МУ к лабораторным работам (1238837), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Как влияют h и L на  ( 4) и  (5) ?3.2. Выберите пункт «Данные Коши». Посчитайте сеточнуюплотность и разностный потенциал для каждой u ( j ) ( x, y ).Докажите, что и в этом случае  (1)   ( 2)  0 при любых h иL, однако теперь  (3)  0, но уменьшается при уменьшении h, аот L не зависит. Почему это так?3.3. И наконец, выберите пункт «Данные Дирихле» и для любойиз функций u ( j ) ( x, y ) вычислите сеточную плотность.

В левомнижнем окне синим цветом будет изображаться точная нормальная производная, а красным — вычисленная. Как изменяетсязначение  ( j ) в зависимости от числа опорных узлов?13.12. Библиографическая справкаО методе разностных потенциалов см. учебник [1, гл. 13] и библиографию в нем, а также монографию [12].181ПРИЛОЖЕН ИЕ 1ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКАК РАБОТАМ 9–12Разностные методыПустьLu  f(П.1)— краткое символьное обозначение исходной дифференциальной задачи.Пусть, далее, в рассмотрение введена сеточная область W hи пространство U h сеточных функций u h .Lhu h  f h(П.1a)— соответствующее символьное обозначение разностной задачи(cхемы), которой заменяется задача (П.1).

Решение задачи (П.1a)может быть вычислено с помощью ЭВМ.За м еча ние 1. Разностная задача (схема) может быть полученаиз дифференциальной посредством замены производных разностными соотношениями. Это довольно распространенный способ конструирования задачи (П.1a) и в общем случае.За м еча ние 2. Узлы сетки, значения компонент сеточной функции в которых использованы при записи соотношения (П.1a), заменяющего дифференциальное уравнение (П.1), образуют конфигурацию, которую называют шаблоном схемы (П.1a).За м еча ние 3.

Индекс h в записи сеточной задачи (П.1а) обозначает в общем случае совокупность сеточных параметров, а нетолько пространственный шаг сетки, для которого далее использовано то же обозначение.182Решение (П.1a) рассматривается в качестве приближенногорешения задачи (П.1) в узлах сетки. Ошибка этого приближенияопределяется как сеточная функцияu h  [u ]h  u h ,где [u] h — значения точного решения в узлах сетки.Введем в пространстве сеточных функций какую-либо норму || . ||.

Погрешностью метода численного решения задачи (П.1)в смысле выбранной нормы принято называть величину  || u h || .Если выполнено условие   O( h p ), то говорят, что схемаимеет р-й порядок сходимости.Введем в пространстве F h правых частей f h норму. (Индекс Fh далее будем иногда опускать). Имеем|| f h ||  || f h ||F h .Известно, что величина  имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации ||  f h ||, где f h  Lh [u ] h  f h .Другими словами, f h — невязка, характеризующая насколько не удовлетворяется задача (П.1а) при подстановке в неерешения исходной задачи (П.1).За м еча ние 4. Теорема о том, что погрешность , т. е.

погрешность метода (П.1а) для задачи (П.1), имеет тот же порядок, что ипогрешность аппроксимации ||  f h || , справедлива в предположении, что разностная задача (П.1а) устойчива, т. е. ее решениесуществует, единственно и непрерывно зависит от возмущенийвходных данных равномерно по h.Для линейных задач последнее требование означает, чтосуществует C  const , не зависящая от параметра h, такая, чтодля любых f h|| u h ||  C || f h || .183Таким образом, вопрос о сходимости метода (П.1а) сводится к исследованию разностной схемы (П.1а) на аппроксимацию иустойчивость.Спектральный признак устойчивостидля эволюционных уравненийДля широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощьюспектрального признака, который в случае разностной задачи спостоянными коэффициентами, состоит в следующем.

Заменяемправую часть разностного уравнения нулем, краевую задачу —задачей Коши, функцию  m — гармоникой e im и ищем решение в следующем видеpu m   p e im(П.2)(для задач с одной пространственной переменной), где  — произвольное число, 0    2.Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобыспектр    () лежал в круге |  |  1  c, где с не зависит отшага интегрирования по времени .Рассматривается линейное уравнение эволюционного типаut Au,(П.3)где A — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Для (П.3) решается задача Коши: при t  0 задаетсяu 0 ( x ) и ищется решение u (t , x), t  0.Пусть (t , k ) — преобразование Фурье функции u (t , x),(k ) — частотная характеристика оператора A.

Беря преобразование Фурье от правой и левой частей (П.3), получим уравнение видаt184 (k ) ,(П.4)решение которого есть(t , k )  e  ( k ) t  0 ( k ), 0 (k )  (0, k ).Переход от начальных условий u 0 ( x ) к решению задачи (П.3)осуществляется по формулеu (t , x ) e  ( k ) t  ikx 0 (k ) dk  Ft u0 ( x),где Ft — оператор (типа свертки) с частотной характеристикой  (t )  e  ( k ) t . Задача Коши для (П.3) будет поставленакорректно в том и только том случае, когда (t) ограниченопри всех t  0.Заменим теперь (П.3) его разностной аппроксимацией:u n 1   qm u n ( x  mh),(П.5)mгде суммирование ведется по шаблону разностной схемы.

Коэффициенты qm зависят от шагов разностной сетки  и h.Пусть, кроме того,| qm |  m(что почти всегда выполняется в силу аппроксимации на решении уравнения (П.3)).Соотношение (П.5) задает разностный оператор послойногоперехода:u n 1  Gu n .В силу (П.5) имеем(П.6)|| u n 1 ||   || qm u n ( x  mh) ||   | qm |  || u n ( x  mh) ||.m(П.7)mИз этого равенства следует ограниченность разностного оператора G. Но для функции u n (x) можно написатьu n ( x)  G n u 0 ( x).185Поскольку || G n ||  || G || n , то оператор, переводящий u 0 ( x )в u n , ограничен. Однако для устойчивости разностной задачинеобходимо, чтобы метод «выдерживал» счет со сколь угодномалыми шагами сетки, т.

е. при , h  0.При   0 величина n  T /  стремится к бесконечности.Если при этом норма G n неограниченно возрастает, то скольугодно малые ошибки в задании u 0 ( x ) могут привести к скольугодно большим возмущениям функции u n (x), т. е. возникаетвычислительная неустойчивость.Устойчивость задачи Коши означает, что непрерывная зависимость u n (x) от u 0 ( x ) равномерна по , h.Считаем, что фиксирована некоторая функция h  h(), такая, что выполняется следующее условие:lim h()  0.0Тогда qm зависят лишь от , а G  G .Положим n  T / .Разностное уравнение (П.5) или (П.6) устойчиво, если|| Gn ||  M ,где M не зависит от n (но может зависеть от T).Достаточное условие устойчивости (Неймана)|| G ||  1  c, где c не зависит от сеточных параметров.Действительно, тогдаестьnT|| Gn ||  || G ||n  (1  c)n  1  c   ecT .nБолее сильное требование|| G ||  1(П.8)иногда называют условием строгой устойчивости.Строго устойчивые схемы могут существовать лишь длядифференциальных уравнений, решения которых подчиняютсяпринципу максимума:|| u(t , x ) ||  || u0 ( x ) || .186(П.9)В пространстве L 2 вычисление нормы оператора основанона равенстве|| G ||  max | (k ) | ,где  — частотная характеристика оператора.

Она ищется следующим образом. Подставляем u n ( x )  e ikx в правую часть(П.5), тогда u n 1 ( x )   ( k ) e ikx . Из (П.5) сразу получаем(k )   qm e imhk .(П.10)mОбозначив hk  , получаем следующие условия устойчивости, основанные на вычислении спектра оператора послойного перехода:|| qm e im 1  cmдля всех значений , 0    2 (условие Неймана) или|| q m e  im 1.mПодробнее о спектральном признаке устойчивости см. [1–4, 31,39]. В иностранной литературе он иногда называется признакомфон Неймана [36].187ПРИЛОЖЕН ИЕ 2НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИПРИ РАБОТЕ С СИСТЕМОЙ ОВМРедактированиеВаша функция может содержать:1.

Числа, переменные, константу Pi = 3.1415926.2. Алгебраические действия:+плюс,–минус,*умножить,/разделить,^возведение в степень.3. Математические функции:absмодуль,acosарккосинус,asinарксинус,atanарктангенс,cosкосинус,coshкосинус гиперболический,expэкспонента,logлогарифм натуральный,lg10логарифм десятичный,sinсинус,sinhсинус гиперболический,sqrtкорень квадратный,tanтангенс,tanhтангенс гиперболический.Например:F ( x, y )  1.5e  4 / cos ( Pi * x )  abs (lg 10 ( y  1))188Программа использует следующие клавиши«F1»«F2»«F3»«F4»«F5»«Esc»«Пробел»«Enter»«Alt» + «x»вызывается окно помощь;контекстная помощь по пункту;вызов предыдущего окна помощисписок тем по алфавиту;учебный маршрут;выход из текущего окна, выход из редакторабез сохранения;редактирование строки, где это возможноначало счета, вход в окно нижнего уровня,фиксация выбранного условия или метода, поставить/убрать звездочку (*) в пункте, выходиз редактора с сохранением строки;выход из программы.Для перемещения по окнам, пунктам меню и редактируемойстроке используйте кнопки со стрелками «  », «  », «  »,«  » и мышь.

Характеристики

Список файлов книги