Семинары 4 семестр Часть 1 (1238808)
Текст из файла
СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРАМОСКОВСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА.ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ.Преподаватель: Семендяев Сергей Вячеславович.СЕМИНАР №1.ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика.
– М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990............................................................................................................................... Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики.
– М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...................................................................................... -С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра1Рассмотрим стационарно заданные системы ( ∂r ( t , q, q ) ∂t = 0 ): консервативные,гироскопические, диссипативные.Производная полной механической энергии:n∂Π ( t , q )dE= ∑ Qi*qi +, гдеdt i =1∂tn∑Q qi =1*i i- мощность непотенциальных сил.Стационарно заданная система называется консервативной, если для неевыполнены условия:А) потенциальная энергия не зависит явно от времени ( ∂Π ∂t = 0 );Б) все силы потенциальны ( Qi* = 0 ).У консервативной системы сохраняется полная энергия: E = T + Π = const .Стационарная заданная система называется гироскопической, если для неевыполнены условия:А) потенциальная энергия не зависит явно от времени ( ∂Π ∂t = 0 );Б) мощность непотенциальных сил равна нулю, т.е.n∑Q qi =1*i i= 0.У гироскопической системы сохраняется полная энергия.
К таким системамотносится гироскоп, совершающий регулярную прецессию.Стационарно заданная система называется диссипативной, если для нее выполненыусловия:А) потенциальная энергия не зависит явно от времени ( ∂Π ∂t = 0 );nБ) для мощности непотенциальных сил выполняется ∑ Qi*qi ≤ 0 .i =1Еслиn∑Q qi =1*i i< 0 при q ≠ 0 , то система называется определенно-диссипативной.Полная механическая энергия во время движения диссипативной системырассеивается (диссипирует).Некоторые непотенциальные силы Qi* линейно зависят от обобщенных скоростей, т.е.nQi* = −∑ bil ( t , q ) ql = −l =1∂Φ,∂qiгде bil -симметричная матрица, Φ -квадратичная форма:С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра2Φ=1 n∑ bil ( t , q ) qi ql .2 i ,l =1При этом∂Ε= −2Φ .∂tВ случае диссипативной системы Φ =1 n∑ bil ( t , q ) qi ql называется функцией Релея и2 i ,l =1должна быть неотрицательной: Φ ≥ 0 ; для определенно-диссипативной –положительно-определенной: { q ≠ 0} ⇒ {Φ > 0} .nПри наличии диссипативных сил вида Q = −∑ bil ( t , q ) ql = −*il =1∂Φуравнения Лагранжа∂qiможно записать в следующей форме:d ∂Τ ∂Τ∂Π ∂Φ−=−−+ Qi ,dt ∂qi ∂qi∂qi ∂qiгде Qi - обобщенные силы, соответствующие непотенциальным и недиссипативнымсилам.Рассмотрим механическую систему.F (t )mT=1 21mx , Π = kx 222Φ=1 2β x , Q = F (t )2Подставив в уравнение Лагранжа, получим mx + β x + kx = F ( t ) .Рассмотрим электрическую схему.R∼ e (t )CLПо закону Кирхгофа падение напряжений uR = RI = Rq ,С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра31q, uL = LI = LqCuC =приравняем ЭДС e ( t ) :Lq + Rq +1q = e (t ) .CС математической точки зрения уравнения механической и электрической системэквивалентны. Поэтому можно провести электромеханические аналогии.TΠΦQmβkxx1 2mx21 2kx21 2βx2F (t )LR1CqI =q1 2Lq211 2q2C1 2Rq2e (t )Замечание.
Потенциальные силы, потенциальная энергия которых непропорциональна квадрату обобщенной координаты, следует приписывать не кпотенциальной энергии, а к обобщенным силам, чтобы не нарушать строгостьэлектромеханической аналогии.Число степеней свободы электрической цепи N эл равно числу независимыхконтуров или минимальному числу разрывов, после которых перестает течь ток.Пример.R1e (t )Rq1T=C2CL11L1q12 + L2 q22 + 2Mq1q2 )(21 ⎛ q22 ( q1 − q2 )Π= ⎜ +C2 ⎜⎝ C2Φ=q2L22⎞⎟⎟⎠112R1q12 + R ( q1 − q2 )22Q1 = e ( t ) , Q2 = 0С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра4Задача С.13.19.l2ψAmBψl1ϕϕaOДано: m, M , l1 , l2 , a, k , FB = − βυ BКинетическая энергия:2⎡⎤1 2 2 m ⎢( l2ψ sin (ψ − ϕ ) ) +⎥=T = Ml1 ϕ +62 ⎢ + ( l ψ cos (ψ − ϕ ) − l ϕ )2 ⎥1⎣ 2⎦= при _ малых _ углах _ ϕ ,ψ : ψ -ϕ ≈ 0, sin (ψ -ϕ ) ≈ 0, cos (ψ -ϕ ) ≈ 1 ⇒⎡l 2ψ 2 + l12ϕ 2 −⎤1 2 2 m⎢2⎥== Ml1 ϕ +62 ⎢ −2l1l2ϕψ cos (ψ − ϕ ) ⎥⎢⎣⎥⎦→1m12= Ml12ϕ 2 + ( l2ψ − l1ϕ )62⎛⎞⎜⎟ 2ka 2ϕ 21Потенциальная энергия: Π = Mgl1 cos ϕ + mg ⎜ l1 cos ϕ − l2 cosψ ⎟ +22⎜⎜ϕ2ϕ2ψ2 ⎟⎟1−1−1−222 ⎠⎝1212Функция Релея: Φ = βυ 2 = β ( l2ψ − l1ϕ )2Обобщенные непотенциальные недиссипативные силы равны нулю.Рассмотрение функций кинетической и потенциальной энергии, а также функцииРелея позволяет сделать вывод о электрической аналогии этой механическойсистемы.C1L1L2q1 L12q2C2R12С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра5Постулат Максвелла. Состояние электромеханической системы с количествомстепеней свободы N = N мех + N эл определяется уравнениями Лагранжаd ∂T ∂T∂Π ∂Φ−=−−+ Qi , в которые подставленыdt ∂qi ∂qi∂qi ∂qiфункции T = Tмех + Tэл , Π = Π мех + Π эл , Φ = Φ мех + Φ эл , Qi = Q мех + Q эл .iiПример.xk2MRk2qEL = L ( x)Катушка индуктивности с железным сердечником.Кинетическая энергия:Mx 2 L ( x ) qT=+222Потенциальная энергия Π =Функция Релея: Φ =kx 2.2Rq 2.2Обобщенные силы: Qx = mg , Qq = E .Уравнения Лагранжа:∂Π ∂Φd ∂T ∂T−=−−+ Qi , где i = x, q .∂qi ∂qidt ∂qi ∂qi⎧1 dL ( x ) 2q = − kx + mg⎪⎪ Mx −2 dx⎨⎪ L x q + dL ( x ) dx q = − Rq + E⎪⎩ ( )dx dtздесь мы учли, чтоdL ( x ) dL ( x ) dx.=dtdx dtС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра6СЕМИНАР №2.РАВНОВЕСИЕ СКЛЕРОНОМНЫХ СИСТЕМ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §4, с.28-37Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. .............................................................................Глава 6, §1-3, с.212-217Маркеев А.П.
Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990.................................................................. (не обязательно) Глава IV, с.114-143Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. .................................... Глава 2, с.71-83Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...........................................Глава 9, §34-36, с.153-159Положение равновесия – это положение, в котором система может находитьсясколь угодно долго, будучи приведена туда с нулевыми скоростями.Необходимое и достаточное условия равновесия даются принципомвиртуальных перемещений.Для того чтобы положение системы с идеальными связями было положениемравновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю элементарнаяработа всех активных сил на виртуальных перемещениях.Принцип виртуальных перемещений формулируется для идеальных связей.
Связиназываются идеальными, если сумма работ реакций этих связей на любыхС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра7виртуальных перемещениях всегда равна нулю ⇒ реакции связей не войдут вуравнения Лагранжа.Для систем с не идеальными, но со склерономными связями, имеется принципвозможных перемещений.Для того чтобы положение системы с склерономными связями былоположением равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулюэлементарная работа всех приложенных сил на возможных перемещениях.δ A = ∑ Fk δ rk = ∑ Qi dqi = 0В принципе возможных перемещений дается формулировка для приложенных сил.К числу приложенных сил относятся активные силы и пассивные силы, т.е. те,которые являются следствием действия активных.
Например, сила реакции опоры –следствие действия веса на опору. Силы трения покоя и скольжения – следствиедействия внешней силы по касательной к плоскости контакта тела с шероховатойповерхностью. Пассивные силы, совершающие работу, относят к реакциямнеидеальных связей.Сведем различия формулировок в таблицу:Принцип:виртуальных перемещений возможных перемещенийСистемы с связями:идеальнымисклерономнымиРабота сил:активныхприложенных (активных +пассивных)На перемещениях:виртуальныхвозможныхЭквивалентная формулировка этого принципа через обобщенные силыпредполагает равенство нулю каждой обобщенной силы Qi.∑ F δ r = ∑ Q dqkkii=0.Обобщенные координаты независимы ⇒ можно изменять одну, фиксируя другие.δ A = ∑ Qi dqi = 0, ∀qi ⇒ Qi = 0Условие равновесия ⇔ необходимо и достаточно Qi = 0, ∀i .С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра8Из этого принципа равновесия следуют, в частности, условия равновесиягеометрической статики для твердого тела: R = 0, M O = 0 .δ A = ∑ Fkυk dt = ∑ Fk (υO + ω × ρ k )dt = RυO dt + ω M O dtВыбор полюса О и угловой скорости ω носит произвольный характер. Поэтомудля свободного твердого тела R = 0, M O = 0 .
А для несвободного, т.е. если есть связи,необходимо учесть действие связей. Это можно сделать с помощью принципаосвобождаемости от связей: несвободное тело можно рассматривать каксвободное, если связи заменить их реакциями.Задача:DBll1l2FAαCkPQE□ Две степени свободы, за обобщенные координаты возьмем l1 и l 2 .Т.к. сила трения F может совершить работу, реакция соответствующей ей связи неидеальна.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
