Семинары 4 семестр Часть 1 (1238808), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Семендяев. Семинары весеннего семестра38−Ψp =ωpΨp =ωpπ2−π−δ =0π2−πГрафики фазовой характеристики при δ ≠ 0 , и при δ = 0 .Обратите внимание, что при δ = 0 на резонансной частоте p = ω сдвиг по фазе вπотклике по отношению к воздействию равен − .2Если δ = 0 , то у нас консервативная система, и все графики становятся разрывными.Исследуем поведение при резонансе.q + ω 2 q = h sin pt .q = A cos ωt + B sin ωt +q 0 = A , q 0 = Bω +q = q0 cos ωt +q0ωhsin ptω − p22qhphp⇒ A = q0 , B = 0 − 22ω (ω − p 2 )ωω −p2sin ωt −СОБСТВЕННЫЕhphsin ωt + 2sin pt2(ω − p ) ω(ω − p 2 )2СОПРОВОЖДАЮЩИЕВЫНУЖДЕННЫЕЗАВИСЯТ _ ОТ _ PРассмотрим характер зависящих от p колебаний при резонансе.Приведем зависящие от p колебания к общему знаменателю и посмотрим, чтобудет при p = ω .− hp sin ωt + hω sin pt p =ω − h sin ωt + hωt cos ωt⎯⎯⎯→ω ω 2 − p2− 2ω 2()Здесь деление на 0 было некорректным, поэтому по правилу Лопиталя были взятыпо отдельности производные числителя и знаменателя по p , и затем произведеназамена p = ω .
В итоге:С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра39q = q 0 cos ωt +q0ωsin ωt +h2ω2sin ωt −htcos ωt2ωВиден линейный характер возрастания амплитуды при резонансе, а также то, что поистечении большого количества времени сдвиг по фазе становится равным −π2(навходе sin pt , на выходе − cos ωt , но ω = p при резонансе.Задача С.18.43(в).⎧ x = − x + A sin ωt⎪⎨ y = −2 y + 2 x ,⎪ z = −z + y⎩ip + 1002det −2 ip + 20 = ∆ = ( ip + 1) ( ip + 2 ) =−1 1 + ip0= 2 (1 − 2 p 2 ) + i ( 5 p − p 3 )u = 2 (1 − 2 p 2 )υ = − p3 + 5 ppuυ020094-180125υ∆94− 18u2πЗдесь приращение аргумента равно ϕ = 3 .2Кстати убеждаемся, что имеет место асимптотическая устойчивость.Алгебраическое дополнение до элемента lk , где l - номер строки, k - номерстолбца, строится так. В определителе коэффициентов системы ∆ , который мынаписали выше, вместо элемента с индексом lk ставим 1 , а все остальные элементыС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра40в столбце k заменяем на 0 .100∆ 11 = 0 ip + 20 = − p 2 + 3ip + 2 ,0− 1 ip + 1ip + 1 1000 = 2(ip + 1) ,0 ip + 1∆ 12 = − 20ip + 10∆ 13 = − 201ip + 2 0 = 2−1 01 1 − iϕ= e∆ rIm1∆1 2 Re− 1 181∆−4 9πЗдесь приращение аргумента равно −ϕ = −3 .2u11 = 2 − p 2 , υ11 = 3 pIm ∆113 22Re ∆11πЗдесь приращение аргумента равно ϕ11 = 2 .2W11 =∆11 r11 i(ϕ11 −ϕ )= e∆rС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра41ImW11ReW111πЗдесь приращение аргумента равно ϕ11 − ϕ = − .2Im ∆ 12Re ∆12πЗдесь приращение аргумента равно ϕ12 = .2W12 =∆12 r12 i(ϕ12 −ϕ )= e∆rImW121ReW12πЗдесь приращение аргумента равно ϕ12 − ϕ = −2 .2W13 будет выглядеть какДействительно, W13 =1, только увеличенной в масштабе в 2 раза.∆∆131=2∆∆Немного о главных нормальных координатах в случае вынужденныхколебаний.Как известно в главных координатах T =11θi2 , Π = ∑ ωi2θi2 , а амплитудные векторы∑22ортонормированы по А-метрике.При преобразовании координат q = Uθ или θ = U −1q преобразуются такжеС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра42вынуждающие силы по формуле Q = (U T ) Θ или Θ = U T Q .
В главных координатах−1уравнения движения будут выглядеть θi + ωi2θi = Θi .Таким образом, в обычных координатах вынуждающая сила, действующая по однойкоординате, оказывает влияние на движения по другим координатам. В то же времяв главных координатах каждая вынуждающая сила проявляет влияние только покоординате ее действия.Следует также упомянуть теорему Релея о поведении собственных частотконсервативных систем: при увеличении жесткости системы или уменьшении ееинерции собственные частоты увеличиваются.Есть и другие теоремы.
Например, теорема о поведении собственных частот приизменении жесткости.Пусть даны две механические системы:Aq + Γq + Kq = 0 и Aq + Γq + K ′q = 0 .Систему будем называть более жесткой, если ( q, K ′q ) ≥ ( q, Kq ) при любой q ≠ 0 .Теорема: собственные частоты менее жесткой системы не превосходят собственныхчастот более жесткой.Есть еще теорема о поведении собственных частот при изменении массивности.Систему будем называть более массивной, если ( q, A′q ) ≥ ( q, Aq ) при любой q ≠ 0 .Теорема: собственные частоты более массивной системы не превосходятсобственных частот менее массивной.Из соображений здравого смысла эти теоремы понятны. Простым и нагляднымпримером является массивный шарик на жесткой пружинке.Домашнее задание.
Построение АФХ, амплитудной, частотной, фазовойхарактеристик.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра43САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.Тяжело в учении, легко в бою. (А.В. Суворов)СУВОРОВ Александр Васильевич (1730-1800). Автор военно-теоретических работ("Полковое учреждение", "Наука побеждать"). Создал оригинальную системувзглядов на способы ведения войны и боя, воспитания и обучения войск. СтратегияСуворова носила наступательный характер.
Развил тактику колонн и рассыпногостроя. Не проиграл ни одного сражения.ВОПРОСЫДорогие студенты и студентки!С помощью нижеследующего списка ключевых понятий, определений и теоремпо различным темам, предлагается проверить свои знания. Что вы могли бырассказать по какому-либо вопросу, будучи на экзамене?Самый лучший вариант: выучить и знать наизусть формулировки и формулы,ориентироваться в методах решения задач на данную тему.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра44Вопросы составлены на основе семинаров по теоретической механике МФТИпреподавателя Семендяева Сергея Вячеславовича.Семинар №1.ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИСтационарно заданные системы: консервативные, гироскопические,диссипативные (определенно-диссипативные).Функция Релея. Уравнения Лагранжа.Электромеханические аналогии на примере простейшей схемы.Постулат Максвелла.Семинар №2.РАВНОВЕСИЕ СКЛЕРОНОМНЫХ СИСТЕМПоложение равновесия.Принцип виртуальных перемещений. Принцип возможных перемещений.Различие формулировок.Идеальные связи.Принцип освобождаемости от связей.Условие равновесия для консервативных систем.УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХСИСТЕМУстойчивость и асимптотическая устойчивость.Теорема Лагранжа (Лагранжа-Дирихле).
Принцип Даламбера.Первая теорема Ляпунова.Вторая теорема Ляпунова.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра45Теорема Четаева. Однородность функции.Семинар №3.МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕММалые колебания и линеаризация системы.Положительная определенность форм кинетической и потенциальной энергии.Процедура построения решения для системы с малыми колебаниями.Вековое уравнение частот. Характеристический полином. Собственныечастоты.Общее решение для системы с малыми колебаниями.Амплитудные векторы и их свойства: линейная независимость, А(С)ортогональность, определенность направления, неопределенность модуля.Главные колебания. Форма главных колебаний по амплитудным векторам.Фаза, противофаза.
Максимальное число узлов.Главные (нормальные) координаты. Запись кинетической и потенциальнойэнергии в главных координатах. Уравнения движения и решения. А(С)ортонормированность. Ранг системы в случае кратных собственных частот.Семинар №4.МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)Угадывание амплитудных векторов в случае симметрии системы.
Упрощениерасчетов. Отсутствие необходимости записи векового уравнения для поискачастот.Семинар №5.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра46АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАсимптотическая устойчивость. Отрицательность действительной частикорней характеристического уравнения (Гурвицев полином). Общий видрешений.Необходимое условие асимптотической устойчивости.Критерий Рауса-Гурвица.Критерий Рауса-Гурвица в форме Льенара-Шипара.Геометрический критерий Михайлова.
Построение годографа Михайлова.Общий вид годографа Михайлова в случае устойчивости для различныхстепеней характеристического полинома. Поиск корней слева и справа отмнимой оси.Теорема Барбашина-Красовского.Семинар №6.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СКЛЕРОНОМНЫХ СИСТЕМОбщее решение: решение однородной системы и решение частное.Принцип суперпозиции.Алгебраическое дополнение и определитель матрицы коэффициентовлинейной системы.
Правило Крамера.Амплитудно-фазовые характеристики. Амплитудные, фазовыехарактеристики.Одномерный случай. Нулевой декремент затухания. Резонанс. Собственные,сопровождающие, вынужденные колебания.Главные координаты. Запись вынуждающих сил в главных координатах.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра47РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА[1]. Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980.[2]. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.:Наука, 2001.[3]. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2004.[4]. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука,2001.[5].
Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990.Дополнительная литература:- на сайте кафедры теоретической механики http://teormech.fizteh.ru илиhttp://teormech.mipt.ru (зеркало)- методические пособия (спрашивайте у преподавателя).Успехов!С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
