Семинары 4 семестр Часть 1 (1238808), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Эта система будет иметьнетривиальные решения, если определитель, составленный из коэффициентов этойсистемы, будет равен нулю. Раскрывая этот определитель, получимхарактеристическое уравнениеf ( λ ) = a0 λ n + a1λ n −1 + .. + an −1λ + an = 0 .Если все егорешения имеют корни с Re λk ≺ 0 , то характеристический полином называютгурвицевым.ao0 ⇔ ai0, ∀iуравнение на(или ao ≺ 0 ⇔ ai ≺ 0, ∀i , но можно помножить характеристическое−1и получим первый вариантao0 → ai0, ∀i )(Необходимое условиеасимптотической устойчивости)Пример.λ3 + 2λ + 1 не надо исследовать, т.к.
нет константы при λ2 , она равна нулю и, значит,не выполняется необходимое условие асимптотической устойчивости.Критерий Рауса-Гурвица.Для f (λ ) = a0 λn + a1λn−1 + .. + a n−1λ + a n составляем матрицу ГурвицаС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра27a1a00....a3a2a1....a5a4a3...... .... .... .... ....
anОбратите внимание, что первый элемент на диагонали a1 , а не a0 .Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы былибольше нуля все главные миноры матрицы Гурвица∆1 > 0, ∆ 2 > 0,..., ∆ n −1 > 0, ∆ > 0 .Критерий Рауса-Гурвица в форме Льенара-Шипара.
Для асимптотическойустойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимоеусловие устойчивости, т.е.ao0 ⇔ ai0, ∀i ,а также были больше нуля все четные(либо нечетные) главные миноры матрицы Гурвица∆ 2 > 0, ∆ 4 > 0,...(либо ∆1 > 0, ∆ 3 > 0,... ).Геометрический критерий Михайлова.Характеристический полином можно записать в виде произведения скобок,содержащих корни характеристического уравнения.nf ( λ ) = a0 ∏ ( λ − λk )k =1Введем параметр ω : − ∞ ≺ ω ≺ ∞ (его положительное значение соответствует частоте)так, что λ = iω .nИсследуем годограф Михайлова – годограф комплексного числа f ( iω ) = a0 ∏ ( iω − λk ) .k =1Рассмотрим комплексную плоскость, в которой расположен вектор (iω − λ k ) .λkIm λλRe λiω − λ k →iω(iω − λk ) - вращается против часовой стрелки при изменении ω от−∞ до ∞ длякорня с отрицательной действительной частью и по часовой стрелке для корня сС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра28положительной действительной частью. От направления вращения зависит знакприращения аргумента (угла) этого вектора.Приращение аргумента характеристического полинома, как сумма приращенийаргументов всех векторов (iω − λ k ) , где k = 1, n , а n - порядок характеристическогополинома, дается формулой:∆ω∞=−∞ arg f ( iω ) = lπ − rπ , или∆ω∞=0 arg f ( iω ) =lπ − rπ,2где l - число корней слева от мнимой, r - число корней справа от мнимой оси вплоскости ( Re λ , Im λ ) . Полное число корней в случае устойчивостиl+r =n.корни будут слева от мнимой оси, т.е.
Re λk ≺ 0 , то должно выполнятьсяследовательно,Если всеl = n, r = 0 ,и,l−r =n.Таким образом, условие асимптотической устойчивости:∆∞0 arg f (iω ) =nπ, где n - степень характеристического полинома.2Для асимптотической устойчивости характеристического полиноманеобходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента годографа Михайловапри монотонном изменении частоты ω от нуля до +∞ равнялось nπ , где n 2степень характеристического полинома, т.е. ∆∞0 arg f (iω ) =чтоl=n.nπ.
Отсюда следует,2А также - непрохождение годографа через 0.В большинстве случаев нам неизвестны корни характеристического уравнения.Однако мы можем построить годограф Михайлова для данного характеристическогополинома f (λ ) = a0 λn + a1λn−1 + .. + a n−1λ + a n , заменив переменную λ на iω и отделивдействительную и мнимую частиf ( iω ) = u (ω ) + iυ (ω ) .Заметим, что в u (ω ) входят только четные степени ω , в υ (ω ) - только нечетные:u ( −ω ) = u (ω ) ,υ ( −ω ) = −υ (ω ) .С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра29Изменяем ω в пределах ω ∈ [ 0, ∞ ) , строим годограф Михайлова – годографкомплексного числа f ( iω ) = u (ω ) + iυ (ω ) .Годограф Михайлова не стремится ни к какой асимптоте, в том числе к осям, такжекак, например, ветви параболы или гиперболы.Например, в случае n = 3, зачеркнуты «неправильные хвосты» в третьем квадранте:n=3υϕuυПри этом tgϕ = → ∞ , ∆∞0 arg f (iω ) =unπ 3π=.22- «правильный» годограф Михайлова при асимптотической устойчивости с n = 3 .a0 ≺ 0 ,тоже асимптотическая устойчивость в соответствии с критерием Михайлова.Для лучшего понимания, разберем задачу.Задача С.17.13.λ4 + λ3 + 4λ2 + 2λ + 3 + k = 0 .Необходимое условие устойчивости: k−3 .λ = iω : u = ω 4 − 4ω 2 + 3 + k , υ = −ω 3 + 2ω .С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра30При k = 0 : u = 0 , если ω 2 = 1, ω 2 = 3 ;υ = 0 , если ω = 0, ω 2 = 2 .ωuυ0301012-1030- 3∞-∞∞υuУстойчивость.u стремится к ∞ быстрее υ .−3k0 1Рассмотрим ось k с выделенными точками, которые находим из условияпрохождения годографа Михайлова через ( u,υ ) = ( 0, 0 ) .1) k ≺ −3υul + r = 4, lπ2−rπ2=2π2, ⇒ l = 3, r = 1 . Неустойчивость.2) k = −3υul + r +1 = 4, lπ2−rπ2=3π2, ⇒ l = 3, r = 0 . Неустойчивость.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра31{К l + r добавили 1, потому что годограф пересекает 0 при ω = 0 }3) − 3 ≺ k ≺ 1υul + r = 4, lπ2−rπ2=4π2, ⇒ l = 4, r = 0 . Устойчивость.4) k = 1υul+r+2= 4, lπ2−rπ2=2π2, ⇒ l = 2, r = 0 . Неустойчивость.{К l + r добавили единожды 2, потому что годограф единожды пересекает 0 приω ≠ 0}5) k 1υul + r = 4, lπ2−rπ2=0π2, ⇒ l = 2, r = 2 .
Неустойчивость.Замечание. Если годограф f (iω ) пересекает начало координат, из рассмотренияможно исключить корень с Re λ = 0 . Для этого, определив ω 0 , при котором f (iω ) = 0 ,нужно построить годограф функцииf (iω ).λ + ω 02(2)Задача.⎧mx + β x + cx = A(ω − ω 0 )⎨Jω = − Bx⎩Исследовать устойчивость режима, поддерживающего ω 0 .С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра32Замена переменной: Ω = ω − ω 0 .⎧mx + β x + cx = AΩ⎨JΩ = − Bx⎩Подставляем в эту систему уравнений x = u1e λt , Ω = u 2 e λt , сокращаем e λt , записываемопределитель коэффициентов системы линейных уравнений относительно λ .mλ2 + βλ + c − AJλB= mJλ3 + βJλ2 + cJλ + AB = 0 .И вообще, для системы Aq + Bq + Cq = 0 , где A, B, C - матрицы, q - вектор,характеристический полином получается раскрытием определителя:det ( Aλ 2 + Bλ + C ) = a0λ n + a1λ n −1 + ...
+ an −1λ + an = 0 .Необходимое условие устойчивости: AB 0 , поскольку все остальныекоэффициенты положительны.Определитель Гурвица:βJABmJ0cJβJ00 . По критерию Гурвица в форме Льенара-Шипара ∆ 2 должно бытьABбольше нуля.β cJ 2 − mJAB0 , (β cJ − ABm )J0 , т.е. 0 ≺ AB ≺βcJm.Пусть, для примера: m, β , c, J = 1 , а AB = 2 . Будет неустойчивость. Проверим спомощью критерия Михайлова.λ3 + λ 2 + λ + 2 = 0u = −ω 2 + 2 , ω 2 = 2υ = −ω 3 + ω , ω = 0, ω 2 = 1ωuυ0201100- 2-∞-∞2∞С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра33υul + r = 3, lπ2−rπ2= −1π2⇒ l = 1, r = 2 . НеустойчивостьСЕМИНАР №6.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СКЛЕРОНОМНЫХ СИСТЕМ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001..................................§42-43, 47, с.212-220, 233-239Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. ................................................................................ Глава 6, §7, с.247-265Маркеев А.П.
Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...........................................................................Глава XIV, §2 (п.230), с.525-533Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. .......Гл.4-5, §21, 28 с.106-108, 128-135Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. .
.........................................Глава 10, §39-43, с.171-207С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра34Рассматривается склерономная система в линеаризованной форме.∑ (ank =1jkq k + b jk q k + c jk q k ) = Q j (t ) , j = 1, nПредполагается асимптотическая устойчивость положения равновесия.Общее решение системы: q k = q kодн + q kчастн ,где q kодн - решение однородной системы,q kчастн - частное решение неоднородной системы.Исследуется вопрос: по известному возмущению Q j (t ) вычислить отклик q k (t ) .Справедлив принцип суперпозиции. Если воздействиям Q j (t ) , j = 1, m ,соответствуют отклики q j (t ) , j = 1, m , то воздействиюm∑ Q (t ) соответствует откликj =1jm∑ q (t ) .j =1jВ силу этого принципа исследуем воздействие только по одной координате.⎧Q ( t ) , j = lПусть Q j ( t ) = ⎨⎩ 0, j ≠ lQ(t ) = h sin ( pt ) → Q(t ) = he iptp - частота вынуждающей силы.В случае периодической негармонической силы, ее можно разложить в ряд Фурье погармоническим функциям.
В случае непериодической силы используютсяинтегралы Фурье.q k = Dk e ipt - ищем решение на частоте вынуждающей силы, потому что решениеоднородной системы через определенное время становится сколь угодно малым.∑ ( a ( ip )jk2)⎧h, j = l+ b jk ( ip ) + c jk Dk = ⎨⎩0, j ≠ lПо правилу Крамера решением будет:Dk = h∆ lk ( ip )∆ ( ip )где ∆lk - алгебраическое дополнение до элемента lk матрицы коэффициентовлинейной системы, ∆ - определитель этой системы.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра35Можно записать в таком виде:Dk = hWlk ( ip ) = h Wlk ( ip ) ei arg Wlk ( ip )= hRlk ( p ) eiΨ lk ( p )Тогдаqk = hRlk ( p ) e (i pt +Ψ lk ( p ) )На выходе видим искажение амплитуды и фазы входного сигнала.Множитель при h определяется исключительно матрицами A, B, C и носит названиеамплитудно-фазовой характеристики (АФХ):Wlk ( ip ) =∆ lk ( ip )∆ ( ip )Rlk ( p ) - амплитудная характеристика.Ψ lk ( p ) - фазовая характеристика.Пример.ImW1kR1k ( p )p2Ψ1k ( p ) ReW1kp=0p1Воздействие: Q1 (t ) = h0 + h1e ip t + h2 cos( p 2 t )1Отклик, например: qk = h0 R1k ( 0 ) + h1 R1k ( p1 ) e (i p1t −π2) +h R21k( p2 ) cos ( p2t − π )Если подано воздействие только по одной координате, число АФХ равно n , если повсем координатам, то n 2 .Wlk ( ip ) =∆ lk ( ip )∆ ( ip )=r i ϕ −ϕ1∆ lk ( ip ) = lk e ( lk )∆r∆(ip ) = re iϕ - годограф Михайлова, который не проходит через 0, в силуасимптотической устойчивости системы по условию.1- общий множитель для всех АФХ.∆∆ lk ( ip ) = rlk eiϕlk - меняется в зависимости от l и k .С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра36Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.q + 2δq + ω 2 q = he iptω - собственная частота соответствующей консервативной системы, δ - декрементзатухания.Будем считать 2δ 2 ≺ ω 2q = De ipt((ip )W=2)+ 2δip + ω 2 D = h11=ω − p + i 2δ p ∆22∆ = u + iυu = ω 2 − p 2 . u = 0 при p = ωυ = 2δ p . υ = 0 при p = 0υp =ωup=0Годограф Михайлова.График ∆(ip ) = re iϕ - это годограф Михайлова системы и, взяв величину, обратнуюмодулю, и аргумент, равный: − ϕ , несложно получить график W =1∆(ip )Im WRe Wp =ωIm Wδ =0p →ωRe WС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра37Графики АФХ при δ ≠ 0 и при δ = 0 . Как видно при δ = 0 ImW ( p = ω ) уходит в −∞ аАФХ растягивается по оси ReW , становясь разрывной.R ( p ) = W ( ip ) =(((1(ω2))−p)2 2+ 4δ p2Амплитудная характеристика.2dR1 2 ω 2 − p 2 (− 2 p ) + 8δ 2 p=−=032dp22 22 2 2ω − p + 4δ p)p=0− ω 2 + p 2 + 2δ 2 = 0 , p* = ω 2 − 2δ 2p* = ω 2 − 2δ 2RpRδ =0pp =ω*Графики амплитудной характеристики при δ ≠ 0 , и при δ = 0 .Здесь также при δ = 0 при p = ω наблюдается разрыв функции.Резкое возрастание амплитуды отклика, когда частота внешней силы приближаетсяк p = p* называется резонансом, а соответствующая частота резонансной. Уконсервативной системы (δ = 0 ) резонансной частотой называется значение p , прикотором амплитудная характеристика системы имеет разрыв второго рода.Консервативная система резонирует на всех своих собственных частотах и только наних.⎛ −2 pδ ⎞Фазовая характеристика.Ψ = arg W ( ip ) = arctg ⎜ 22 ⎟⎝ω − p ⎠С.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
