Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин (1238799), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В совокупности скинематическими уравнениями, записанными в той или иной53форме, они образуют замкнутую систему уравненийвращательного движения твердого тела. Интегрированиеэтой системы дает закон движения твердого тела взависимости от момента действующих на тело сил иначальных условий движения.Рассмотрим сначала случай Эйлера, который определяетсяусловием Μ = 0 , и называется движением твердого телаOпо инерции. В этом случае правые части в динамическихуравнениях Эйлера равны нулю, и эти уравнения имеют дваинтеграла движения (закона сохранения).
Один являетсяследствием сохранения кинетического момента и имеет видΑ 2 p 2 + Β 2 q 2 + C 2 r 2 = Κ 2 = const.OВторой описывает сохранение кинетической энергии:Αp 2 + Βq 2 + Cr 2 = 2Τ = const.Приведенные два закона сохранения позволяют выразитьдве компоненты угловой скорости через третью, затемподставить полученные выражения в соответствующееуравнение Эйлера и получить решение для компонентугловой скорости в виде квадратуры. Далее полученноерешениедляугловойскоростипоставляетсявкинематическиеуравнения,решениекоторыхврассматриваемом случае тоже удается свести к квадратурам.Таким образом, в рассматриваемом случае Эйлерауравнения вращательного движения твердого телаинтегрируются при любых начальных условиях.
Однакополучаемое при этом решение является достаточно сложнымдля понимания закономерностей движения твердого тела,поскольку оно представляется сложным образом черезэллиптические интегралы. Для восполнения указанногонедостатка используются геометрические интерпретациирассматриваемого движения, наиболее известными изкоторых являются геометрические интерпретации Пуансо иМак-Куллага. Указанные интерпретации основываются на54использовании записанных выше законов сохранения иподробно изложены в монографии В.Ф.Журавлева «Основытеоретической механики».Анализ движения твердого тела существенно упрощается,если имеет место динамической симметрии твердого тела,под которой понимается равенство двух главных моментовинерции твердого тела: Α = Β ≠ C .
В этом случае векторугловой скорости твердого тела всегда можно разложить нанаправление кинетического моментаΚ O и направление осиe3 следующим образомΑ ( pe1 + qe2 ) + Cre3 + ( A − C )re3ω=. ⇒динамической симметрииΑω ==Κ O ( A − C)+re3 ,ΑΑ(3.20)а скорость оси симметрии подчиняется уравнениюe3 = ω × e3 =ΚO× e3 .Α(3.21)В рассматриваемом случае Эйлера вектор кинетическогомомента сохраняется и по величине и по направлению. Неменяется также и проекция r угловой скорости тела на осьдинамической симметрии, что следует из третьего уравнениясистемы (3.19), которое в рассматриваемом случаеприобретает вид Cr = 0.
Наконец, остается постояннымугол θ между осью динамической симметрии и векторомкинетического момента, поскольку выполняется равенствоΚ O , e3 = Cr = Κ O ⋅ cosθ = const.Из установленных фактов заключаем, что исследуемоедвижение представляет собой регулярную прецессию вокругнаправления кинетического момента (рис. 13), параметрыкоторой определяются соотношениями55ω1 =ΚΟCrА −Сre3 , cos θ =, ω2 =.АΑΚOДанное движение твердого тела представляется в видекомбинации двух вращений.
Первым является вращениевокруг неподвижного направления кинетического момента спостоянной угловой скоростью прецессии ω1 . Второепредставляет собой вращение вокруг неподвижной в теле осидинамической симметрии с постоянной по величине угловойскоростью собственного вращения ω 2 .ΚΟωω1Οω2e3Рис. 13В большинстве прикладных задач, связанных сдвижением динамически симметричного твердого тела снеподвижной точкой, главным является вопрос о движенииоси динамической симметрииe3 ,которую в дальнейшембудем обозначать символом e без индекса.Для получения уравнения движения оси динамическойсимметрии обозначим черезω ⊥ экваториальнуюсоставляющую угловой скорости твердого тела, т.е.ω ⊥ = pe1 + qe2 .Тогдаимеем56e = ω × e = ω⊥ × e ,откуда в силу ортогональностиω⊥иeполучаемω⊥ = e × e ,а вектор кинетического момента телаотносительно неподвижной точки (или центра масс)записывается в видеΚ O = Αω ⊥ + Cre = Α ⋅ e × e + Η ⋅ e , Η = Cr.Отсюда по теореме об изменении кинетического моментаполучаем уравнение движения оси динамической симметрии:Α ⋅e ×e + Η ⋅e + Η ⋅e = ΜΟ.(3.22)Полученное уравнение, как и динамические уравненияЭйлера, применимо как для движения твердого тела снеподвижной точкой Ο , так и для его движенияотносительно системы Кенига, движущейся поступательноотносительно инерциальной системы отсчета.
В последнемслучае движение центра масс тела относительноинерциальнойсистемыможетбытьсовершеннопроизвольным, т.е. уравнения движения твердого телаотносительно системы Кенига не зависят от движения центрамасс тела и совпадают с уравнениями движения твердоготела с неподвижной точкой C.Рассмотрим теперь случай Лагранжа, в котором изучаетсядвижение динамически симметричного тела (волчка) снеподвижной точкой в однородном поле тяжести (рис.
14).При этом предполагается, что центр тяжести волчка лежитна оси симметрии на расстоянии l от неподвижной точки Ο .Для этого случая уравнение (3.22) принимает видΑ ⋅ e × e + Η ⋅ e + Η ⋅ e = mgl ⋅ i × e .(3.22*)Это уравнение имеет следующие интегралы движения:Η = Cr = const ,Α ⋅ e × e , i + Η ⋅ e , i = Κ O , i = const.(3.23)2Α ⋅ (e × e ) + 2mgl ⋅ i , e = 2Τ ′ + 2Π = const.57Первый из записанных интегралов движения получаетсяскалярным умножением уравнения (3.22*) на e и означаетнеизменность проекции кинетического момента на осьсимметрии.i ΨΘCemgΟРис.
14Второй получается скалярным умножением уравнения(3.22*) на iи означает неизменность проекциикинетического момента на вертикаль. Третье соотношениеописывает закон сохранения полной энергии и получаетсяскалярным умножением уравнения (3.22*) на e × e . Приэтом в нем фигурирует только та часть Τ ′ кинетическойэнергииволчка,котораяотвечаетэкваториальнойсоставляющей угловой скорости ω ⊥ :2Τ ′ = Αω ⊥ = Α (e × e ) = Α (e ) .222Эта часть кинетической энергии может изменяться во время2движения волчка, в то время как слагаемое Cr неизменно.С учетом первого из интегралов (3.23) уравнениедвижения оси волчка принимает видΑ ⋅ e × e + Η ⋅ e = mgl ⋅ i × e .(3.22*)Интегралы движения (3.23) будем использовать дляанализа движения оси динамической симметрии.
Константыв правых частях уравнений (3.23) определяются начальнымиусловиями движения.58Положение оси e зададим углами θ и Ψ (рис. 14), гдеθ – угол отклонения оси e от вертикали (угол нутации), аΨ – угол поворота вокруг вертикали (угол прецессии).Рассмотрим случай, когда волчок начинает движение изположения θ 0 , а ось e неподвижна ( e (0) = 0 ). Тогдаинтегралы движения (3.23) запишутся в видеΑ (θ 2 +Ψ 2 sin 2 θ ) = 2mgl (cosθ 0 − cosθ ),ΑΨ sin 2 θ = Η (cosθ 0 − cosθ ).(3.23*)Выразив Ψ из второго уравнения и подставив в первое,получим уравнение движения по углу нутации:α 2u 2 + (cosθ 0 − u) 2 − β (1 − u 2 )(cosθ 0 − u ) = 0, (3.24)гдеu = cosθ , α =2 ΑmglΑ, β =.ΗΗ2Из этого уравнения следует, что движение можетпроисходить только для тех значений угла θ , которыеудовлетворяют неравенству(cos θ 0 − u ) 2 − β (1 − u 2 )(cos θ 0 − u ) ≤ 0.(3.25)f (u )–1u10u2+1uРис.
15Левая часть полученного неравенства представляетсобой многочлен третьей степени относительно59u = cosθ ,график которого изображен на рис. 15. На отрезке [−1, +1]возможных значенийкорня,одинизuмногочлен имеет два вещественныхu 2 = cosθ 0которыхсоответствуетu , а второй корень u1 , отвечающийзначению u , является левым корнемнаибольшему значениюнаименьшемууравненияu1 = cosθ 0 − β ⋅ (1 − u12 ).(3.26)На границах отрезка[u1,u2 ] скорости uи θ равнынулю, а во всех внутренних точках этого отрезка отличны отнуля. При этом для второй производной на границах отрезкавыполняютсянеравенстваu (u 2 ) < 0,аu (u1 ) > 0.Поэтому движение волчка происходит таким образом, чтокосинус угла нутации периодически изменяется междуминимальным значениемu1и максимальным значениемu2 .Поскольку в силу (3.23) угловая скорость прецессииψ является однозначной функцией угла θ , то она такжеявляется периодической функцией с тем же самым периодом,что и для угла θ .
Поэтому поведение оси волчка имеет вид,изображенный на рис. 16,а траекторией конца единичноговектора e на единичной сфере. В верхних точках заострениятраектории ось останавливается, а в нижних точкахтраектории скорость оси максимальна и обусловлена толькоугловой скоростью прецессии, поскольку в этих точкахθ (u ) = 0.160Если начальные условия движения задать так, что приθ (0) = θ 0 , θ (0) = 0,Ψ (0) ≠ 0, то получающиеся при этомтраектории оси динамической симметрии изображены на рис.16,в и 16,с. В случае в), который соответствует условиюΨ (0) > 0, траектория является гладкой кривой, причем длякаждойточкиэтойтраекториискоростьпрецессииположительна. В случае с), для которого Ψ (0) < 0,траектория является петлеобразной, а скорость прецессии вовремя движения меняет знак, так что в нижних точкахтраектории скорость прецессии положительна, а в верхнихточках отрицательна.iа)iiв)с)Рис.
16Для начальных условий, заданных соотношениямиθ (0) = θ 0 , θ (0) = 0,Ψ (0) =Η ± Η 2 −4Αmgl cosθ 0,2Α cosθ 0траектория оси симметрии превращается в окружность наединичной сфере, соответствующую углу нутации θ = θ 0 .При этих условиях скорость прецессии остается постоянной61Ψ (t ) = Ψ (0), а движение волчка представляет собойрегулярную прецессию вокруг вертикали.Неравенство (3.25) позволяет определить условиеустойчивости вертикального положения волчка. В этомслучае cos θ 0 = 1 и неравенство (3.25) принимает вид(1 − cosθ ) 2 (1 − β (1 + cosθ )) ≤ 0.Отсюда следует, что при выполнении условия 2 β ≤ 1, т.е.Η 2 ≥ 4mgl неравенство выполняется только при cos θ = 1 ,т.е. единственно возможным является вертикальноеположение волчка.Более детально можно проанализировать движение«быстрого» волчка, который определяется условием β <<1,2т.е. Η >> 2mgl.
Предполагая снова, что волчок начинаетдвижение из состояния покоя ( θ = 0,Ψ = 0 ), получаем, чтонижняяграницаоцениваетсязначенийвеличинойu = cosθприближенноu1 ≈ cosθ 0 − β sin θ 0 ,2т.е.движение происходит в узком диапазоне значений угланутации, определяемом неравенствомcosθ 0 − β sin 2 θ 0 ≤ cosθ ≤ cosθ 0 .Дифференцируя уравнение (3.24) по времени споследующим сокращением на u и отбрасывая членывторого порядка малости, получаем линеаризованноеуравнение12α 2 u + (u − cosθ 0 ) + β sin 2 θ 0 = 0.62Отсюда с учетом начальных условий получаем12cosθ − cosθ 0 = β sin 2 θ 0 (cosΗt − 1).ΑНа основе полученного решения из второгоуравнения системы (3.23*) находим приближенное решениедля угловой скорости прецессии:ψ=ΗβΗmglΗ(1 − cos t ) =(1 − cos t ).2ΑΑΗΑИз последнего уравнения следует, что среднеезначение угловой скорости прецессии дается равенствомΗψˆ = mgl , а среднее движение оси волчка определяетсяуравнениемΗ ⋅ eˆ = mgl ⋅ i × e = Μ O .(3.27)Соотношение (3.27) объясняет основное допущениеприближенной теории «быстрого» волчка (гироскопа), всоответствии с которым кинетический момент гироскопасчитается сосредоточенным на оси симметрии ( Κ O ≈ Η ⋅e ).Это предположение эквивалентно отбрасыванию первогослагаемого в уравнении (3.22*), определяющем движение осисимметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
