Семинары 4 семестр Часть 1 (1238808), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поставляем в уравнения Лагранжа иполучаем линейную систему алгебраических уравнений:n∑ (ck =1ik− ω 2 aik ) uk = 0, i=1,n , где u - неизвестная величина.Чтобы получить нетривиальные (ненулевые) решения этой системы, мы должныприравнять нулю определитель матрицы коэффициентов этой системы:det cik − ω 2 aik = 0 .Это уравнение носит название вековое уравнение частот.Раскрыв определитель получаем относительно λ = ω 2 полином степени n . Решенияω - называются собственными частотами.Остановимся на случае различных собственных частот ω1 , ω2 ,..., ωn .Поскольку полином f ( λ ) = a0λ n + a1λ n −1 + ...
+ an −1λ + an степени n , имеется n решений.Каждой собственной частоте ω j найдем соответствующий амплитудный вектор u jиз системы:С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра17( C − ω A) u2jj= 0 , где C - матрица потенциальной энергии,A - матрица кинетической энергии.После того, как найдены u j , можно записать общее решение:⎛ u1 j ⎞⎜ ⎟u2 jq = ∑ C j u j sin (ω j t + α j ) = ∑ C j ⎜ ⎟ sin (ω j t + α j ) ,⎜ ... ⎟jj⎜⎜ ⎟⎟⎝ unj ⎠α j - фаза,u j sin (ω j t + α j ) - описывает движение, называемое j − тым главным колебанием.Оно содержит 2n констант: n ( C j ) + n (α j ) = 2n .Константы находятся из начальных условий.Свойства амплитудных векторов, соответствующих различным частотам.1) Линейно независимы и ортогональны в А-метрике (А-ортогональность).
Т.е.usT Au j = 0 при ωs ≠ ω j . Отсюда следует также С-ортогональность.Помножим слева ( C − ω 2j A) u j = 0 на usT и ( C − ωs2 A) us = 0 на u Tj . Тогда:(())⎧usT ∗ ( C − ω 2j A ) u j = 0⎪⇒ (ωs2 − ω 2j ) usT Au j = 0 .⎨ T2⎪⎩u j ∗ ( C − ωs A ) us = 0Если ωs ≠ ω j , то usT Au j = 0 . Из той же системы получается usT Cu j = 0 .Из А-ортогональности следует также линейная независимость.Докажем это методом от противного. Допустим, есть линейная зависимость.Тогда:k1u1 + k2u2 + ... + kn un = 0Помножим это уравнение слева на u Tj A :u Tj A ∗ ( k1u1 + k2u2 + ...
+ kn un = 0 )Вследствие А-ортогональности, после умножения останется толькоu Tj Au j = 0С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра18Отсюда следует, что u j = 0 . Но u j ≠ 0 , следовательно, изначальное предположениео линейной зависимости неверно.
Т.е. А-ортогональные амплитудные векторалинейно независимы.Доказательство линейной независимости см. также в [4] c.179.2) Амплитудные векторы известны с точностью до произвольной константы,являющейся их длиной, т.е. изменчивы по модулю, но не по направлению. Этоследует из того, что ранг линейной системы равен ( n − 1) при n неизвестных.Задача С.16.38.LC1C1q1Cq2 Lq1 ( 0 ) = q2 ( 0 ) = 0, q1 ( 0 ) = q10 , q2 ( 0 ) = q20Кинетическая энергия T =L 2q1 + q22 )(2Потенциальная энергия Π =112q12 + q22 ) +( q1 − q2 ) , Φ = 0, Q1 = 0, Q2 = 0(2C12CУравнения Лагранжа:d ∂Τ ∂Τ∂Π ∂Φ−=−−+ Qi , где i = 1, 2 .∂qi ∂qidt ∂qi ∂qi11⎧⎪ Lq1 + C q1 + C ( q1 − q2 ) = 0⎪1⎨1⎪ Lq + q + 1 ( q − q ) = 0⎪⎩ 2 C1 2 C 2 1Решение ищем в виде qi = ui sin (ωt + α ) , i = 1, 2 .
После подстановки в систему исокращения sin (ωt + α ) получим:⎧⎛ 1 112⎞⎪ ⎜ + − Lω ⎟ u1 − u2 = 0C⎪ ⎝ C1 C⎠⎨⎛ 1 1⎪ 12⎞⎪− C u1 + ⎜ C + C − Lω ⎟ u2 = 0⎝ 1⎠⎩Эта система будет иметь нетривиальные решения, когда определитель матрицы еекоэффициентов равен нулю.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра19∆=⎛ 1 12⎞⎜ + − Lω ⎟⎝ C1 C⎠−1C−1C22⎛ 1 1⎞ ⎛1⎞= ⎜ + − Lω 2 ⎟ − ⎜ ⎟ = 0⎛ 1 1⎝ C1 C⎠ ⎝C ⎠2⎞⎜ + − Lω ⎟⎝ C1 C⎠Отсюда получаем:⎧⎛ 1 11⎧⎛ 1 2⎞12⎞⎪⎜ + − Lω ⎟ + = 0 ⎪ω12 = ⎜ + ⎟⎪⎝ C1 C⎠ C⎪⎝ C1 C ⎠ L⇒⎨⎨⎪⎛ 1 + 1 − Lω 2 ⎞ − 1 = 0 ⎪ ω 2 = 12⎟⎪⎜ C C⎪⎩C1 L⎠ C⎩⎝ 1Подставляем эти значения в систему:⎛ 1 2⎞1+ ⎟ :⎝ C1 C ⎠ L1. ω12 = ⎜u1 =1- амплитудный вектор соответствующий ω1 .−12. ω22 =u2 =⎛ 1 1 1 2⎞1⎜ + − − ⎟ u1 − u2 = 0 ⇒ u1 = −u2C⎝ C1 C C1 C ⎠⎛ 1 1 1 ⎞11: ⎜ + − ⎟ u1 − u2 = 0 ⇒ u1 = u2C1 L ⎝ C1 C C1 ⎠C1- амплитудный вектор соответствующий ω2 .1Амплитудные вектора ортогональны.Общее решение:⎛⎛ ⎛ 1 2 ⎞ 1 ⎞⎞⎛⎛ 1 ⎞⎞q111αt= C1+sin ⎜ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎟ t + α1 ⎟ + C2 sin ⎜ ⎜⎜⎟2⎟⎜ C1 L ⎟⎟q21−1⎜ ⎜ ⎝ C1 C ⎠ L ⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠ПЕРВОЕ _ ГЛАВНОЕ _ КОЛЕБАНИЕВТОРОЕ _ ГЛАВНОЕ _ КОЛЕБАНИЕМожно построить форму главных колебаний по амплитудным векторам.
По осиаргументов берут степень свободы, по оси значений берут амплитуду.1111Линия, соединяющая точки значений, не пересекает ось аргументов. Если непересекает, говорят «в фазе».1−11−1С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра20Линия, соединяющая точки значений, пересекает ось аргументов. Если пересекает,говорят «в противофазе».В системе с n степенями свободы возможно от нуля до ( n − 1) пересечений (узлов).Например, при n = 2 максимальное количество узлов равно 1.При n = 3 максимальное количество узлов равно 2.Возможные формы главных колебаний при n = 3 :Продолжим решение задачи С.16.38.С учетом начальных условий получим:⎧ q1 ( 0 ) = q10 = C1 sin α1 + C2 sin α 2⎪⎪ q2 ( 0 ) = q20 = −C1 sin α1 + C2 sin α 2⎨⎪ q1 ( 0 ) = 0 = C1ω1 cos α1 + C2ω2 cos α 2⎪q2 ( 0 ) = 0 = −C1ω1 cos α1 + C2ω2 cos α 2⎩Отсюда следует:⎧ 2C1ω1 cos α1 = 0ππ⇒ α1 = , α 2 = , поскольку C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 .⎨22⎩2C2ω2 cos α 2 = 0Далее, C1 =q10 − q20q + q20, C2 = 10.22При q10 = q20 C1 = 0 , реализуется второе главное колебание.
При q10 = −q20 C2 = 0 ,реализуется первое главное колебание.Механическим аналогом исследуемой в задаче С.16.38. электрической схемы будет:Замечание. В задаче С.16.38. были честно посчитаны амплитудные векторы, однаков случае симметрии системы, можно угадать один или несколько амплитудныхвекторов, а остальные найти из условия ортогональности по матрице А. Угадываниеприводит к упрощению решения системы уравнений. Об этом будет рассказано насеминаре №4.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра21Квадратичные формы T и Π , поскольку они положительно определены,одновременно приводятся к канонической форме линейным невырожденнымпреобразованием: qk = ∑ uikθi .T=11θi2 , Π = ∑ ωi2θi2 ⇒ θi + ωi2θi = 0 .∑22θ - называются главными или нормальными координатами.Решение: θi = Ci sin (ωi t + α i ) .При ωs ≠ ω j выполняется usT Au j = δ sj - ортонормированность в А-метрике (Аортонормированность), где δ sj -символ Кронекера.Замечание по поводу амплитудных векторов.В случае различных собственных частот ранг системы ( C − ω 2j A) u j = 0 равен ( n − 1) иамплитудные векторы определяются с точностью до постоянного множителя, т.е.направление амплитудного вектора находится однозначно, а модуль может бытьпроизвольным.
В случае кратных собственных частот ранг системы ( C − ω 2j A) u j = 0равен ( n − m ) , где m - кратность корня λi = ωi2 , и однозначности в направленииамплитудных векторов нет. Выполняется лишь условие независимости и условие Аортогональности к векторам, соответствующим другим частотам.Например.ω1 , ω2 = ω3 ⇒ ранг системы равен 1.Есть u1 , u2 , u3 , причем u2 и u3 лежат в плоскости ортогональной u1 , но u2 и u3необязательно ортогональны.
Независимость u j сохраняется, а ортогональностиможет и не быть. Тем не менее, мы можем искусственно потребовать Аортогональность амплитудных векторов, соответствующих одинаковым частотам,для того чтобы наверняка получить их линейную независимость.Домашнее задание. Обратите внимание на задачу С.15.18.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра22СЕМИНАР №4.МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).ЗадачаОбруч в горизонтальной плоскости.Τ=mxi2 ,∑2Π=c(x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )22()L = Τ − Π , подставляем в уравнения Лагранжа и получаем:⎧ mx1 + 2cx1 − cx 2 − cx3 = 0⎪⎨mx 2 + 2cx 2 − cx1 − cx3 = 0 ,⎪mx + 2cx − cx − cx = 0312⎩ 3Решение системы ищем в виде: xi = u i sin (ωt + α ) .
Подставляем в систему, сокращаемsin (ωt + α ) :С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра23()⎧ 2c − mω 2 u1 − cu 2 − cu 3 = 0⎪2⎨− cu1 + 2c − mω u 2 − cu 3 = 0 ,⎪− cu − cu + 2c − mω 2 u = 0123⎩()()Не решая систему относительно u1 , u 2 , u 3 , угадываем амплитудные векторы, исходяиз симметрии системы:11 ⇔ υ1 = υ2 = υ3 ,1в одну сторону. Первый амплитудный вектор.10 ⇔ υ1 = −υ3 ,−1αβγв разные стороны, а υ2 = 0 . Второй амплитудный вектор.⇔ Третий амплитудный вектор ищем из условия ортогональности.A=E ⇒u1T Au 3 = 0 : α + β + γ = 0 ,u 2T Au 3 = 0 : α − γ = 0 .1β = −2γ , α = γ ⇒ −2 - третий амплитудный вектор.1Нашли все амплитудные векторы. Ищем собственные частоты, не решаяхарактеристическое уравнение.
Подставляемu1u2u3в систему:jj=1: 2c − mω 2 − c − c = 0 → ω 2 = 0 → ω1 = 0 .j=2: 2c − mω 2 + c = 0 → ω 2 =3c3c→ ω2 =.mmj=3: 2c − mω 2 + 2c − c = 0 → ω 2 =ω12 = 0, ω 22 = ω 32 =3c3c→ ω3 =.mm3c. Вторая частота кратности 2.mОбщее решение:С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра24x1111⎛ 3c⎞⎛ 3c⎞x2 = ( C1t + C0 ) 1 + C2 0 sin ⎜⎜t + α 2 ⎟⎟ + C3 −2 sin ⎜⎜t + α 3 ⎟⎟⎝ m⎠⎝ m⎠−1x3111Вместо u 3 мы могли взять другой амплитудный вектор, например,−10, но при этомуже не было бы взаимной ортогональности всех амплитудных векторов: u1 ⊥ u 2 ,но u 2 ∠u 3 .Домашнее задание.Потренируйтесь угадывать амплитудные вектора.С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра25СЕМИНАР №5.АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДИССИПАТИВНЫХСИСТЕМ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001....................................................... §35-39, с.174-200Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................Глава 6, §5 (п.1-3, 5), с.222-242Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990..................................................................................... Глава XV, §3-4, с.547-563Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.
...................Глава 5, §23-27, с.109-128Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...........................................Глава 9, §36-37, с.157-165Асимптотическая устойчивость равновесия:1) устойчивость (см. пред. семинар);2) ∃δ 00 : qi ( 0 ) ≺ δ 0 , qi ( 0 ) ≺ δ 0 ⇒ lim qi ( t ) = 0,lim qi ( t ) = 0t →∞t →∞Линеаризуется стационарная система:dxi= X i ( x1 ,.., x n ), i = 1, n Стационарная системаdtndxi= ∑ aik x k Линейная системаdtk =1С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра26nРешение ищем в виде: xi = ∑ C k u ik e λ t (Корни все различны)kk =1mЕсли λ1 кратности m : xi = ∑ C k u ik t k −1e λ t +1k =1n∑C uk = m +1kike λk t .Re λk < 0, ∀k- Требуем это условие для того, чтобы экспоненты были затухающими. Затуханиедает устойчивость при t → ∞ .Действительно,eλk t = e(Re λk + i Im λk )t= e Re λk t ( cos ( Im λk ) + i sin ( Im λk ) )Затухающая экспонента, т.е. с Re λk ≺ 0 , может «затушить» любой полином и любуюпериодическую ограниченную функцию.Подставив в систему дифференциальных уравнений, и сократив слева и справаэкспоненты, мы получим линейную систему уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
