МУ к лабораторным работам (1238837), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Цвет прямых соответствует цвету графика полинома в окне «График функции».Главное меню/Окна/Масштабирование. Здесь можно задатьвертикальные и горизонтальные масштабы для окон «Графикфункции» и «График невязки».Главное меню/Окна/Очистить экран. Удаляет все графикииз окна «График функции» и все графики невязок из окна «График невязки», а также информацию из окна «Полная информа95ция».Главное меню/Окна/Полная информация.

В окне содержится информация обо всех графиках в окне «График функции». Вытакже можете посмотреть коэффициенты аппроксимирующегополинома.Главное меню/Окна/Полная информация/Коэффициенты.Нажав клавишу Enter можно посмотреть коэффициенты аппроксимирующего полинома.Подготовка файла данных. Для решения своей задачи можно подготовить данные в отдельном файле и записать его в директорию DATA.

Формат данных должен иметь следующий вид:1-я строка — комментарий;2-я строка — если начинается с @, то границы окна с данными: xmin , xmax , y min , y max , иначе — комментарий;3-я строка — количество точек в файле, далее данные:x1y1x2y2...............xnynПрим ер:DATA FILE FOR LSQфайл данных для МНК31. –1e4–5–23 106.10. Библиографическая справкаИзложение теоретических основ использования МНК ведется всоответствии с [1], см.

также [8, 11, 27].96Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 7ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.ЗАДАЧА КОШИ7.1. ВведениеВ этой работе Вы познакомитесь с численными методами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):dudx G ( x, u)  0,x  x0 ,u ( x0 )  U 0.В работу включены следующие явные методы численного решениязадачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:1) Рунге–Кутты первого порядка точности (метод Эйлера);2) Рунге–Кутты второго порядка точности;3) метод второго порядка с центральной разностью;4) Рунге–Кутты третьего порядка точности (метод Хойна);5) Рунге–Кутты четвертого порядка точности;6) экстраполяция Ричардсона второго порядка для методаРунге–Кутты первого порядка точности.В процессе работы Вы сможете получать приближенныерешения различных обыкновенных дифференциальных уравнений (или систем обыкновенных дифференциальных уравнений) с помощью реализованных численных методов, исследовать их поведение в зависимости от величины шага расчетнойсетки, параметров задачи, сравнивать их между собой и с некоторыми точными решениями, получать фазовые портреты.977.2.

Численные методы решения задачи Кошидля обыкновенных дифференциальных уравненийПустьLuf(7.1)— краткое символьное обозначение исходной дифференциальной задачи.Пусть, далее, введена в рассмотрение сеточная областьW h и пространство U h сеточных функций u h :Lh u h  f h(7.1а)— соответствующее символьное обозначение разностной задачи(схемы), которой заменяется задача (7.1), и решение которойможет быть вычислено с помощью ЭВМ.За м еча ние. Решение (7.1а) рассматривается в качестве приближенного решения задачи (7.1) в узлах сетки.

Ошибка этогоприближения определяется как сеточная функцияu h  [u]h  u h ,где [u ]h — значения точного решения в узлах сетки.Введем в пространстве U h сеточных функций u h какуюлибо норму ||  || .Определение. Погрешностью метода численного решениязадачи (7.1) в смысле выбранной нормы принято называть величину   || u h || .Если выполнено условие  O( h p ),то говорят, что схема имеет p-й порядок точности.Введем в пространстве F h правых частей f h некоторуюнорму для элементов этого пространства:|| f h ||  || f h || F h .Далее индекс F h будем иногда опускать.Из теории известно, что величина  имеет тот же порядок,98что и погрешность аппроксимации || f h ||, гдеf h  L h [u]h f h .Иными словами, f h — невязка, характеризующая, насколько нарушаются сеточные уравнения (7.1а) при подстановке в них проекции (ограничения на сетку) решения исходной задачи (7.1).За м еча ние 1.

Теорема о том, что погрешность , т. е. погрешность метода (7.1а) для задачи (7.1), имеет тот же порядок, что ипогрешность аппроксимации || f h ||, справедлива в предположении, что разностная задача (7.1а) устойчива.За м еча ние 2. Вопрос о сходимости метода (7.1а) сводится кисследованию разностной схемы (7.1а) на аппроксимацию иустойчивость.7.3. УстойчивостьУстойчивость разностной схемы означает, что решение (7.1а)существует, единственно, непрерывно зависит от входных данных равномерно по h.Для линейных задач последнее требование означает, чтосуществует число C  const , не зависящее от параметра h такое,что для любых f выполнено|| u h ||  C || f h || .7.4. Дифференциальная задачаЗапишем дифференциальную задачу в следующем виде:du G ( x, u)  0,dxx  x0 ,(7.2)u(x 0 )  U 0 .997.5. Сеточная областьБез ограничения общности положим x 0  0.

Кроме того, будемрассматривать задачу при значении аргумента x  [0, 1].Сеточной областью назовем множество узлов W h  {x n ; n  0, 1,  , N } (рис. 7), x n  nh, где h — шаг сетки,Nh = 1. Шаг сетки можетбыть неравномерным:xxx ... xx123~nhn  x n 1  x n .Рис.

7На сетке определенасеточная функция u h  {un ; n  0, 1, 2, , N }, здесь u n — еекомпонента, относящаяся к узлу xn .7.6. Разностная задачаВ качестве простейшего примера разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальную задачу Коши, приведем следующую схему (метод Эйлера) для одного уравнения вида (7.2):u n 1  u nh G ( x n , u n ),n = 0, 1, 2, …, N – 1.u0  U 0 .7.7. Погрешность методаВеличину погрешности для скалярного аналога (7.2) можно определить, например, следующим образом:  max | [u ]h  u h | .nНапомним, что если   O( h p ), то говорят, что метод имеет p-й порядок точности.7.8. Явные методы Рунге–КуттыПусть значение u n приближенного решения в точке xn уженайдено и требуется вычислить u n 1 в точке xn 1  xn  h.100Задаем натуральное m и выписываем выражения вида:k1  G( xn , u n ),k 2  G( xn  a1h, un  h  b21k1),k3  G( xn  a2h, u n  h  (b31k1  b32 k 2 )),..................................................................m1k m  G ( x n  a m1h, u n  h bmi k i ).i 1Затем полагаемLh u h u n 1  u nh ( p1k1    p m k m )  0,n = 0, 1, …, N – 1.u0  U 0 .Неопределенные коэффициенты a1, a2 , …, a m 1 ; b21 ;b31, b32 ; …; bm1, …, bmm 1; p1, p2 , …, pm подбираем так,чтобы получить при заданном m аппроксимацию возможно более высокого порядка.7.9.

Метод Рунге–Кутты первого порядка точности(метод Эйлера)Частный случай методов Рунге–Кутты при m = 1:u n 1  u nh G n  0,n = 0, 1, 2, …, N – 1.u0  U 0 .7.10. Метод Рунге–Кутты второго порядка точностиОдин из возможных методов, реализованных в этой лабораторной работе:u n 1  u nh k 2  0,n = 0, 1, 2, …, N – 1.u0  U 0 ,k1  G ( xn , u n ),hhk 2  G  x n  , u n  k1  .22101В [1] приведено однопараметрическое семейство методов Рунге–Кутты второго порядка.7.11.

Метод Рунге–Кутты третьего порядка точности(метод Хойна)Наиболее употребительный метод Рунге–Кутты третьего порядка (метод Хойна) имеет вид:u n 1  u nhk 1  3k 34,n = 0, 1, 2, …, N – 1.u0  U 0 ,k1  G ( xn , u n ),hhk 2  G x n  , u n  k1  ,332h2h k 3  G x n  , u n  k 2.33 7.12. Метод Рунге–Кутты четвертого порядка точностиПриведем формулы классического метода Рунге–Кутты четвертого порядка:u n 1  u nhk  2k 2  2k 3  k 4 1,n = 0, 1, 2, …, N – 1.6u0  U 0 ,k1  G ( xn , u n ),hhk 2  G x n  , u n  k1  ,22hhk 3  G x n  , u n  k 2  ,22k 4  G ( xn  h, un  hk3 ).За м еча ние.

Известно, что существует большое число методовтретьего и четвертого порядков [28–30]. В работе приводятсяте, которые требуют минимального количества вычисленийправой части.7.13. Экстраполяция РичардсонаПусть в точке х известно значение решения u (x ). Пусть методом Рунге–Кутты порядка р в результате выполнения численно102го интегрирования на двух шагах величины h найдено численноезначение u в точке x  2h, а в результате выполнения одного шага 2h получено значение u 2h (в той же точке). Тогда выражениеu  u 2hu   uh  h2 p 1аппроксимирует величину u ( x  2h) с порядком p  1.

Характеристики

Список файлов книги