МУ к лабораторным работам (1238837), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Именно, произвольной симметричной и положительно определенной матрице B  B*  0, т. е. (Bf , f )  0, длялюбого вектора f  0, соответствует скалярное умножение(f , g) B  (Bf , g);f, g Rn.(6.5)Известно, что любое скалярное произведение в пространстве R n можно записать формулой (6.5), подобрав соответствующий самосопряженный оператор B  B*  0.Система (6.1), как правило, не имеет классического решения, т. е. не существует такого набора чисел b1,  , bs , которыйобращает каждое из n уравнений (6.1) в тождество.Определение.

Фиксируем B  B*  0, В: R n  R n . Введем функцию от b  R s , положив(b)  ( Ab  f , Ab  f )B .(6.6)Примем за обобщенное решение системы (6.1) вектор b  R s ,придающий наименьшее значение квадратичной форме (6.6).За м еча ние. Выбор B  B*  0 зависит от исследователя. Матрица В имеет смысл «весовой» матрицы и выбирается из техили иных соображений о том, какую цену придать невязке системы (6.1) при заданном (b1, b2 ,  , bs ).Т еор ем а 1.

Пусть столбцы матрицы А линейно независимы, т. е. ранг матрицы А равен s. Тогда существует одно итолько одно обобщенное решение b системы (6.1). Обобщенноерешение системы (6.1) является классическим решением системы уравнений89A*BA b  A*B f ,(6.7)которая содержит s скалярных уравнений относительно s неизвестных b1 , b2 ,  , bs .В дальнейшем будем иногда использовать обозначениеC  A *BA.6.3. Геометрический смыслметода наименьших квадратовПереопределенную систему Ab  f , где A  || aij ||, 1  i  n,1  j  s, n  s, можно записать в виде:b1V1  b2 V2    bs Vs  f ,гдеVi  R n—i-йстолбецматрицыA,f  ( f1 , f 2 ,  , f n ) т  R n , а вектор b  (b1 , b2 ,  , bs ) т  R s .Требуется найти коэффициенты b1, b2 ,  , bs линейнойкомбинации b1V1  b2 V2    bs Vs так, чтобы эта линейнаякомбинация наименее отличалась от f:f   bk V k min .BОбозначим через R s ( V )  R n подпространство размерности sпространства R n , состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов V1, …, Vs .Пусть b1, b2 ,  , bs — обобщенное решение переопределенной системы.

Тогда линейная комбинация bk Vk— ор-тогональная в смысле скалярного умножения (, )B проекциявектора f  R n на подпространство R s ( V ), так как любой вектор из R s ( V ) имеет вид:Aδ  1V1    1Vs  R s ( V ),Наименее уклоняется от f элементδ  Rs. bkVkподпростран-ства R s ( V ), имеющий вид Ab B , где b B — решение системы(6.7) методом наименьших квадратов (МНК).90В силу ( Ab B  f , Aδ) B  (B ( Ab B  f ), Aδ) ( n)  0 элементf  Ab B ортогонален любому элементу Aδ  R s ( V ).Если в пространстве R s вместо базиса V1, …, Vs выбрать какой-либо другой базис V1, …, Vs , то система (6.7)заменится системойC b   f (6.8)с матрицей C   || cij ||, где c ij  ( Vi , V j ) B , i , j  1, 2,  , s, иправой частью i-я компонента которой f i  (f , Vi ) B .Вместо решения b B системы (6.7) получим новое решениеbB системы (6.8), но проекция f на R s останется прежней.Если нас интересует проекция заданного вектора f на заданное подпространство R s  R n , то естественно стремиться к выбору базиса V1, V2 , …, Vs этого подпространства, по возможности мало отличающегося от ортонормированного.

Искомая проекция от выбора базиса в R s не зависит, а система МНК (6.7) вслучае такого базиса будет иметь хорошо обусловленную матрицу.6.4. Оценка обусловленности матрицы системы МНКОбусловленность линейной системы (6.7) определяется числом  || C ||  || C1 ||, которое определяет относительную погрешность решения системы в зависимости от погрешности правой части f:|| x |||| x |||| f |||| f ||,s|| C ||2  max | cij |,j i 1|| C 1 ||2 || z ||2|| y ||2s,|| z ||2  | zi |,i 1где векторы y и z определяются из решения следующих двухсистем уравнений:91C т y  e,Cz  y ,где C т — транспонированная матрица, е — вектор с компонентами 1, выбираемые так, чтобы обеспечить максимальныйрост || y ||2 на этапе обратной подстановки.6.5. Метод ГауссаРеализованный в программе прямой метод решения системыМНК (6.7) является вариантом метода Гаусса последовательного исключения неизвестных с частичным выбором ведущегоэлемента (по столбцу). Исключение по методу Гаусса состоит издвух этапов: прямого хода и обратной подстановки.

В прямомходе на k-м шаге k-е уравнение вычитается из оставшихся с целью исключения k-ого неизвестного. Обратная подстановка состоит в решении последнего уравнения относительно xn , предпоследнего — относительно xn 1 и т. д. до x1.6.6. Метод сопряженных градиентовЭто прямой метод, но может применяться и как итерационный.Подробнее см. работу [4] и библиографию к ней. Используется,если матрица линейной системы самосопряженная и положительно определенная. Матрица системы МНК как раз такая (см.п.

6.2). Метод неустойчив, если обусловленность системы достаточно велика. Обозначим матрицу системы МНК через C.s1  r1  Cb 0  f ,r n  r n1 anCsn,b n  b n 1  an s n ,s n 1  rn  g ns n ,an (rn 1 , rn 1 )(Cs n , s n ),gn ( rn , rn )(rn 1 , rn 1 ).Существенным преимуществом метода является отсутствие необходимости знания границ спектра. В точной арифметике метод сходится не более чем за n итераций, где n — размерность матрицы.926.7. Полиномы ЛежандраМногочленыP0 ( x)  1,Pi 1 P1 ( x)  x,1i 1P2 ( x) 3x 2  12((2i  1) x Pi ( x)  iPi 1 ( x )),,P3 ( x ) 5x 3  3xi = 3, 4, …2, …,(6.10)называют многочленами Лежандра.

Они ортогональны на отрезке 1  x  1, т. е.1Pk ( x) Pl ( x) dx  0,k  l;111Pk2 ( x) dx 22k  1.В программе используются многочлены, ортогональные наотрезке [a, b], a  min xi , b  max xi , получающиеся из (6.10.)iiсоответствующей заменой переменных; xi , i = 1, …, N — абсциссы точек исходных данных.6.8. Порядок выполнения работы1.

В окне «Данные и их аппроксимация» маркерами отмеченыточки с координатами ( x k , y k ), k = 1, 2, …, 5, записанные вфайле данных. По умолчанию это файл DATA\LSQ1.DAT.В этом файле записаны результаты замеров какой-либо зависимости y (x). Расположение точек позволяет приближенносчитать, что зависимость y (x ) является линейной, т. е. имеетвид y ( x)  b0  b1x. Числа b0 , b1 желательно подобрать так,чтобы при x  xk получались значения y k .

Так как измеренийбольше, чем неизвестных b0 , b1, то соответствующая системалинейных уравнений будет переопределенной и в общем случаене имеет классического решения, поскольку не существует прямой, проходящей сразу через все экспериментальные точки.93Для аппроксимации данной зависимости в меню «Параметры/Выбор системы функций» выберите строку «Полиномы1, x, x 2 , …» и в строке «количество базисных функций» установите число 2.Если считать все измерения равноправными, то весовуюматрицу В следует выбрать единичной.

Для этого в меню «Параметры/Выбор Евклидовой нормы» выберите строку «Матрица В Единичная».Если Вы сочтете разумным придать каждому измерениюсвой вес, то в меню «Параметры/Выбор Евклидовой нормы»выберите строку Матрица B произвольная и строку «редактирование матрицы».

Задайте диагональным элементам В неравные значения. Запустите задачу на счет и сравните результатырасчетов. Коэффициенты b0 , b1 можно посмотреть, активизировав меню «Окна/Полная информация».Если заранее известен вид зависимости y  y (x ), то тот женабор данных можно интерпретировать как результат нескольких измерений для уточнения коэффициентов b0 , b1.2. Выберите базис из полиномов Лежандра («Параметры/Выборсистемы функций/Полиномы Лежандра») для представлениятого же набора экспериментальных данных ( x k , y k ), т. е. будем искать зависимость y(x) в виде y ( x)  b0 P0 ( x)  b1P1( x).Установите, зависит ли аппроксимирующий полином от выбора базиса (см.

п. 6.2).3. Введите набор данных из файла LSQ2.DAT («Параметры/Данные/Ввод данных из файла»). Он отвечает более сложной,чем в предыдущем задании, зависимости y (x ) и для хорошейаппроксимации нужно выбрать полином более высокой степени.Установите число базисных функций 10 и базис-полином 1, x,x 2 , … в меню «Параметры/Выбор системы функций».Для решения системы МНК в меню «Метод» выберите «Метод сопряженных градиентов» и установите число итераций 8.Следующий расчет выполните для базиса из полиномовЛежандра. Сравните полученные результаты. Обратите внимание на оценку числа обусловленности в обоих случаях.

Опишите, как изменяются результаты, если уменьшить точность про94межуточных вычислений. Для этого в меню «Параметры» встроке «Длина мантиссы» введите вместо установленной поумолчанию (53) цифру 24, а затем 12.4. Данные в LSQ3.DAT соответствуют замерам зашумленногосигналаy ( x)  c1 sin 2x  c2 sin 4x.Найти c1 , c 2 .У ка з а ние. Используйте базис из тригонометрических полиномов («Параметры/Выбор системы функций/Полиномы тригонометрические»).5. Введите таблицу функции из файла LSQ4.DAT. Приблизьтеэту функцию тригонометрическими многочленами степени m иm + r, r > 0, m + r < N, где N — число точек в таблице. Сравнитепервые m коэффициентов. Объясните полученный результат.6. Используя мышь, введите произвольный набор данных с экрана терминала («Параметры/Данные/Ввод данных с экрана»).Аппроксимируйте их полиномами различной степени.

Проанализируйте влияние выбора базиса, выбора матрицы В, задающейскалярное произведение, способы решения системы МНК («Метод Гаусса, Метод сопряженных градиентов»).6.9. Некоторые рекомендации по работе с программойГлавное меню/Окна/График функции. При нажатии клавишиEnter открывается или закрывается окно с графиком функции(«Данные и их аппроксимация»), на котором отображаются данные и построенные графики.Главное меню/Окна/График невязки. При нажатии клавишиEnter открывается или закрывается окно с графиком невязки, накотором отображаются в виде вертикальных прямых разностьмежду значением аппроксимирующего полинома и ординатойточки данных.

Характеристики

Список файлов книги