Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин (1238799)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский физико-техническийинститут(государственный университет)Н.И. АмелькинКинематика и динамикатвердого тела~r′ = Λ r ΛМосква 2000г.ВВЕДЕНИЕНастоящее пособие предназначается для студентовМФТИ, изучающих кинематику и динамику твердого тела вкурсе теоретической механики.Изложениеразделакинематикипостроенонаиспользовании аппарата кватернионов – четырехмерныхгиперкомплексных чисел со специальными правиламиумножения. Кватернионы дают возможность в достаточнопростой и удобной форме задавать повороты в трехмерномпространстве, что и обуславливает их применение дляописания вращательного движения твердого тела.Кватернионный способ имеет ряд преимуществ посравнению с другими способами описания вращательногодвижения твердого тела.

С помощью кватернионовэффективно решаются задачи на определение параметровконечного поворота твердого тела и задачи сложенияповоротов. Кинематические уравнения движения твердоготела в кватернионах не вырождаются, как это имеет местопри использовании углов Эйлера, и не содержаттригонометрических функций, а число этих уравненийсущественно меньше, чем число уравнений в направляющихкосинусах (четыре против девяти).Предлагаемый вариант изложения кинематики твердоготела с помощью кватернионов аппарата дает также иметодические преимущества. В кватернионах это изложениеполучается наиболее полным и компактным, являясьодновременно достаточно простым и доступным дляизучения.Раздел динамики твердого тела наряду с освещениемтрадиционных вопросов содержит подробное изложениетеории волчка Лагранжа.Автор выражает благодарность В.Ф.

Журавлеву заоказанное содействие в работе.41 . Алгебра кватернионовКватернионы были введены в математику В.Р.Гамильтоном в 1843 году. Они представляют собойобобщение аппарата комплексных чисел на четырехмерныйслучай и записываются выражениями следующего вида:Λ = λ0 ⋅ i0 + λ1 ⋅ i1 + λ2 ⋅ i2 + λ3 ⋅ i3 ,(1.1)гдеλ0 , λ 1, λ 2, λ 3– произвольные действительные числа,называемые компонентами кватерниона Λ , а i0 , i1 , i2 , i3 –кватернионные единицы.Кватернионное сложение определяется по правиламобычной векторной алгебры, т. е.

при сложении двухкватернионов Λ и Μ складываются их соответствующиекомпонентыλkиµ k ( k = 0, 1, 2, 3 ).Кватернионное произведение обозначается знаком « » иопределяетсяследующимиправиламиумножениякватернионных единиц:i0 i0 = i0 , i0 ik = ik i0 = ik , ik ik = −1, k = 1, 2, 3.i1 i2 = i3 , i2 i3 = i1 , i3 i1 = i2 ,(1.2)i2 i1 = −i3 , i3 i2 = −i1 , i1 i3 = −i2 .В соответствии с приведенными правилами сложения иумножения можно использовать такую интерпретациюкватернионов, при которой элемент i0 отождествляется свещественнойединицей,аэлементыi1 , i2 , i3–сединичными векторамиi1 , i2 , i3 , образующими втрехмерном пространстве правую ортогональную тройку.Тогда кватернион Λ можно записать в виде формальнойсуммы скалярной частиλ0и векторной части5λ:Λ = λ0 + λ1 ⋅ i1 + λ2 ⋅ i2 + λ3 ⋅ i3 = λ0 + λ ,(1.3)а правила (1.2) умножения базисных элементов кватернионазапишутся через скалярное и векторное произведениеследующей формулой:ik i j = −(ik , i j ) + ik × i j , k , j = 1, 2, 3.(1.2*)Отсюда, аксиоматизируя дистрибутивность умножения поотношению к сложению, получаем формулу длякватернионного произведения векторовλиµ:λ µ = − (λ , µ ) + λ × µ ,(1.4)а также формулу для произведения двух кватернионов сненулевойскалярнойчастьюΛ = λ0 + λΜ = µ0 + µ :Λ Μ = λ 0 µ 0 − (λ , µ ) + λ 0 µ + µ 0 λ + λ × µ .и(1.5)Приведенные правила сложения и умножения полностьюопределяют алгебру кватернионов и все вытекающие из неесвойства.

При рассмотрении кватернионов с нулевымиполучаем алгебрувекторными частями ( Λ = λ 0 )вещественных чисел. Если же векторная часть кватернионовпредставлена одним измерением( Λ = λ 0 + λ1 ⋅ i1 ),тополучается алгебра комплексных чисел. Поэтому алгебракватернионов включает в себя алгебру вещественных икомплексных чисел.Укажем основные свойства умножения кватернионов.1.

Умножение кватернионов обладает дистрибутивнымипо отношению к сложению свойствами, т. е.Λ (Μ + Ν ) = Λ Μ + Λ Ν .2. Умножение кватернионов ассоциативно, т. е.Λ (Μ Ν ) = (Λ Μ ) Ν .63. Кватернионное умножение не обладает свойствомкоммутативности, т. е. Λ Μ ≡/ Μ Λ.

Это обусловленоλ × µ,некоммутативностью векторного произведениявходящего в формулу (1.5) для произведения кватернионов.Поэтому равенство Λ Μ = Μ Λ имеет место только втом случае, когда векторные части сомножителейколлинеарны, т. е. (λ × µ = 0).4. Скалярная часть произведения кватернионов неизменяется при циклической перестановке сомножителей, т.е.sqal(Λ ΜΝ ) = sqal(Ν Λ Μ ).Свойство 2 устанавливается непосредственной проверкойс использованием введенных аксиом сложения и умножениякватернионов, а свойство 4 следует из того, что в силуформулы (1.5) скалярная часть произведения двухкватернионов не зависит от порядка сомножителей. Поэтомуполучаемsqal[(Λ Μ ) Ν ] = sqal[Ν (Λ Μ )].По аналогии с комплексными числами для кватернионаΛ = λ0 + λопределяется сопряженный кватернион~Λследующего вида:~Λ = λ0 − λ .Нормой кватерниона(1.6)Λназывается произведение этогокватерниона на его сопряженное значение~~Λ.Посколькувекторные части кватернионов Λ и Λ отличаются толькознаком, то в соответствии с правилами умножения для нормыкватерниона Λ получается следующее выражение:~3Λ = Λ Λ = λ 02 + (λ , λ ) = ∑ λ2k .k =07(1.7)Таким образом, норма кватерниона является скаляром иинвариантна по отношению к выбору базисаλ1 , λ 2 , λ 3время как компонентыi1 , i2 , i3 ,в товекторной частикватерниона зависят от выбора базиса.Кватернион Λ называется нормированным, еслиΛ = 1.Правила вычисления сопряженного значения и нормы отпроизведения двух кватернионов легко устанавливаются спомощью формулы умножения (1.5).

Так, для произведения~~Λ имеем~ ~Μ Λ = (µ 0 − µ ) (λ0 − λ ) =двух кватернионовΜи~= λ0 µ 0 − (λ , µ ) − ( µλ0 + λµ 0 + λ × µ ) = (Λ Μ ) .Отсюда получаем, что сопряженное значение отпроизведения двух кватернионов равно произведению ихсопряженных значений, взятых в обратном порядке:~ ~ ~(Λ Μ ) = Μ Λ.(1.8)Полученное соотношение позволяет в свою очередь найтивыражение для нормы произведения двух кватернионов:~~Λ Μ =Λ Μ Μ Λ= ΛΜ ,(1.9)т.

е. норма произведения двух кватернионов равнапроизведению норм сомножителей. Отсюда следует, чтопроизведение нормированных кватернионов есть такженормированный кватернион.Методом индукции легко показать, что правила (1.8) и(1.9) распространяются на случай произвольного числасомножителей, т. е.~ ~~(Λ1 ... Λn ) = Λn ... Λ1 ,Λ 1 ...Λ n = Λ 1 ⋅ ... ⋅ Λ n8.Операция деления кватернионов определяется какоперация умножения на обратный кватернион.Кватернионом, обратным к Λ , называется кватернионΛ−1 , определяемый из условияΛ Λ−1 = 1.(1.10)Выражение для обратного кватерниона можно найтинепосредственно из этого определения, рассматривая его какуравнение относительно неизвестного~Λ−1 .Умножая обечасти (1.10) на Λ слева и используя соотношение (1.7) длянормы, получаем~ΛΛ =, ( Λ ≠ 0) .Λ−1Отсюда следует, чтонормированным, т.

е.(1.11)кватернион Λ является= 1 , то обратным к немуеслиΛ~кватернионом будет его сопряженное значение Λ .Используя приведенные выше правила вычислениясопряженного значения и нормы от произведениякватернионов, получаем, что норма обратного кватернионаравнаΛ−1 =1Λ, а кватернион, обратный произведениюкватернионов, вычисляется по формуле( Λ1 ... Λn ) −1 = Λ−n1 ...

Λ1−1 .(1.12)Обратим внимание, что свойства сложения и умножениякватернионов аналогичны свойствам сложения и умноженияматриц.Какследствиеэтого,правиларешениякватернионных уравнений аналогичны правилам решенияматричных уравнений.Кватернионноеуравнениеэквивалентночетыремскалярным уравнениям. Одно из них получается9приравниванием скалярных составляющих правой и левойчастей кватернионного уравнения, а остальные три – эторавенство компонент векторных составляющих в некоторомортогональном базисе трехмерного пространства.Тригонометрическая форма записи кватернионов. ПустьΛ – нормированный кватернион.

Вводя новые переменные спомощью равенствλ0 = cosν , λ = e ⋅ sin ν ,единичный вектор, коллинеарный вектору λ ,тригонометрическую форму записи кватернионагдеe–получаемΛ = cosν + e ⋅ sin ν .(1.13)Λ = Λ ⋅ (cosν + e ⋅ sinν ),(1.14)Для ненормированного кватерниона имеемгдеΛ =Λ – модуль кватерниона Λ.Формакватерниона(1.14)аналогичнатригонометрической записи комплексных чисел. Из этогопредставления следует, что любой кватернион однозначноопределяется значением модуляΛ,единичным векторомe и углом ν . Выбор же e и ν для заданного Λ являетсядвухзначным, т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги