МУ к лабораторным работам (1238837), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Так, например, уравнение Пуассона может описывать потенциал электрического поля, потенциалскоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, установившуюся температуру в однородном теплопроводном теле.Система уравнений упругости Ляме описывает смещения в находящемся под действием стационарных сил твердом теле и т. д.Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений во многих случаях осуществляется с помощью разностныхсхем. В простейших случаях, когда решение во всей рассматриваемой области меняется более или менее равномерно, а самаобласть не имеет узких «перешейков», можно использовать регулярные сетки, а для получения разностных схем заменять производные разностными отношениями.В противном случае регулярная сетка становится практически непригодной, так как места быстрого изменения решенияили места, где область D имеет узкие «горловины», диктуютслишком мелкую сетку.

В случае нерегулярной сетки построениеразностной схемы путем замены производных разностными соотношениями становится сложной процедурой. В этом случаебольшое распространение получили так называемые вариационно-разностные и проекционно-разностные схемы. «Прикладники» соответствующие схемы обычно называют методом конечных элементов.О схемах конечных элементов см. в [1, 11, 16, 32, 43].12.2.

Аппроксимация и устойчивостьпростейшей разностной схемыРассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (12.1) вквадратной области D  {0  x, y  1} с границей . Совокупность точек ( x, y )  ( mh, nh) сетки (где h = 1/M, M — целое), попавших внутрь квадрата или на его границу, обозначим D h .163Точки D h , лежащие строго внутри квадрата D, будем называть внутренними точками сеточного квадрата D h . Совокупность внутренних точек обозначим D0h . Совокупность точекD h , попавших на границу квадрата D, будем обозначать h .Рассмотрим разностную схемуLh u (h )  f (h ) ,(12.3)здесь u m  1, n  2u mn  u m  1, nh2(h)Lh u  u mnu m, n  1  2u mn  u m, n  1h2при ( x m , y n )  D 0h ,при ( x m , y n )  h .(12.4)Правая часть f (h) разностной схемы (12.3) принимает вид ( xm , y n ) приf (h)    ( smn )при( xm , y n )  D 0h ,( xm , yn )  h .(12.5)где ( smn ) — значение функции  (s) в точке ( xm , y m ), принадлежащей границе h .Обозначим через [u]h проекцию точного решения задачи напространство сеточных функций.

Например, это может быть сеточная функция, численно совпадающая с решением задачи в узлах сетки. Определим|| f ( h) || max( mh, nh)Dh0|  mn | max( mh, nh )h|  mn | .Можно показать, что норма невязки || f (h) ||, возникающаяпри подстановке [u]h в левую часть разностной схемы (12.3) составляет O( h 2 ).Таким образом, разностная краевая задача (12.3) аппрокси164мирует задачу Дирихле со вторым порядком относительно h.Определим норму в пространстве U h функций, заданныхна сетке D h , положив|| u ( h) || U h max( mh, nh )D h| u mn | .Перейдем к исследованию устойчивости. Это исследованиеопирается на следующий факт, представляющий самостоятельный интерес.Т еор ем а 1.

(Принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения h v (h) h v (h )( mh, nh)(mh, nh)(mh, nh)  D 0h , 0,v m 1, n  2v mn  v m 1, nh2v m, n1  2v mn  v m, n 1h2достигает своих наибольшего и наименьшего значений в некоторыхточках h .Т еор ем а 2. Задача (12.3) однозначно разрешима при произвольной правой части f (h) , причем это свойство не зависитот выбора нормы, и разностная схема (12.3) устойчива, т.

е.выполнена оценка вида|| u ( h ) || U h  c || f ( h ) || Fh ,где c не зависит ни от h, ни от f (h) .В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения спеременными коэффициентами u a  x   x  y u b  ( x, y ),  y(x, y)D,u    (s ),где a  a( x, y )  0; b  b( x, y )  0 — положительные в прямоугольнике D гладкие функции, разностную схему можно построить аналогично.На практике при решении конкретных задач обычно огра165ничиваются обоснованиями принципиального характера на модельных задачах типа приведенной выше. Конкретные рассуждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов,выполненных на сетках с различными значениями шага h.После того, как разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную, построена, нужно указать не слишком трудоемкий способ ее решения.

Ведь при малом h задача(12.3) представляет собой систему скалярных уравнений оченьвысокого порядка.Численные методы решения систем линейных уравненийбольшой размерности делятся на две группы: прямые и итерационные. В прямых методах точное решение находится за конечное число арифметических действий. Примерами прямых методов являются метод дискретного преобразования Фурье и методсопряженных градиентов.Каждый итерационный метод состоит в том, что при решении системы уравнений указывается рекуррентное соотношение,которое по заданному произвольно «нулевому» приближению u 0решения u позволяет вычислить первое, второе, p-е, p = 1, 2, 3, …приближение u p решения u.В работе для итерационных методов дается наглядная иллюстрация изменения «невязки» решения в зависимости от итерации. Эффективность различных методов (в том числе прямых)можно сравнить по затратам машинного времени (необходимаяинформация выводится на экране) для достижения заданнойточности.

В случае итерационных методов вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка|| u  u p ||  .Здесь u — вектор точного решения, u p — решение, полученноена p-й итерации,  — наперед заданное число.Задача отыскания точного решения не диктуется, как правило, запросами приложений. В приложениях обычно допустимоиспользование приближенного решения, известного с достаточной точностью.

Поэтому во многих случаях для вычисления решения точным методам целесообразно предпочесть тот или инойитерационный метод. Итерационный процесс должен быть построен так, чтобы последовательность приближений u p стреми166лась к решению u. Тогда для любого   0 существует номерn  n () такой, что || u  u n ||  . .

Задавая   0 достаточно малым, можно воспользоваться n-м приближением u.В работе рассматриваются следующие методы:1) дискретного преобразования Фурье;2) сопряженных градиентов;3) простых итераций;4) трехслойный итерационный метод Чебышева;5) спектрально эквивалентных операторов.Предусмотрены возможности сравнения методов по затратамвремени ЭВМ и проведения расчетов на различных разностных сетках.12.3. Обусловленность систем линейных уравненийОбщие сведения об обусловленности линейных систем см.

всправке к работе 4, п. 4.2.Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (12.1) в квадратеD  {0  x, y  1} с однородными граничными условиями. Обозначим через  i собственные значения оператора Lh   Lh (см.(12.3)–(12.4)) при однородных граничных условиях. Тогда можнопоказать, что имеет место следующая оценка для  i : min   i   max ,8h8hгде  min sin 2,  max cos 2.22h2h2Легко видеть, что оператор Lh в (12.3) при малых h обладает плохой обусловленностью:( Lh )  tg  2h2~42h2.12.4. Метод дискретного преобразования ФурьеПусть решается задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате с однородными граничными условиями.Рассмотрим следующую одномерную задачу на собствен167ные функции и собственные значения:( n  1)  2( n )   ( n  1)h2 (n),n = 1, 2, 3, …, M – 1,M 1h; 0   N  0.Задача имеет следующие решения: k (n)  2 sin knh,k  4h2sin 2kh2,k, n = 1, 2, 3, …, M – 1,M 1h.Зафиксируем m ( 0  m  M ) в (12.3)–(12.5).

Тогда можно разложить u mn и  mn по собственным функциям  k (n) :M 1u mn c k ( m )  k (n ),k 1M 1 mn n = 1, 2, …, M – 1,f k (m)  k (n ),k 1гдеM 1f k (m) h  mj  k ( j ),j 1а относительно c k (m) получаем систему разностных уравненийвторого порядка с трехдиагональной матрицейc k (m  1)  2c k (m)  c k (m  1)h2ck (0)  c k ( M ),  k c k (m)  f k (m),k = 1, 2, …, M – 1,решаемую методом прогонки.Алгоритм реализации метода Фурье требует O( M 3 ) арифметических операций.

Это число для больших M  2 n (n — натуральное число) можно значительно сократить до O( M 2 ln M ),если применить алгоритм быстрого преобразования Фурье.Недостатком изложенного метода является ограниченность168области его применимости, предполагающая знание собственныхфункций и собственных значений одномерной задачи.В данной работе решается задача Дирихле в прямоугольнике, и решение, полученное методом дискретного преобразованияФурье принимается за точное.12.5. Метод сопряженных градиентовСм.

лабораторную работу 4, п. 4.4.12.6. Метод простых итерацийСм. лабораторную работу 4, п. 4.5.12.7. Метод с оптимальным параметромСм. лабораторную работу 4, п. 4.7.12.7.1. Переход к лучше обусловленной системе с помощьюэнергетически эквивалентного оператора. См. лабораторнуюработу 4, п.

4.6.1.12.7.2. Масштабирование как средство улучшения числа обусловленности. См. лабораторную работу 4, п. 4.6.2.12.8. Трехслойный метод ЧебышеваСм. лабораторную работу 4, п. 4.8.12.9. Метод спектрально-эквивалентных операторовДля решения системы Ax  b рассмотрим итерационный процесс видаBx n 1  Bx n   ( Ax n  b),где матрица B  E.Пусть A, B > 0 и матрица A обладает плохой обусловленностью. Тогда, если удается найти такую матрицу B, что системауравнений Bx  c может быть легко решена, и величинаsup( Ax , x )x (Bx , x )( Ax , x )infx (Bx , x )169много меньше, чем число обусловленности матрицы A, то такойитерационный процесс сходится значительно быстрее, чем методпростой итерации.Так, например, можно при численном решении уравненияэллиптического типа с переменными коэффициентами в качествематрицы B выбрать матрицу, соответствующую оператору, возникающему при аппроксимации оператора Лапласа.

В этом случае матрицу можно обращать, например, методом преобразования Фурье.12.10. Контрольные вопросы1. Доказать, что, если во внутренних точках области D h функция u (h) удовлетворяет уравнениюLh u ( h )( mh, nh ) 0,m, n = 1, 2, …, M – 1,Mh = 1,то, либо u (h) принимает всюду на D h одинаковые значения,либо наибольшее и наименьшее значения функции u (h) не достигаются ни в одной внутренней точке сетки D h (усиленныйпринцип максимума).2. Если во внутренних точках области D h выполнено условиеLh u (h )  0, причем хотя бы в одной точке неравенство строгое,то u (h) не достигнет своего наибольшего значения ни в однойвнутренней точке.3. Рассмотрим разностную схему Lh u ( h)  f ( h) видаum1, n  um, n1  um1, n  um, n 1  4umn (mh, nh), Lhu h2(mh, nh)  Dh0 ;Lhu(h)   u   (s ),m  M , n  0, M ;1 mn mn u1, n  u0, n  2 (n, h),n  1, , M  1.h170Эта разностная схема аппроксимирует задачу 2u x2 2u y2 ( x, y ),u ( x, y )  1(s ),ux  2 ( s),(x, y)D;x = 1,y = 0; 1;x = 0.а) Доказать, что при любых (mh, nh), 1 (s mn ),  2 (s mn )задача Lh u ( h)  f ( h) имеет единственное решение.б) Доказать, что если (mh, nh) неотрицательно, а 1 (s mn ), 2 (s mn ) не положительны, то u (h) не положительно.в) Доказать, что при любых (mh, nh), 1 (s mn ),  2 (s mn )имеет место оценка вида| u mn |  C |  mn | max ( mh, nh)D0( mh, nh)Dhhmax max |  1 ( s mn ) |  max |  2 (s 0n ) |  ,m, nnC — некоторая постоянная, не зависящая от величины шага h.

Найти C.12.11. Порядок выполнения работы1. Задайте правую часть уравнения, равную нулю. Получите численно решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа всемиметодами и проведите сравнение по их быстродействию.2. Задавая различные правые части уравнения (12.1), сравнитеметоды решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.12.12. Библиографическая справкаО простейших схемах решения эллиптических уравнений см.

в[1–4, 27, 32]. О других методах (расщепления, попеременнотреугольных и т. д.) см. книги [16, 17, 40–42, 44, 45]. Там же приводится исследование устойчивости некоторых методов. О вариационно-разностных схемах — в [1, 11, 16, 32, 43].171Л АБОР АТ ОРН АЯ РАБОТ А 13МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ13.1. ВведениеМетод разностных потенциалов (МРП) предназначен для численного решения дифференциальных и разностных краевых задач.

Характеристики

Список файлов книги