схема «Крест».

Характеристики

Список файлов книги