МУ к лабораторным работам (1238837), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Теоретические основы МРП изложены в [1, гл. 13]. Рассмотрим основные конструкции МРП и сформулируем задания,которые можно выполнить на компьютере самостоятельно, обращаясь к заготовленным в этой работе подпрограммам.Для определенности и краткости изложим вариант МРП,ориентированный на вычисление решения внутренней задачи:u xx  u yy  u  0,( x, y )  D  ,u   (), = D + ,где D  — ограниченная область с гладкой границей , заданнойпараметрически:x()  ( ) cos ,y ()  ( ) sin ;(, ) — полярные координаты, () — заданная функция, а па-раметр уравнения   0 — заданное число.Рассмотрим также вариант МРП для вычисления решенияследующей задачи (будем называть ее внешней):u xx  u yy  u  0,( x, y )  D  ,u   (),u D 0  0,определенной в области D   D0 \ D  , где D 0 — квадрат, содержащий область D  строго внутри.172При больших размерах этого квадрата последняя задача аппроксимирует внешнюю задачу:u xx  u yy  u  0,( x, y )  D  ,u   (),u ( x, y )  0 при x 2  y 2  .13.2.

Форма области и сеткаВ этой работе для определенности используется область D  ,ограниченная кривой  вида()  0,8  0,2 cos k,где k — параметр границы. Приk = 0 кривая  является единичнойокружностью.КвадратD 0  { L  x, y  L},где L — размер квадрата, содержит область D  строго внутри, аобласть D  определяется как разность:D   D0 \ D  .13.3. Сеточные множестваПятиточечный шаблон N m с центром в точке m  (m1h, m 2 h)представляет совокупность пяти точек квадрат*ной сетки: ((m1  1)h, m2 h ), (m1h, ( m2  1)h )и (m1h, m 2 h).

Введем****M 0  {m : ( m1h, m2 h)  D 0 }— множество точек квадратной сетки, которые попали внутрьквадрата D 0 . Разобьем его на два подмножества:M   {m : ( m1h, m 2 h)  D  }173— подмножество точек, попавших внутрь области D  , иM   M 0 \ M  — подмножество точек, попавших внутрь области D  и на кривую .ooooooooooooooooooooooN0   Nm , m  M0oooooo— множество точек квадратнойсетки, которые заметаются пятиточечным шаблоном N m припробегании его центра по множеству M 0 .Множества N  и N  строятся аналогично множеству N 0 :N   N m , m  M ;ooooooooooooooooN   N m , m  M.Сеточная граница определяется как пересечение   N   N и распадается на два отдельныхслоя:    M    — внутреннийслой и    M    — внешнийслой.13.4.

Разностная вспомогательная задачаРазностная вспомогательная задача (РВЗ) имеет вид:a mn u n  f m ,m  M0 ,nN mu n  0,n N 0\ M 0 ,коэффициенты суммирования 4 , n  m,2a mn   h1,n  m. h 2174Эта задача имеет единственное решение при произвольном задании правой части f m , m  M 0 . Решение вычисляется методомразделения переменных.13.5. Разностный потенциалРазностный потенциал u N   PN  v  (u N   PN   v  ) с плотностью v  есть сеточная функция, определенная на множествеN  ( N  ) и равная решению РВЗ с правой частью f m ( f m )следующего вида:mM ,0,f m   amn v n , m  M  , nNm a mn v n ,f m   nN m0,mM ,m M , v , n  ,где v n    0, n  .Если сеточная функция v N  (v N  ) является решениемоднородного разностного уравнения amn v n  0,m  M  ( M  ),nN mто разностный потенциал u N  (u N  ) c плотностьюv   v N  (v N  ) равен функции v N  (v N  ).13.6.

Граничный проекторГраничный проектор P ( P ) сопоставляет сеточной функции v некоторую другую функцию u   Pv  ( Pv  ), совпадающую соследом разностного потенциала u N  (u N  ) с плотностью v  .Основные свойства граничного проектора:( P ) 2  Pи( P ) 2  P .175Сеточную функцию v  можно доопределить на всем множестве N  ( N  ) до решения однородного разностного уравненияm  M  (M  ) amn v n  0,nN m(удовлетворяющего условию v N 0 \ M 0  0 ) в том и только томслучае, когда Pv   v  ( Pv   v  ).13.7.

Решение краевой задачи  u yy 0Ограничимся решением уравнения Лапласа  u  u xxвнутри или вне единичной окружности. В методических целяхкраевые условия будем задавать такие, для которых решение заранее известно и оно совпадает с одной из следующих гармонических функций (последние две гармоничны вне точки (0, 0)):u (1)   x,u ( 2)  x 2  y 2 ,u (3)  x 3  3 xy 2 ,u ( 4) u ( 5) yx2  y2,xy(x 2  y 2 ) 2.В зависимости от выбора в меню «Данные» точного решения u ( x, y ) будем решать внутреннюю или внешнюю задачу.Решение разностной задачи представим в виде разностного потенциала с некоторой неизвестной плотностью. В идеале желательно найти такую плотность, которая совпадала бы со следомточного решения v   u ( x, y )  .

Такое задание плотности в работе предусмотрено и реализуется выбором в меню «Данные»пункта «Сеточная плотность». Если же выбран пункт «Данные176Коши», то известной считается вектор-функцияu  ((),  ()),u  u  ,nгде()  u ( x (), y ()),  u y ( x (), y ()) x , ( )  u x ( x (), y ( )) yа плотность находится с помощью оператора вычисления плотности по формуле:v     u  .И, наконец, когда выбран пункт меню «Данные Дирихле»,нам известна функция u   (), нужно вычислить решение задачи Дирихле. Для этого применим алгоритм МРП вычислениянормальной производнойun  (),а затем вычислим плотность v     u  .

( x , y 0 )13.8. Оператор вычисления плотностиОператор   по известным данным Коши функции u ( x, y )u  ((),  ())u  u  ,nвычисляетзначениеv     u  .плотностиРис. 111. Чтобы посчитать значение плотности в точке (x, y), нужно на кривой выбрать точку ( x 0 , y ) или ( x, y 0 ), из которой будет перено-ситься значение (см.

рис. 11).1772. В выбранной точке записывается система пяти линейных уравнений относительно неизвестных значений ux , uy , а и u yy :также u xx  u yy  0,u xx  u x x  u y y ,, ()  u x y   u y x  uxx x 2  2u xy x y  uyy y 2  ux x  u y y ,  u yy ) x y  u xy ( x 2  y 2 )  u x y  u y x ,   (u xx ииз которой находится значение производных ux , uy , u xx в этой точке.u yy3.

Значение плотности вычисляется по одной из формулразложения в ряд Тейлора:v  ( x , y )  u ( x0 , y )  ( x  x 0 ) u x ( x 0 , y ) 12( x  x 0 )2 u xx ( x0 , y ),1v  ( x, y )  u ( x, y 0 )  ( y  y 0 ) u y ( x, y 0 )  ( y  y 0 ) 2 u yy ( x, y 0 ).213.9. Вычисление нормальной производнойПри решении внутренней задачи для вычисления нормальнойuпроизводнойn  () используем равенство Pv   0, которому должна удовлетворять плотность v     ( (),  ()).1. На кривой  зададим N опорных узлов в точкахk 2Nk,(1  k  N,6  N  60).Представим функцию  () через значения в узлах  k  ( k ),используя кусочно-кубическую интерполяциюN ()   k k ().k 11782. Преобразуем равенство Pv   0, в левую часть которогонеявно входят  k , в систему линейных уравнений:N ak  k  f  ,k 1где ak  P   (0, k ()), f    P   ((), 0).3.

Число уравнений этой системы, равное количеству точексеточной границы, вообще говоря, превышает число неизвестных, которое равно количеству опорных узлов. Поэтому решение системы будем понимать в смысле метода наименьшихквадратов, т. е. как набор чисел  k , придающих наименьшеезначение сумме2 Nk   an  k  f n  .n  k 113.10.

Кусочно-кубическая интерполяцияЗначение функции  () интерполируется кубическим многочленом по значениям k в четырех ближайших к  точках:N ()   k k (),k 1гдеk () k () k () k () (   k  3 )(   k  2 )(   k 1 ), k 2     k 1 ,, k 1     k ,, k     k 1 ,, k 1     k  2 ,( k   k  3 )( k   k  2 )( k   k 1 )(   k  2 )(   k 1 )(   k 1 )( k   k  2 )( k   k 1 )( k   k 1 )(    k 1 )(   k 1 )(   k  2 )( k   k 1 )( k   k 1 )( k   k  2 )(   k 1 )(   k  2 )(   k  3 )( k   k 1 )( k   k  2 )( k   k  3 )k ()  0, если    k  2 или    k +2 .17913.11.

Порядок выполнения работы1. «Сеточные множества». Изменяя значения параметров h, Lи k, а также задавая в меню «Данные» различные сеточные множества, четко уясните, каким образом строятся эти множества.2.«Разностные потенциалы»2.1. Задайте в меню «Данные» функцию f ( x, y ) которая определит сеточную плотность v  n  f (n1h, n2 h), n.Вычислите с помощью меню «Вычисления» разностные потенциалыиu N   PN  v u N   PN  v с этой плотностью и просуммируйте их. Обратите внимание нато, что на сеточной границе  выполняется равенствоu N   u N    v  .Случайно ли это? Докажите, что это всегда так.2.2.

Выберите в меню «Данные/След потенциала u N  », т. е. результат действия граничного проектора P на плотность v  .Тем смым задается другая сеточная плотность w  Pv  . Вычислите разностные потенциалы с этой плотностью:u N   PN   wиu N   PN   wи объясните, почему выполняются равенстваu N    wиu N   0.2.3. Теперь вернитесь к старой плотности v  , выбрав в меню«Данные» пункт « f ( x, y )   » и вычислите разностный потенциал u N  с этой плотностью u N   PN  v  .Выберите в меню «Данные/След потенциала u N  », задавтем самым новую сеточную плотность w  Pv  .

Вычислитеразностные потенциалы с этой плотностьюu N   PN   w180иu N   PN   wи объясните, почему теперь u N    w , а u N   0.2.4. Все это можно проделать с различными значениями параметра границы k и параметра уравнения , изменяя их в меню«Параметры». Как влияет на потенциалы u N  и u N  увеличение параметра ?3. «Краевая задача»3.1. Выберите в меню «Данные/Сеточная плотность» и посчитайте для всех функций u ( j ) ( x, y ) разностные потенциалы.В окне «Информация» будет выводиться значение  ( j )максимума модуля отклонения потенциала от точного решенияв процентах.Покажите, что независимо от параметров сетки h и L, значения  (1)   ( 2)   (3)  0.

Характеристики

Список файлов книги