МУ к лабораторным работам (1238837), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Другимисловами, экстраполяция Ричардсона позволяет увеличивать наединицу точность метода.7.14. Схема второго порядка с центральной разностьюПриведем пример разностной схемы на трехточечном шаблоне:u n 1  u n 12h G n  0,n = 1, 2, …, N – 1.u0  U 0 .u1  u0  hG0 .Заметим, что схемы Рунге–Кутты относятся к двухточечным, т. е. для вычисления значения функции в точке xn 1 требуется лишь значение в точке xn .

В схеме с центральной разностью требуется знать значение в двух точках xn и xn 1. Говорят, что дифференциальное уравнение 1-го порядка в этомслучае приближено разностным уравнением 2-го порядка.Формально порядок разностного уравнения определяетсятем, какое количество начальных условий для его решения необходимо поставить.Подробнее о линейных разностных уравнениях разного порядка см. в [31].7.15. Теоремы об устойчивости методов Рунге–КуттыПриведем без доказательств три теоремы об устойчивости методов Рунге–Кутты, доказательства см.

в [2, 29].Т еор ем а 1. Пусть функция G в (7.2) удовлетворяет условиям Липшица по аргументу u с постоянной C:|| G ( x, u )  G( x, v ) ||  C || u  v ||103(эта оценка не зависит от сеточного параметра h). Пустьтакже CT  1. Тогда метод Рунге–Кутты устойчив и имеетместо оценка|| un  v n ||  eCT || u0  v 0 || 2eCTC.Здесь  — максимальная ошибка округления на данной ЭВМ,{u n } — «точное» сеточное решение задачи, {v n } — решениевозмущенной задачи, T — длина отрезка интегрирования.За м еча ние. Данный вывод не зависит от порядка метода Рунге–Кутты.

Более тонкие оценки получаются с учетом информации о характере решения [2].Введем обозначениеA*  G    . 2  u u 1  GПусть система (7.2) такова, что для всех x  [0, T ] и любоговектора y выполнено( Ay , y )   a ( y , y );a  const  0.(Такие траектории называются устойчивыми.)Т еор ем а 2. При численном интегрировании устойчивойтраектории методом Рунге–Кутты порядка k при всех x > 0погрешность метода есть O( h k ).Пусть теперь ( Ay, y )  0 для любого вектора y. Такие траектории называются «не устойчивыми» (нейтральными).Т еор ем а 3. При численном интегрировании нейтральнойсистемы методом Рунге–Кутты порядка k  2 точность метода падает на порядок при x  O(1 / h).7.16. Контрольные вопросы1. Рассматривается задача Коши:y   ay,a  const ,y ( 0)  1.Ее точное решение есть y  e ax .104Исследуйте схемы из п.

7.9, 7.14 данной работы на аппроксимацию на решении данной задачи и на сходимость.2. Рассматривается задача Коши для системы уравнений:u  v,v   u,u (0 )  v (0 )  1 .Система имеет первый интеграл (закон сохранения энергии)u22v22 1.Что будет происходить с энергией системы в случае примененияявного метода Эйлера из п. 7.5? Будет ли сохраняться энергияпри использовании схемы из п. 7.14?Что произойдет при использовании неявного метода Эйлераu n 1  u nh v n1 ;v n 1  v nh u n1 .3. Показать, что система из предыдущего вопроса «не устойчивая» (нейтральная).7.17. Порядок выполнения работы1.

Изучите поведение численных решений задачи Коши дляобыкновенного дифференциального уравнения, полученныхразными численными методами.Для одного дифференциального уравненияu x  Au  0,A  3,u (0)  1на отрезке [0, 2] получите численные решения с помощью всехуказанных в меню методов; сравните их между собой и с точным решением (шаг интегрирования h = 0,05). Получите численные решения для методов Рунге–Кутты первого и четвертогопорядка при различных значениях шага интегрирования h.Проведите численное решение задачи (при A  20 ) двумя105методами (с центральной точкой и Рунге–Кутты четвертого порядка) с h = 0,1; 0,06; 0,01; 0,001 на отрезке [0, 3].

Объясните результаты, полученные с помощью метода с центральной точкой.Т очн ое реш ен ие: x(t )  x( 0)  e 3t .2. Проведите аналогичные расчеты для системы двух уравненийu  v,v   u ,u (0 )  v (0 )  1сравните с точным решением системы (h = 0,01).Т очн ое реш ен ие: u (t )  sin t  cos t , v (t )  cos t  sin t.3. Получите численное решение «жесткой» системы уравненийu   98u  198v ,v   99u  199vu (0 )  v (0 )  1 .и сравните с точным решением. Какой шаг интегрирования необходимо взять, чтобы численное решение было устойчивым? Ожестких системах см. [2, 28, 30].Т очн ое реш ен и е: u (t )  4e t  3e 100t ,v (t )  2e t  3e 100t .4.

Получите численное решение системы двух ОДУu   A  u 2v  ( B + 1) v ,u (0)  1,v  = Bu  u 2v ,v (0)  1,A  1, B  [1, 5]двумя методами: Рунге–Кутты первого и четвертого порядка.Изучите фазовые портреты. Удалось ли Вам получить предельные циклы и бифуркацию Хопфа (при которой предельный циклвырождается в точку; при этом B  A  ( A + 1)) ?Эта система — модель Лефевра–Пригожина «брюсселя106тор». Подробнее о ней см. в [29, 30].5. Изучите поведение численного решения ОДУ второго порядка (уравнения Ван-дер-Поля):y   e ( y 2  1) y   y  0,представленного в виде системы двух ОДУ первого порядкаx  z ,z   e (1  x 2 ) z  x,e  0,или в представлении Льенараz   y, y3y  z  e  y ; 3e  0,x(0)  2,0  t  100z (0)  0,в зависимости от изменения параметра e ( 0,01  e  100 ).6.

Исследуйте поведение фазовых траекторий для системы ОДУx  y,y  x 2  1вблизи особых точек (1, 0) и (–1, 0) с помощью двух методов Рунге–Кутты (первого и четвертого порядка точности). Объясните ихповедение. Значения x(0) и y (0) варьируйте самостоятельно.7. Получите траекторию движения спутника вокруг планеты,проведя численное решение задачи двух телx  z ,y   u,z  u  x(x 2  y 2 )3 / 2y(x 2  y 2 ) 3 / 2,,107x(0)  0,5;y (0)  z (0)  0,u (0)  3  1,73на интервале времени 0  t  20 двумя методами (Рунге–Куттыпервого и второго порядка точности). Исследуйте зависимостьчисленного решения от шага интегрирования.8*. Получите численное решение ОДУ с особенностьюu =1+ u 2 ( x) ,u (0)  0.2 x9.

Методами разных порядков аппроксимации численно решитьсистему Лоренца:x     ( x  y ),y    xz  rx  y,z   xy  bz,x (0)  y (0)  z (0)  1при b  8 / 3,   10, r  28. Считаем, что 0  t  50. Объяснитьполученные результаты.У ка з а ние. О системе Лоренца см. [29].7.18. Библиографическая справкаЧисленному решению ОДУ посвящена обширная литература.Мы можем рекомендовать для первоначального ознакомлениякниги [2, 3, 4, 31]. Современные методы численного решенияописаны в [5, 29].

Теории численных методов решения жесткихсистем методами Рунге–Кутты и исследованию их на устойчивость посвящена книга [28], а обзор современных методов численного решения жестких систем см. в [5, 30]. Конечно, этолишь малая часть литературы по численному решению задачКоши, и заинтересованный читатель сможет пополнить своизнания, используя приведенную в упомянутых книгах библиографию.108Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 8ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.КРАЕВАЯ ЗАДАЧА8.1. ВведениеЭта работа знакомит с различными методами решения линейных и нелинейных краевых задач.

Отличие краевой задачи отзадачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том,что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомойфункции более чем в одной точке.Простейшим представителем краевой задачи являетсядвухточечная граничная задача, для которой граничные условиязадаются в двух точках, как правило, на концах интервала, накотором ищется решение. Двухточечные граничные задачивстречаются во всех областях науки и техники. На примерах таких задач и будет рассмотрено применение методов, обсуждаемых в настоящей работе.

В случае задания краевых условий вболее общем виде использование этих методов не представитпринципиальных затруднений.8.2. Пример краевой задачиПримером двухточечной краевой задачи является задача:y   f ( x, y, y ),0  x  1,(8.1)y (0)  Y0 ,y (1)  Y1.с граничными условиями на обоих концах отрезка 0  x  1, накотором надо найти решение y  y (x). На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решениякраевых задач.Если функция f ( x, y, y ) в (8.1) линейна по аргументам у и109y , то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелинейную краевую задачу.8.3.

Линейная краевая задачаРассмотрим частную, но довольно распространенную краевуюзадачу следующего вида:Ly  y   p( x ) y  f ( x),0  x  1,(8.2)y (0)  Y0 ,y (1)  Y1.Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения:один основан на идее численного построения общего решениялинейного дифференциального уравнения, другой (конечноразностный) сводит исходную дифференциальную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений, решениекоторых находится методом прогонки.8.4. Метод численного построения общего решенияДля нахождения решения краевой задачи (8.2) можно численопостроить решение дифференциального уравнения, представимое в видеy ( x)  C1 y1( x )  C2 y 2 ( x )  y0 ( x ),где y0 ( x ) — какое-либо решение неоднородного уравненияy   p( x) y  f ( x ),а y1 ( x) и y 2 ( x) — два любые линейно независимые решенияоднородного уравнения y   p( x) y  0.

Постоянные C1 и C 2находятся из граничных условий задачи (8.2).Так как решения y0 ( x), y1( x ), y 2 ( x) произвольны, то ихможно построить различными способами. Например, можно задать какие-то начальные условия и решить одну задачу Кошидля неоднородного и две задачи Коши для однородного уравнений. Эти условия, в частности, могут быть такими:110y0 (0)  0,y0 (0)  0 — для неоднородного уравнения;y1 (0)  1,y1 (0)  0;y 2 (0)  0,y 2 (0)  1 — для однородного уравнения.Однако при реализации этого способа, например, в случаеp( x )  1 для рассматриваемого уравнения могут возникнутьтрудности, связанные с неустойчивостью задачи Коши.

Характеристики

Список файлов книги