Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин (1238799), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в силу (2.19) иочевидной перестановочности операций сопряжения идифференцирования имеем:~~~~~(Λ Λ ) = (Λ Λ ) = −(Λ Λ ), ⇒ sqal (Λ Λ ) = 0.Поэтому с учетом правил кватернионного умножениявекторов формула (2.20) записывается в виде~V = VΟ + r = VΟ + 2(Λ Λ) × r = VΟ + ω × r ,~где ω = 2Λ Λ(2.21)(2.22)– вектор угловой скорости твердого тела относительносистемыAi1i2 i3 , или системы Ο i1i2 i3 (в силуколлинеарности указанных систем выражения (2.22),вычисленные в этих системах, тождественно совпадают).Покажем, что вектор угловой скорости не зависит отвыбора базиса в теле. Для этого свяжем с телом другой базисΟ ′Ε ′ с началом в точке Ο ′ и ортами e1′,e2′ ,e3′ . Пустькватернион C задает положение базиса Ο ′Ε ′ относительноΟ ′Ε .
Поскольку взаимная ориентация базисов Ο ′Ε ′ и Ο ′Ε∗не изменяется с течением времени, то отображение Cкватерниона C на базис Ο ′Ι будет являться постоянным∗кватернионом в базисе Ο ′Ι ( C = 0 ). Поэтому, записываякватернион Λ′ , задающий положение Ο ′Ε ′ относительноΟ ′Ι , в виде Λ′ = Λ C ∗ , получаем~~~~ω ′ = 2 Λ ′ Λ ′ = 2 Λ C ∗ C ∗ Λ = 2Λ Λ = ω .30Угловая скорость тела одинакова также для разных системотсчета, взаимная ориентация которых остается неизменной.Пусть взаимное положение базисов ΟΙ и ΟΙ ′ неизменно.C , задающий положение ΟΙТогда кватернионотносительно ΟΙ ′ является постоянным ( C = 0 ), апроизводные по времени от любого вектора в этих базисахсовпадают. Так как кватернионы Λ и Λ′ , определяющиеположение тела относительно ΟΙи ΟΙ ′, связаныравенством Λ′ = Λ C , то по аналогии с предыдущимслучаем получаем, что угловая скорость тела ω ′относительно базиса ΟΙ ′ совпадает с угловой скоростьютела ω относительно базиса ΟΙ .Такимобразом,угловаяскоростьявляетсядифференциальной характеристикой движения твердого телакак целого и не зависит от выбора каких-либо точек в теле.Поэтому лишены смысла формулировки типа “угловаяскорость точки”, или “угловая скорость тела относительноточки”, а можно говорить только об угловой скороститвердого тела относительно какой-то системы отсчета.Полученный результат составляет содержание теоремыоб угловой скорости твердого тела.
Теорема утверждает, чтопри произвольном движении твердого тела всегдасуществует единственный вектор ω , который связываетскорости любых двух точек тела формулой (2.21). Угловуюскорость можно трактовать также как вектор, с помощьюкоторого производная по времени от радиуса-вектора r ,соединяющего любые две точки твердого тела, записываетсяв видеr = ω × r.(2.23)Поясним смысл вектора угловой скорости. Пустьдвижение тела относительно системы Ο i1i2 i3 представляетсобой вращение вокруг неподвижной оси31ξ .
Тогда,обозначая черезполучаемϕугол поворота тела вокруг этой оси,ϕϕ22Λ = cos + ξ sin ,12Λ = ( − sinϕ2ϕ+ ξ sin )ϕ ; (ξ = 0),2и в соответствии с формулой (2.22) вектор~ωзаписывается ввиде ω = 2Λ Λ = ξ ϕ , т.е. угловая скорость направлена пооси поворота тела и по величине равна производной повремени от угла поворота.Чтобы выяснить смысл вектора ωв случаепроизвольного движения твердого тела, рассмотрим двабесконечно близких положения связанного с телом базисаΟΕ (t 0 ) и ΟΕ (t 0 + dt ) . В силу теоремы Эйлера базисΟΕ (t 0 + dt ) получается из базиса ΟΕ (t 0 ) бесконечномалым поворотом вокруг некоторой оси e , проходящейчерез точку Ο , на бесконечно малый угол α . Этот поворотзадается кватерниономαα22δΛ = cos + e ⋅ sin,а для Λ (t ) имеем Λ (t ) = δΛ Λ (t 0 ) . Отсюда на основанииформулы (2.22) получаем для угловой скорости выражение~ααα222ω = 2(δΛ) (δΛ ) = e ⋅α + e ⋅ sin (cos − e ⋅ sin ) .Из этого выражения в силу бесконечной малости угла αследует ω = e ⋅ α , т.е.
угловая скорость направлена по осибесконечно малого поворота тела и по величине равнапроизводной по времени от угла бесконечно малогоповорота.Ось бесконечно малого поворота называется мгновеннойосью вращения тела. Скорости точек тела, находящихся на32этой оси, равны скорости полюса Ο и равны нулю, если этотполюс неподвижен относительно системы отсчета.Движение твердого тела с угловой скоростью, равнойнулю, называется поступательным движением.
В этом случаепроизводная Λ , определяемая из (2.22) уравнением12Λ = ω Λ,(2.24)–постоянный кватернион, чторавна нулю, т.е. Λсоответствует неизменной ориентации связанного с теломбазиса ΟΕ относительно базиса ΟΙ . В силу (2.21) скоростивсех точек тела при поступательном движении одинаковы.Уравнения (2.24) являются кинематическими уравнениямивращательного движения твердого тела, записанными вкватернионах, и называются уравнениями Пуассона.Интегрирование этих уравнений дает кватернион Λ (t ) ,определяющий ориентацию тела.При практическом использовании кинематическихуравнений (2.24) кватернион Λ целесообразно задаватькомпонентами в системе отсчета ΟΙ , т.е.
параметрамиРодрига-Гамидильтона. В этом случае3311Λ = λ0 + ∑ λ∗k ⋅ ik , Λ = λ0 + ∑ λ∗k ⋅ ik .Представляя векторωтакже его компонентами в базисе3ΟΙ , т.е. ω = ∑ ω kΙ ik и выполняя умножение в формуле1(2.24), получим четыре скалярных дифференциальныхуравнения, которые связывают параметры РодригаГамильтона, задающие положение тела, с компонентамиугловой скорости тела в базисе ΟΙ .Однако во многих практических задачах угловая скоростьзадается компонентами на связанный с телом базис ΟΕ(например, в системах ориентации космических аппаратов33датчики угловых скоростей измеряют проекции угловойскорости на связанные с аппаратом оси).
В этих случаяхуравнение (2.24) не может быть непосредственноиспользовано, т.к. Λ и ω заданы в разных базисах. Но этапроблемалегкорешаетсяиспользованиемформулпреобразования базисов (2.5), с помощью которых вектор ωзаписывается в виде3~3~ω = ∑ ω kΕ ek = Λ (∑ ω kΕ ik ) Λ = Λ ω Ε Λ ,113гдеω Ε = ∑ ω kΕ ik–вектор, представляющий собой1отображение вектора ω из базиса ΟΕ в базис ΟΙ .Подставляя это выражение в (2.24), получим вторую формукинематических уравнений Пуассона:12Λ = Λ ω Ε.( 2.25)Поскольку теперь Λ и ω записаны в ортах одного итого же базиса ΟΙ , то уравнение (2.25) связывает параметрыРодрига-Гамильтона с компонентами угловой скорости телана оси связанного с телом базиса ΟΕ .Обратимся теперь к формуле (2.21).
Эта формуланазывается формулой Эйлера для распределения скоростейточек твердого тела. Дифференцирование ее по времени сучетом (2.23) дает формулу распределения ускорений втвердом телеΕW = WΟ + ε × r + ω × (ω × r ),где ε = ω – угловое ускорение твердого(2.26)тела, а r –вектор, соединяющий точку Ο с рассматриваемой точкой.В соответствии с (2.26) ускорение W произвольной точкитела может быть вычислено как сумма ускорения WO34некоторого полюса Ο , а также вращательного Wосестремительного Wгдеосвриускорения рассматриваемой точки,W вр = ε × r , W ос = ω × (ω × r ) .Формулы (2.21) и (2.26) являются основными рабочимиформулами при решении задач на определение скоростей иускорений точек твердого тела. Из них следует, что скоростьи ускорение любой точки тела могут быть найдены, еслиизвестны скорость и ускорение какой-либо одной его точкиΟ , а также угловая скорость и угловое ускорение тела.В свою очередь формула (2.21) может быть использованадля определения угловой скорости тела по известнымскоростям его точек.
Заметим при этом, что в общем случае(при пространственном движении твердого тела) скоростейдвух точек тела недостаточно для однозначного определенияего угловой скорости, т.к. векторное уравнение (2.21),рассматриваемое как уравнение относительно неизвестноговектора ω , определяет только два независимых скалярныхуравнения (система (2.21) вырождена).Из формулы (2.21) следует также, что проекциискоростей двух точек твердого тела на направление,соединяющее эти точки, одинаковы.
Этот результатполучается скалярным умножением на r левой и правойчасти уравнения (2.21).Рассмотримтеперьметодсложногодвижения.Формулировка задачи на сложное движение твердого теласостоит в следующем. Пусть задано движение связанного ствердым телом базиса ΟΕ относительно базиса ΒΙ ′ , изадано движение базиса ΒΙ ′ относительно системы отсчетаΑΙ (рис.
8). Требуется найти движение базиса ΟΕотносительно ΑΙ .В этой задаче движение базиса ΟΕ относительно ΒΙ ′35называется относительным движением, а движение базисаΒΙ ′ относительно ΑΙ – переносным движением тела.Движение базиса ΒΙ ′ относительно ΑΙ задаетсяскоростью VΒ и ускорением WΒ точки Β относительноω персистемы ΑΙ , а также угловой скоростьюускорениемεпери угловымбазиса ΒΙ ′ относительно ΑΙ . Пусть, вотнсвою очередь, VΟотни WΟзадают скорость и ускорениеи ε– угловую скоростьточки Ο в системе ΒΙ ′ , а ωи угловое ускорение связанного с телом базиса ΟΕотносительно ΒΙ ′.отнΙ′ ΙΙΒrΝΛΙ′ΜΕρΟΟRΒΑотнRΟРис.
8Чтобы найти движение тела относительно системыотсчета ΑΙ , нужно найти скорость VΟ и ускорение WΟточки Ο в этой системе, а также найти угловую скорость ωи угловое ускорение ε базиса ΟΕ относительно ΑΙ .Найдем сначала скорость и ускорение точки Ο в системеΑΙ . Записывая вектор ρΟ , определяющий положение точкиΟв базисе ΒΙ ′ , в виде ρΟ36= ∑ ρΟk ik′и дифференцируявектор RΟ= RΒ + ρΟпо времени в системе ΑΙ , получаем33131VΟ = RΒ + ρΟ = VΒ + ∑ ρΟk ik′ + ∑ ρΟk ik′Замечая далее, что вектор∑ ρΟk ik′ = VΟотн(2.27)представляет1собой относительную скорость точки Ο в системе ΒΙ ′ , аik′ = ω пер × ik′ , имеемVΟ = VΟотн + VΒ + ω пер × ρΟ = VΟотн + VΟпер ,перпер× ρΟ – переносная скоростьгде VΟ = VΒ + ω(2.28)точкиΟ .
В соответствии с полученной ранее формулойперраспределения скоростей в твердом теле (2.21) вектор VΟравен скорости той точки системы ΒΙ ′ , рассматриваемой кактвердое тело, в которой в данный момент находится точкаΟ.Этаскоростьполучается“замораживанием”относительного движения точки Ο в системе ΒΙ ′ .Выражение для ускорения точки Ο в системе ΑΙполучается дифференцированием вектора скорости этойточки (2.27) по времени в системе ΑΙ :d(ω nep × ik′) =dt111= [ WΒ + ε nep × ρΟ + ω nep × (ω nep × ρΟ ) ] +333WΟ = WΒ + ∑ ρΟ ik′ + 2∑ ρΟk ik′ + ∑ ρΟk3k+ ∑ ρΟk ik′ + 2ω nep × VΟотн.1В полученном выражении первое слагаемое, выделенноескобками, дает в соответствии с формулой (2.26) ускорениетой точки системы ΒΙ ′ , как твердого тела, в которой врассматриваемыймоментнаходитсядвижущаяся37относительно этой системы точка Ο .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
