Семинары 4 семестр Часть 1 (1238808), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поэтому здесь работает принцип возможных перемещений, а неидеальных.δ A = P sin α dl1 + Qdl − Fdl1 + k ∆sdl2Нить нерастяжима: l1 + l 2 + 2l = const (уравнение связи)⇒ dl1 + dl 2 + 2dl = 0 → dl = −dl1 + dl 22Q⎛⎞⎛ Q⎞⎜ P sin α − − F ⎟ dl1 + ⎜ − + k ∆s ⎟ dl2 = 02⎝⎠⎝ 2⎠Q1Q2Отсюда Q1 и Q2 - обобщенные силыУсловие равновесия → необходимо и достаточноQi = 0, ∀i . ⇒ F = P sin α −QQ, ∆s =.■22kС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра9Если все Qi потенциальны, условие равновесия: Qi = −∂Π=0 .∂qiЗадача С.14.6.A0ϕ1 A1ϕ2 A2ϕ2A3ϕnAnQДано Q = const , m. Найти ϕ i .□ −d Π Q = δ AQ = Qdxn ,nx n = l ∑ sin ϕ k ,k =1Π = Π mg⎛ cos ϕ1 + ( cos ϕ1 + cos ϕ 2 ) +⎞⎜⎟+ Π Q = − mgl ⎜ + ( cos ϕ1 + cos ϕ 2 + cos ϕ3 ) + ...
⎟ − Qxn ,⎜⎟⎝ ... + ( cos ϕ1 + ... + cos ϕ n )⎠nnk =1k =1Π = − mgl ∑ (n − k + 1) cos ϕ k − Ql ∑ sin ϕ k ,−∂Π= − mgl (n − k + 1)sin ϕ k + Ql cos ϕ k = 0 ,∂ϕ k⇒ tgϕ k =Qmg (n − k + 1)Отсюда находим углы положения равновесия. ■Обратите внимание на примеры в [3] на стр. 74-80.УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХСИСТЕМ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике.
3-е издание. – М.: Наука, 2001....................................................... §33-34, с.165-174Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. ........................................................... Глава 6, §5, (пункты 1,4) с.222-242Маркеев А.П. Теоретическая механика.
– М.: Наука, 1990....................................................................................... Глава XIV, §1, с.507-518Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ....................................
Глава 3, с.83-97Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ................................................ Глава 9, §38, с.165-171С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра10Сейчас мы будем говорить об устойчивости консервативных систем.Положение равновесия называют устойчивым, если0, ∃δ ( ε )∀ε0 : qi ( 0 ) ≺ δ , qi′ ( 0 ) ≺ δ ⇒ qi ( t ) ≺ ε , qi′ ( t ) ≺ ε {Замечание. При этом мыпредполагаем, что обобщенные координаты выбраны так, что соответствуютположению равновесия (q, q ) = (0,0) , где q = {q1 ,..., qn } }Если, кроме того, lim qi (t ) = 0, lim qi′ (t ) = 0 , то положение равновесия называетсяt →∞t →∞асимптотически устойчивым.qqqqУстойчивость - траектория движения на фазовой плоскости (q, q ) не выйдет запределы ε -окрестности, если началась в δ -окрестности.Асимптотическая устойчивость - если (q, q ) стремится к нулю.Пример.xkmxxПолная механическая энергия груза на пружинке:E=mx 2 kx 2+= const = c .
В фазовой плоскости (q, q ) она дает уравнение эллипса.22Есть устойчивость согласно определению ∀ε > 0, ∃c > 0 :... .Нет асимптотической устойчивости, т.к. с эллипса «слезть» нельзя.Для исследования устойчивости консервативных систем есть несколько теорем.Достаточные условия устойчивости дает теорема Лагранжа.Теорема Лагранжа (или Лагранжа-Дирихле). Если в некотором положенииконсервативной системы потенциальная энергия Π имеет строгий минимум,то это положение является положением устойчивого равновесия системы.С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра11(Замечание. Эта теорема является достаточным условием устойчивого равновесия.Невыполнение условий т. Лагранжа не значит еще, что нет устойчивости).Необходимым условием экстремума функции являются равенства:∂Π= −Qi = 0, ∀i∂qiДостаточные условия неустойчивости дают две теоремы Ляпунова и теоремаЧетаева.1 теорема Ляпунова. Если в положении равновесия потенциальная энергияΠ консервативной системы не имеет минимума и это устанавливается израссмотрения членов 2-го порядка в разложении Π , то такое положениеравновесия неустойчиво.2 теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системыΠ имеет максимум и это устанавливается из членов наинизшего порядка вразложении Π , то такое положение равновесия неустойчиво.Функция Π начинается на самом деле с Π 2 :=0=0⎛ ∂Π ⎞1 ⎛ ∂ 2Π ⎞Π = Πo + ∑ ⎜⎟qi + ∑ ⎜⎟qi qk + ...2 ⎝ ∂qi ∂qk ⎠⎝ ∂qi ⎠Π 0 - аддитивная константа, которую можно приравнять нулю.∂Π= 0 , поскольку∂qiрассматриваем равновесие.Если квадратичная форма потенциальной энергии положительно определена вкаком-либо положении равновесия ( Π 2 > 0 ), то в этом положении потенциальнаяэнергия имеет строгий изолированный минимум, и следовательно, устойчивоеположение равновесия по теореме Лагранжа.
Условие положительнойопределенности квадратичной формы дает критерий Сильвестра.По критерию Сильвестра рассматривается матрица:∂2Π∂q12∂2Π∂2Π= ∂q2 ∂q1∂qi ∂qk......∂2Π∂q1∂q2......∂2Π∂q22.....................∂ 2Π∂qn2С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра12в которой для того, чтобы Π 2 > 0 должно выполняться∆1 > 0, ∆ 2 > 0,..., ∆ n = ∆ > 0 .Теорема Четаева. Если Π консервативной системы является однороднойфункцией, и в положении равновесия не имеет минимум, то такое положениеравновесия неустойчиво.Однородность функции порядка k : f ( cx1 , cx2 ,..., cxn ) = c k f ( x1 , x2 ,..., xn )Пример.θrϕΠ = −mgr cos θ .∂ 2Π∂θ 2∂ 2Π∂ϕ∂θ∂ 2Π−Π 0∂θ∂ϕ=⇒2∂ Π0 0∂ϕ 2нет устойчивости.Посмотрите [4] §35 о корректности определения устойчивости (нужноопределиться относительно каких обобщенных координат рассматриваетсяустойчивость).Задача С.14.36.(с дополнением).ω = constFeϕmg□ (r , ϕ ,ψ ) - сферические координаты.r = const , ψ = ω = const ⇒ ψ = ωt + ψ 0Два уравнения связи.
Одна степень свободы.q =ϕ.Переходим в неинерциальную систему отсчета.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра13В этой системе отсчета мы рассматриваем относительное равновесие на основаниипринципа Даламбера. Его формулировка есть в [2] §4.Переносная сила инерции:F e = mω 2 R sin ϕ .Сила Кориолиса Fкор ⊥ всем виртуальным перемещениям ⇒ работу не совершает.Принцип виртуальных перемещений:δA = − d Π = − mg sin ϕRd ϕ + m ω 2 R sin ϕ cos ϕ Rd ϕ ,Положения равновесия:∂Π= mg sin ϕR − mω 2 R sin ϕ cos ϕR = 0 ,∂ϕ1. sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = 0 .2. sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = π .3.
cos ϕ =gω R2, возможно при ω 2 ≥gg, ϕ = arccos 2 .Rω RУстойчивость:∂ 2Π= mgR cos ϕ − mω 2 R 2 cos 2ϕ ,2∂ϕ1.∂ 2Π= mgR − mω 2 R 2∂ϕ 2 10 , для устойчивости нужен строгий минимум потенциальнойэнергии.Устойчивость ϕ = 0 при ω 2 ≤ω2 =∂ 3Π∂ 4Πg ∂ 2Π, 2 = 0, 3 = 0, 4R ∂ϕ∂ϕ∂ϕg.R0.2. Неустойчивость ϕ = π , т.к.3.∂ 2Π≺ 0.∂ϕ 2⎛ g2⎞∂ 2Πgmg 2= mgR 2 − mω 2 R 2 ⎜ 2 4 2 − 1⎟ = − 2 + mω 2 R 22∂ϕ 3ω Rω⎝ ω R⎠случай 1. ϕ = arccosgω R20 ⇒ ω4g2R2. Если ω 4 =g2, то повторяетсяR2всегда устойчиво, когда существует, т.е.
при ω 2 ≥С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестраg.■R14СЕМИНАР №3.МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001....................................................... §40-41, с.200-212Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. ................................................................................ Глава 6, §6, с.242-247Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990................................................................Глава XIV, §2 (кроме п.230), с.518-525Яковенко Г.Н.
Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. .....Гл. 4, §18-20, 22, с.97-106, 108-109Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ......................................Глава 10, §40 (п.2), с.177-180Прежде чем перейти к теме «малые колебания консервативных систем», продолжимисследование устойчивости консервативных систем на следующем примере.Исследуем устойчивость вертикального положения равновесия следующей системы.∆x1 , ∆x2 = 0c2↓c2 ∆x2ϕ2c1 c1∆x1 l2ϕ1l1m2 gm1 gС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра15ϕ1 , ϕ2 -обобщенные координаты, малые углы.Потенциальная энергия:c1l12 sin 2 ϕ1Π = Π1 + Π 2 =+ m1 gl1 cos ϕ1 +2c ( l sin ϕ1 + l2 sin ϕ2 )+ 2 1+2+ m2 g ( l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ 2 )2Линеаризуем эту систему.
При малых углах ϕ1 , ϕ2 → 0 тригонометрические функцииможно разложить в ряд Тейлора до второго порядка cos ϕ → 1 −ϕ22, а sin ϕ → ϕ . Сучетом этого, упростив, получим квадратичную форму:Π=+ϕ12(c l2211− m1 gl1 + c2l12 − m2 gl1 ) +2ϕ1ϕ 2( c2l1l2 ) + Π 02ϕ222(c l22 2− m2 gl2 ) +Π 0 - эта константа в исследовании роли не играет, поскольку потенциальная энергияопределяется с точностью до аддитивной константы.Составляем матрицу коэффициентов квадратичной формы потенциальной энергии:∂ 2Π∂ϕ12∂ 2Π∂ϕ1∂ϕ2∂ 2Π∂ϕ2∂ϕ1∂ 2Π∂ϕ22По теореме Лагранжа-Дирихле для того, чтобы положениеравновесия было устойчиво достаточно, чтобы потенциальнаяэнергия в этом положении имела строгий изолированныйминимум.
Это достигается при использовании критерияСильвестра в том случае, когда главные миноры составленной матрицы строгобольше нуля.∆=(c l211(c l211− m1 gl1 + c2l12 − m2 gl1 )( c2l1l2 )( c2l1l2 )( c2l22 − m2 gl2 )> 0,− m1 gl1 + c2l12 − m2 gl1 ) > 0Малые колебания подразумевают линеаризацию, т.е.
отбрасывание членов вышеопределенного порядка для того, чтобы при составлении уравнений Лагранжаполучилась линейная система дифференциальных уравнений. Поскольку поведениеконсервативной системы полностью описывается двумя функциями T , Π , то послеС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра16линеаризации запишем их в квадратичной форме, при этом будем требовать, чтобыэти формы были положительно-определенными. Положительная определенностьследует из физического смысла кинетической энергии (T = mυ 2 2 > 0,υ ≠ 0 ) и изтеоремы Лагранжа-Дирихле, потому что мы рассматриваем малые колебания околоустойчивого положения равновесия ( Π = Π 2 > 0 ).T=1 n1 naqq,Π=∑ ik i k∑ cik qi qk2 i ,k =12 i ,k =1Составляем уравнения Лагранжа:d ∂Τ ∂Τ∂Π ∂Φ−=−−+ Qi , i = 1, n∂qi ∂qidt ∂qi ∂qiДля консервативных систем: Φ = 0, Qi = 0 . Поэтому, подставив T , Π , в уравненияЛагранжа, получим:n∑(aikk =1qk + cik qk ) = 0, i = 1, n .Частное решение этой системы уравнений ищется в виде qk = uk sin (ωt + α ) , причемдля всех k предполагаются одни и те же ω и α .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
