МУ к лабораторным работам (1238837), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

1.1, 1.2 для задачи:y   py  p,0  x  1,y (1)  1,y (0)  0.Eе точное решение y  1. Объясните полученные результаты. Найдите условие устойчивости метода прогонки для данной задачи.2. Получите численное решение следующих нелинейныхкраевых задач:2.1. y   px cos y  0,0  x  1,y (0)  0,y (1)  0,p = 1, 4, 7, 25, 50, 100;0,5y  2  0,0  x  1,2.2.

y  1  0,5 yy (0)  y0 , y (1)  0,117y 0  0,25; 0,5; 1; 1,5; 1,8; 1,9; 1,95;2.3. y   sin y  0,y (0)  0,0  x  xk ,y ( x k )  ,x k  0,5; 1; 2; 4; 6.3.Рассмотрите следующие краевые задачи:3.1. y   e y ,0  x  1,y (0)  1,y (1)  a;3.2. y    e y ,y (0)  1,0  x  1,y (1)  a.Параметр a меняется от 0 до 2. Что при этом происходит с решением задач? Почему в задаче 3.2 при значениях a > 1,4999…не работает метод линеаризации?За м еча ние.

Задача 3 подробно рассмотрена в [29].4. Рассмотреть две сингулярно-возмущенные задачи (с малымпараметром при старших производных):y   y ( y 2  1),1  x  1,y ( 1)  y (1)  2иy    y ( y 2  1),1  x  1,y ( 1)  y (1)  2 .Считаем   10 3. Какие численные методы позволят получитьрешение каждой из этих задач? Почему?8.11. Библиографическая справкаБолее детальную теоретическую справку о методах решениякраевых задач можно получить, используя книги [1–4, 7, 27, 32].Подробнее о различных вариантах метода прогонки см. в [17].118Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 9ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА9.1.

ВведениеВ этой работе Вы познакомитесь с численными методами решения дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа на примере одномерного линейного уравнения переноса, для которого рассматривается краевая задача:ut  u x  f (t , x ),t  0,u (0, x)  ( x),0  x  ,u (t , 0)   (t ),t  0.0  x  ,(9.1)На предложенных примерах Вы изучите характерные черты поведения численных решений этого уравнения в зависимости от входных данных задачи, выбора разностного метода,сеточных параметров (шагов по времени и координате).Полученные приближенные (численные) решения однородного уравнения Вы сможете сравнить с аналитическим.9.2.

Дифференциальная задачаВ работе рассматривается следующая дифференциальная задача:ut  au x  f ,0  t  T,u (0, x)  ( x),0  x  X,u (t , 0)   (t ),t  0.0  x  X,(9.1а)1199.3. Сеточная областьДля рассмотренной задачи введена равномерная сеткаW h  [(t p , x m )],p = 0, 1, …, P;m = 0, 1, …, M;в узлах которой определена сеточная функция u h :pu h  [u m ];p = 0, 1, …, P;m = 0, 1, …, M;где u mp — компонента сеточной функции, относящаяся к узлу(t p , x m ), t p  p,  — шаг по времени, P  T , xm  mh, h —шаг по координате, Mh  X .9.4. Пример разностной задачи (схемы)Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возможных разностных схем («явный правый уголок») имеет вид:p 1umpp umapu m1  u mhp fm ,p = 0, 1, …, P – 1;m = 0, 1, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.9.5.

Шаблон разностной схемыp + 1, m**p, mРассмотренная разностная схема при заданных m и p связывает значения решения втрех точках сетки, которые образуют конфигурацию «правый уголок», называемую шаб*p, m + 1 лоном этой схемы.9.6. Погрешность методаВведем в пространстве решений норму, положив например,p|| u h ||  sup | u m |,p, m120m = 0, 1, …, M;p = 0, 1, …, P.Тогда погрешность выражается формулойpp  max | [u ] m  u m | ,p, mpгде под [u]mподразумевается значение точного решения исходной дифференциальной задачи в узле (t p , xm ).9.7.

НевязкаДля рассмотренной разностной задачи соотношения при p = 0(начальные данные) при подстановке в них решения (9.1), удовлетворяются точно, а соотношения, которые получены из (9.1)заменой производных по формулам численного дифференцирования в произвольном (p, m) узле, дают компоненту ошибки аппроксимации:p 1pf m [u ] mpp [u ] map[u ] m 1  [u ] mhp fm .Представление о величине f mp легко получить, если задатьопорную точку и представить значения [u (t , x )], входящие ввыражение для f mp , в виде разложения в ряды Тейлора относительно этой точки.Выбирая в качестве опорной точку (t p , x m ), получим:pf m ppp[u ] m  [u t ] m  0,5  2 [u tt ( mh, p   )]  [u ] mpp a ([u ] m  h[u x ] m ppph22pp ( mh   h, p)]  [u ] m )  f m [u xx ([u t ] m  a[u x ] m  f m )  u tt (mh, p  ) ah2 (mh  h, p),u xxгде 0  ,   1.Для решения (9.1) выражение в первых скобках в последнем равенстве равно нулю.

Поскольку выкладки проводились121для произвольного узла (t p , x m ), получаем (в предположении ):ограниченности вторых производных utt и u xx|| f h ||  O(   h).Если  и h имеют одинаковый порядок, то || f h ||  O( h ).9.8. Спектральный признак устойчивостиДля однородной разностной задачи ищем решение в видеpu m   p eim .Подставляя его в разностные уравнения, получим 1ae ih  1h 0,или  1a ahe ih2h.В силу произвольности  отсюда получаем, что |  |  1 при всех тогда и только тогда, когда 1  a / h  0, т. е.

схема устойчиватолько, если в (9.1) a  0 и {, h} выбраны так, что | a | / h  1.Подробнее о спектральном признаке устойчивости см.Приложение 1.9.9. Явный левый уголокСеточный шаблон:p + 1, m**p, m 1*p, mРазностная схема (далее полагаем a  1 ):p 1ump umppu m  u m1p fm ,hp = 0, 1, …, P – 1;M;0  ,umm122m = 0, 1, …, M;m = 1,…,u 0p   p ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:p 1pum um ppp(u m  u m 1 )  f m .hПорядок аппроксимации: О( + h).Схема устойчива при  / h  1.9.10.

Явная четырехточечная схемаСеточный шаблон:p + 1, m**p, m 1**p, mp, m + 1Разностная схема:p 1umpp umppppu m 1  u m 1u 2u m  u m  1p q m 1 fm ,22hhp = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;где q — коэффициент искусственной (схемной) вязкости;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1при m = 1, 2, ..., M – 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:p 1ump um 2hpp(u m1  u m 1 ) 2qh2pppp(u m1  2um  u m1)  f m .123Порядок аппроксимации ( q  1 / 2 и f  0 ): O(  2  h 2 ).Схема (при q  1 / 2 ) устойчива при  / h  1.9.11.

Явная центральная трехточечная схемаСеточный шаблон:p + 1, m***p, m 1p, m + 1Разностная схема:p 1umpppu m1  u m1p 0,5(u m 1  u m1 )2hp fm ,p = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1находится по ее значениям на нижнем слое р (значения сеточной функции в точках x M рассчитываются по схеме «явныйлевый уголок»):p 1ump um ppp(u m  u m 1 )  f m .hПорядок аппроксимации: h2O   h2  . Схема устойчива при  / h  1.9.12. Гибридная схема (схема Федоренко)Сеточный шаблон:124p + 1, m**p, m 1**p, mp, m + 1Разностная схема:p 1umpp umpu m  u m1  hhppp 2  u m1  2u m  u m1p fm ,22h p = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Здесь   1 при | ump 1  2ump  ump 1 |   | ump  u mp 1 | и   0 впротивном случае ( — численно подбираемый параметр гибридной схемы).Гибридные схемы используются при расчетах процессов,имеющих особенности разрывного характера (или большие градиенты искомых функций).Вблизи областей с большими градиентами искомого решения используется схема первого порядка аппроксимации, обладающая сглаживающими свойствами (см., например, поведениечисленного решения, полученного по схеме «явный левый уголок» при начальном условии третьего типа).

В «гладких» областях расчет ведется по немонотонной схеме второго порядка аппроксимации (см., например, поведение численного решения,полученного по явной четырехточечной схеме при том же начальном условии).Значение сеточной функции на верхнем временном слоеp + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:p 1ump um hpp(u m  u m1 ) 125   2  u p  2u mp  u mp 1p     m 1 f m . h h2 2Порядок аппроксимации: O( + h).Схема устойчива при  / h  1.9.13.

Схема «Чехарда»Сеточный шаблон:p + 1, m****p, m 1p, mp, m + 1*p 1, mРазностная схема:p 1pp 1um um2pu m 1  u m 12hp fm ,p = 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Алгоритм численного решения задачи: значения сеточнойфункции на верхнем временном слое p + 1 рассчитываются поее значениям на двух нижних слоях:p 1ump 1 umhppp(u m1  u m 1 )  2f m .Порядок аппроксимации: O(  2  h 2 ).Схема устойчива при  / h  1.9.14.

Неявный левый уголокСеточный шаблон:p + 1, m 1*p + 1, m**p, m126Разностная схема:p 1ump 1p umump 1 u m1hp 1 fm0  ,umm,p = 0, …, P – 1;m = 1, …, M;m = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям в точках верхнего и нижнего pвременных слоев:pp 1ump 1p 1u m   u m 1 h  f m.1 / hПорядок аппроксимации: O( + h).Схема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки  и h.9.15. Неявный правый уголокСеточный шаблон:p + 1, mp + 1, m + 1***p, mРазностная схема:p 1ump 1p ump 1u m1  u mhp 1 fm, p = 0, …, P – 1;m = 0, …, M –1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1рассчитывается по ее значениям в двух точках верхнего и нижнего p-слоев:p 1p 1u m1  u mhp 1(u mpp 1 u m )  hf m.Порядок аппроксимации: O( + h).127Схема устойчива при  / h  1.9.16.

Неявная четырехточечная схемаСеточный шаблон:p + 1, m 1 p + 1, m p + 1, m + 1****p, mРазностная схема:p 1ump 1pump 1u m 1  u m12hp 1 fm,p = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2, …, M – 1;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p = 1, 2, …, P.Алгоритм численного решения полученной системы линейных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — метод прогонки.Для предложенного метода рассматриваются пять типовусловий на правой границе области интегрирования:1) схема «явный левый уголок»;2) схема «неявный левый уголок»;3) схема «неявный правый уголок»;4) условие «сноса» (производная сеточной функции по переменной x равна нулю);5) значение сеточной функции равно нулю.Порядок аппроксимации: O(   h 2 ).Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки  и h.9.17. Схема «прямоугольник»Сеточный шаблон:p + 1, m1 p + 1, m***p, mp, m 1128*Разностная схема:p 1pp 1u m 1  u m1  u mp um2p 1ump 1pp = 0, 1, …, P – 1;m = 1, 2,…, M;0  ,ummm = 0, 1, …, M;pu0   p ,p u m1  u m  u m 1p 1 / 2 f m 1 / 2 ,2hp = 1, 2, …, P.Значение сеточной функции на верхнем временном слое в точке(p + 1, m) рассчитывается по известным ee значениям в трех точках (p + 1, m – 1), (p, m), (p, m – 1).Порядок аппроксимации: O(  2  h 2 ).Cхема устойчива при любых соотношениях между шагамисетки  и h.9.18.

Характеристики

Список файлов книги