МУ к лабораторным работам (1238837), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Шаблон разностной схемыp + 1, mРассмотренная разностная схема при*заданных m и p связывает значениярешения в четырех точках сетки, кото*рые образуют конфигурацию, называе- p*, m 1 p, mмую шаблоном схемы.*p, m + 111.6. Спектральный признак устойчивостиДля широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощьюспектрального признака, который в случае разностной задачи спостоянными коэффициентами, состоит в следующем.Заменяем правую часть разностного уравнения в (11.1a) нулем, краевую задачу — задачей Коши, функцию  m — гармоникой e im и ищем решение в видеpu m   p e im(для задач с одной пространственной переменной),  — произвольное число, 0    2π.Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобыспектр    () лежал в круге |  |  1  c, где c не зависит от .Подставляя u mp   p e im в рассмотренное разностное уравнение, получим: 1 a2e im  2  e imh2 0,или  14a 2 h2sin 22.Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство|  |  1, т.

е. когда , h выбраны так, что a 2 / h 2  0,5.15311.7. Шеститочечная параметрическая схемаСеточный шаблон:p + 1, m 1 p + 1, m p + 1, m + 1***p, m***p, m 1p, m + 1Разностная схема:p 1umpuma2h2p 1p 1[ (u m 1  2u mp 1 u m1 ) pp = 0, 1, …, P – 1;0  ,ummppp 1 / 2,m = 0, 1, …, M;pp = 1, 2, …, P;u0  1 ,pp (1  )(u m 1  2u m  u m 1 )]  f mm = 1, 2, …, M – 1;puM  2 ,p = 1, 2, …, P.где 0    1 — параметр схемы. = 0 — явная четырехточечная схема; = 1 — неявная четырехточечная схема; = 1/2 — схема Кранка–Николсона.Метод решения полученной системы линейных уравнений сматрицей трехдиагональной структуры — прогонка.Порядок аппроксимации: = 1/2:O(  2  h 2 ), = 0; 1:O(   h 2 ), = 1/6:O(   h 4 ).Введем обозначенияK  a 2r,rh2.Схема устойчива при любых К, если   1/2; при 0    1 / 2схема устойчива, если154h22a 2 (1  2).11.8.

Схема Франкела–ДюфортаСеточный шаблон:p + 1, m**p, m*1p, m + 1*p 1, mРазностная схема:p 1umpp 1 um a22p 1u m 1  [u mp 1 ump]  u m1h2p = 1, 2, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;ppp = 1, 2, …, P;u0  1 ,pp fm ,pp = 1, 2, …, P.uM  2 ,Значения функции на втором слое по времени рассчитываютсяпо явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитываетсяпо ее значениям на двух предыдущих нижних слоях: p и p – 1.Порядок аппроксимации: O ( 2  h 2   2 / h 2 ).Cхема устойчива при любых K  a 2 r , r   / h 2 .11.9. Схема РичардсонаСеточный шаблон:p + 1, m**p, m 1*p, m*p, m + 1*p 1, m155Разностная схема:p 1umpp 1 um a22ppu m1  2u m  u m1h2p fm ,p = 1, 2, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;ppp = 1, 2, …, P;u0  1 ,ppp = 1, 2, …, P.uM  2 ,Значения сеточной функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижнихслоях p и p – 1.Порядок аппроксимации: O(  2  h 2 ).Cхема неустойчива при любых K.11.10.

Явная центральная четырехточечная схемаСеточный шаблон:p + 1, m****p, m 1p, mp, m + 1Разностная схема:p 1um a2ppu m1  2u m  u m1h2p fm ,p = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;ppu0  1 ,ppuM  2 ,156pp ump = 1, 2, …, P;p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p.Порядок аппроксимации: O(   h 2 ).Cхема устойчива при K  1/ 2.11.11. Схема Алена–ЧенаСеточный шаблон:p + 1, m****p, m 1p, mp, m + 1Разностная схема:p 1umpp um a2p 1u m1  2u mp u m1h2p fm ,p = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;ppp = 1, 2, …, P;u0  1 ,ppp = 1, 2, …, P.uM  2 ,Значения сеточной функции на верхнем временном слое находятся по ее значениям на нижнем слое, поскольку разностноеуравнение разрешается относительно u mp 1.Порядок аппроксимации: O (  h 2  /h 2 ).Схема устойчива при любых K.11.12.

Нецентральная явная схемаСеточный шаблон:p + 1, m**p, m 2*p, m 1*p, m157Разностная схема:p 1umpp um a2ppu m  2  2u m1  u mh2p fm ,p = 0, 1, …, P – 1;m = 2, 3, …, M;0  ,ummm = 0, 1, …, M;ppp = 1, 2, …, P;u0  1 ,ppuM  2 ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p (значениясеточной функции в точках {m = 1; p = 1, 2, …, P} рассчитываются по шеститочечной параметрической схеме при  = 1).Порядок аппроксимации: О(   h ).Схема неустойчива при любых K.11.13. Схема СаульеваСеточный шаблон:p + 2, m**p + 2, m + 1** p + 1, m** p + 1, mp + 1, m 1p + 1, m 1**p, mp, m + 1Разностная схема:p 1ump 2ump 1pum a2 a2p = 0, 1, …, P – 2;158pp u m ]  u m1h2p 1p 1 ump 1u m1  [u mp 2u m 1  [u mp 1 ump 1 / 2 fmp 2]  u m 1h2m = 1, 2, …, M – 1;,p 3 / 2 fm,начальные и граничные условия в такой схеме реализуют следующим образом:0  ,ummpm = 0, 1, …, M;pp = 1, 2, …, P;u0  1 ,ppp = 1, 2, …, P.uM  2 ,Алгоритм численного решения задачи — «бегущий счет»:слева направо — первый этап, справа налево — второй.Порядок аппроксимации: O(  2  h 2   2 / h 2 ).Схема устойчива при любых K.11.14.

Точные решения тестовых краевых задачдля одномерного линейного уравнениятеплопроводностиВ дальнейшем мы будем сравнивать численные решения с точными решениями следующих задач.За да ча 1: ,ut  u xx0  t  T,u ( 0, x )  0,0  x  1,u (t , 0)  0,0  t  T,u (t , 1)  1,0  t  T.0  x  1,Точное решение:u (t , x )  x  22 2(1) n  (n) 1  e  n  t sin nx.n 1За да ча 2: ,ut  u xx0  t  T,u (0, x)  sin x,0  x  1,u (t , 0)  0,0  t  T,u (t , 1)  0,0  t  T.0  x  1,159Точное решение:2u (t , x )  e   t sin x.За да ча 3: ,ut  u xx0  t  T,u ( 0, x )  0,0  x  1,u (t , 0)  0,0  t  T,u (t , 1)  0,0  t  T.0  x  1,Точное решение:u (t , x ) 122[1  e   t ] sin x.11.15.

Порядок выполнения работы1. Исследуйте поведение численного решения линейного уравнения теплопроводности при изменении параметра K  a 2  / h 2(начальные и краевые условия задачи 1).Проведите расчеты по всем указанным в меню разностнымсхемам при следующих значениях параметров:1) K = 0,5;N = 50;2) K = 20;N = 50;3) K = 1,01; N = 50.Сравните полученные численные решения с аналитическим, исследуйте эти схемы на сходимость.2.

Исследуйте поведение численного решения линейного уравнения теплопроводности при изменении шага интегрирования.Проведите численные расчеты по устойчивым разностнымсхемам при следующих значениях параметров:1) N = 6,K = 1;2) N = 12,K = 1;3) N = 60,K = 1;(начальные и краевые условия задачи 1). Сравните полученныечисленные решения с аналитическим.3.

Получите численные решения задачи 2 при всех указанных вменю начальных условиях. Сравните численные решения, найденные по указанным в меню разностным схемам с точным решением160задачи 2; исследуйте расчетным путем сходимость численногорешения (при измельчении расчетной сетки) к точному.4. Получите с помощью любой из указанных разностных схемчисленное решение однородного уравнения теплопроводностипри следующих начальных краевых условиях:u ( 0, x )  0,u (t , 0)  0,u (t , 1)  sin (t )  1,при различных значениях  (N = 50, 10    100 000 ).При каком значении  решение существенно отличается отнуля только вблизи границы?5. Получите численные решения одномерного уравнения теплопроводности при следующих правых частях:1) cм.

задачу 3;2) f (t , x)   | x  1 | 1,5  x  5;33) f (t , x )  e x  1,0  x  1.6. Появление паразитных осцилляций в численных решениях. Получите численные решения уравнения теплопроводности приследующих параметрах задачи (K = 25):a) a  1,u (t , 0)  u (t , 1)  0,f (t , x)  0;u (0 , x ) 1ch {99( x  0,5)}.б) см. задачу 1.Используйте следующие разностные схемы:1) шеститочечная параметрическая:  = 0,5; 1; 0;2) схема Франкела–Дюфорта;3) схема Алена–Чена;4) схема Саульева.Какие из перечисленных разностных схем приводят к появлениюпаразитических осцилляций в численных решениях?11.16. Библиографическая справкаО разностных схемах для решения уравнения теплопроводностисм.

в [1–4, 27, 31, 32, 35, 36]. Линейное уравнение теплопроводности — хорошая тестовая задача для рассмотрения устойчивости разностных схем — как спектрального метода [1, 31, 39], таки энергетических методов [40–42].161Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 12ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА12.1.

ВведениеПростейшим уравнением в частных производных эллиптического типа является уравнение Пуассонаu 2u x2 2u y2 ( x, y ).(12.1)Пусть задана некоторая область D на плоскости, а на ее границе   D поставлено краевое условие видаu au  b  (s), n гдеn(12.2)— производная в направлении внутренней нормали,a  0, b  0, a 2  b 2  1 — некоторые числа, s — длина дуги,отсчитывается вдоль границы . Функции ( x, y ),  (s ) считаются заданными.

Требуется найти численное решение краевойзадачи (12.1), (12.2). В случае a = 1, b = 0 возникающая задачаназывается первой краевой задачей или задачей Дирихле. В случае a  0, b  1 — это вторая краевая задача или задача Неймана. В случае a  0, b  0 — это третья краевая задача. Перечисленные краевые задачи являются основными дляуравнения Пуассона. Наряду с уравнением Пуассона могут рассматриваться уравнения с переменными коэффициентами слеВ зарубежной литературе она иногда называется задачей Робена.162дующего вида: u a  x   x  y u b  ( x, y ),  yгде a  a( x, y )  0; b  b( x, y )  0; для которых также ставитсяпервая, вторая или третья краевая задача.Эллиптические уравнения применяются для описания многих стационарных состояний.

Характеристики

Список файлов книги