Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин (1238799), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Далее, кватернионвходящий в решениеx2 ,e2′ = x1 e2 x1 ,также является единичным~e2′ = − x1 e2 x1 = −e2′ . Поэтому дляe2′ ≠ i2 решение x2 , определяемое выражением (2.8),вектором, посколькуслучаятакже является( x2 , i1 ) = 0единичным вектором, а проверка условиясводится к проверке условия(e2′ , i1 ) = 0.проверки этого условия выразим векторуравнения системы (2.5*) и вычислимi1Дляиз первогопроизведение(e2′ i1 ) :(e2′ i1 ) = x1 e2 x1 x1 e1 x1 = x1 e3 x1 .~Отсюда следует (e2′ i1 ) = −(e2′ i1 ) , т. е.
(e2′ , i1 ) = 0.Предположим теперь, что e2′ = i2 . В этом случае решение(2.8) находится из формулы (1.19*) и имеет следующий вид:x2 = ξ (−i2 ),где ξ – произвольный единичный вектор.В силу исходных предположений из всего множества этихрешений нужно выбрать только те, которые являютсявекторами и удовлетворяют условию20(x2 , i1 ) = 0.Отсюда(ξ , i2 ) = 0 , (ξ × i2 , i1 ) = 0 ,следуетт.е.ξ = ±i1 ,x2 = ± i3 .Оставшийся нерассмотренным случай i1 = e1 , i2 ≠ e2сводится к рассмотренному выше случаю заменой индексов.Из вида полученных решений следует, что решение Λсистемы (2.5) всегда является нормированным кватернионом,который имеет 2 значения разных знаков. Теорема доказана.В дальнейшем условимся считать начальным положениемтвердого тела такое его положение, когда орты связанного стелом базиса ΟΕ (Oe1e2 e3 ) совпадают с одноименнымиортами системы отсчета ΟΙ (Oi1i2 i3 ) .
Тогда в соответствиис (2.5) конечное положение r ′ произвольной точки телаопределяется через его начальное положение r формулой~r ′ = Λ r Λ.(2.9)Теорема 2 (теорема Эйлера о конечном повороте). Любоеположение твердого тела с неподвижной точкой может бытьполучено из начального положения одним поворотом вокругнекоторой оси ε на некоторый угол ϑ . При этом ось εконечногоповоротаколлинеарнавекторнойчастиΛ = λ0 + λ , а угол ϑ конечного поворотаопределяется формулой ϑ = 2 arccos λ0 .Доказательство. Представим кватернион Λ , задающийкватернионаположение тела, в тригонометрической формеΛ = λ0 + λ = cos α + ε ⋅ sin α ; ε = 1(2.11)и исследуем преобразование (2.9).
Дополним вектор εединичными векторами µ и η до правой ортогональнойтройки(ε µ = η )таким образом, чтобы вектороказался в плоскости векторов21εиµr(рис. 4). Тогда,записывая векторrв видеr = r ⋅ (ε cosψ + µ sinψ )используя условие ортогональности~µиλ,иполучаемµ Λ =Λ µ,~~r ′ = r ⋅ (Λ ε Λ cosψ + Λ µ Λ sinψ ) == r ⋅ (ε cosψ + Λ2 µ sinψ ) = r ⋅ (ε cosψ ++ ( µ cos 2α + η sin 2α ) sinψ ) = r ⋅ (ε cosψ + µ ′ sinψ ).εrψ ψr′ηОµ2αµ′Рис. 4Из полученного выражения следует, что преобразование (2.9)представляет собой поворот вокруг оси ε на уголϑ = 2α = 2 arccos λ0 . Теорема доказана.В дальнейшем на основании на доказанной теоремы будемговорить, что кватернион Λ задает поворот из базиса ΟΙ вбазис ΟΕ , если этот кватернион связывает векторы этихбазисов формулами (2.5).
Обратное преобразование задается22обратным кватернионом~Λ , поскольку формулы этого~ik = Λ ek Λ; k = 1, 2, 3.преобразования имеют видНа основании формул преобразования базисов (2.5)можно установить связь между компонентами кватерниона вразных базисах. Пусть положение базиса ΟΙ ′ относительнозадается кватернионом Λ . Рассмотримбазиса ΟΙнекоторый кватернион Μ и обозначим через µ k и µ k′ егокомпоненты в базисе ΟΙ и ΟΙ ′ соответственно. Тогда этоткватернион можно записать в виде следующих двухвыражений:3311Μ = µ0 + ∑ µk ik = µ0 + ∑ µk′ ik′.~ik′ = Λ ik Λ имеем33~~Μ = µ0 + ∑ µk ik = Λ (µ0 + ∑ µk′ ik ) Λ = Λ Μ ′ Λ.Из формул преобразования базисов11Кватернион Μ ′ = µ0 + ∑ µk′ik будем называть отображениемкватерниона Μ из базиса ΟΙ ′ в базис ΟΙ .
В соответствии сданным определением отображение Μ ′ имеет точно такиеже компоненты в базисе ΟΙ , какие имеет исходныйкватернион Μ в базисе ΟΙ ′ (рис. 5). При этом формуласвязи между кватернионом и его отображением имеет вид~Μ ′ = Λ Μ Λ.(2.13)23Ι~µ′Λ~ΛΙΙ′µΟΝΛΙ′ΜΕΟРис. 5Рис. 6В соответствии с формулой (2.13) и рис. 5 отображениеΜ ′ получается из Μ в результате обратного поворота избазиса ΟΙ ′ в базис ΟΙ . Соотношение (2.13) представляетсобой искомую формулу преобразования компонентнеизменного кватерниона при замене базиса, поскольку врезультате проектирования на базис ΟΙ оно определяетсвязь между компонентами µ k кватерниона Μ в базисе ΟΙи его компонентами µ k′ в базисе ΟΙ ′.
Заметим, чтокомпоненты кватерниона в разных базисах связаныобратным преобразованием по отношению к преобразованиюбазисов.Формулы сложения поворотов.Пусть кватернион Λ задает поворот из базиса ΟΙ в базисΟΙ ′ , а кватернион Μ – поворот из базиса ΟΙ ′ в базисΟΕ (рис. 6). Для нахождения кватернионаΝрезультирующего поворота из базиса ΟΙ в базис ΟΕиспользуем формулы (2.5), в силу которых имеем~~ik′ = Λ ik Λ ; ek = Μ ik′ Μ ; k = 1, 2, 3.Отсюда получаем24~ ~~ek = Μ Λ ik Λ Μ = Ν ik Ν ; k = 1, 2, 3,ΝΝ = Μ Λ.т. е.
кватернионопределяется формулой(2.14)В случае n поворотов, задаваемых кватернионамиΛ 1, Λ 2 ,..., Λn , формула сложения поворотов имеет видΛ = Λ n Λ n −1 ,..., Λ1 .(2.15)Эта формула легко доказывается методом индукции.Использование формулы (2.15) не вызывает затруднений,когда кватернионы составляющих поворотов Λ 1, Λ 2 ,..., Λnзаданы своими компонентами в одном и том же базисе. Вэтих случаях по формуле (2.15) вычисляются компонентырезультирующего кватерниона в этом же базисе.Если же кватернионы составляющих поворотов заданы вразных базисах, то необходимо использовать формулы (2.13)для представления всех кватернионов в ортах того базиса, вкотором требуется найти результирующий кватернион.Условимся называть собственным базисом кватернионаΛ тот базис, поворот из которого задается этимкватернионом. Компоненты кватерниона Λв егособственном базисе называются параметрами Родрига–Гамильтона и обозначаютсяΛλ∗k .
Если, например, кватернионзадает поворот из базиса ΟΙ , то параметрами Родрига–Гамильтона являются проекцииΛна базис ΟΙ , т. е.λ∗0 = λ0 , λ = λ = (λ , ik ); k = 1,2,3.∗kIk(2.16)Получим формулу сложения поворотов в параметрахРодрига–Гамильтона.В рассмотренной задаче сложения двух поворотов (рис. 6)для кватернионов Λ и Νпараметрами Родрига–Гамильтона являются их компоненты в базисе ΟΙ , а длякватерниона Μ – компоненты в базисе ΟΙ ′. Поэтому25указанные кватернионы выражаются через параметрыРодрига–Гамильтона следующими соотношениями:333k =1k =1k =1Λ = λ0 + ∑ λ∗k ik , Ν = η0 + ∑ηk∗ik , Μ = µ 0 + ∑ µ k∗ik′.Используя формулу (2.13), получаем из (2.14) следующеевыражение для результирующего кватерниона Ν :Ν = Λ Μ ′ = Λ Μ ∗,где Μ = µ 0 + ∑ µ k ik –отображение кватерниона Μ из его собственного базисаΟΙ ′ в базис ΟΙ .
В полученной формуле все кватернионызаписаны в ортах одного и того же базиса ΟΙ , а ихкомпонентами являются параметры Родрига–Гамильтона.Поэтому данная формула связывает параметры Родрига–Гамильтона результирующего поворота и составляющихповоротов.Если для кватернионов Λ и Ν определить их∗∗Ν ∗ на базис ΟΙ , то вΛ∗ = Λ , Ν ∗ = Ν формуласоответствующие отображенияΛ∗исилу очевидных равенствсложения поворотов запишется в следующем виде:Ν = Ν ∗ = Λ∗ Μ ∗ .(2.17)В случае n поворотов формула сложения в параметрахРодрига–Гамильтона имеет видΛ = Λ∗ = Λ1∗ Λ∗2 … Λ∗n ,∗где Λk – отображение кватерниона k-о поворота Λk(2.18)из егособственного базиса на базис ΟΙ , относительно которогоопределяется положение тела.Обратим внимание, что в формуле сложения поворотов(2.18) отображения перемножаются в обратном порядке поотношению к порядку умножения исходных кватернионов.Используем полученные формулы (2.18) для определениясвязи между параметрами Родрига–Гамильтона, задающимиположение твердого тела, и углами Эйлера (рис.
3).26ΙΙ′ΛΛ1Ι ′′Λ2Λ3ΕОРис. 7Конечное положение связанного с телом базиса ΟΕполучается из начального положения ΟΙ в результате трехповоротов (рис. 7). Первым является поворот из положенияΟΙ вокруг оси i3 на угол прецессии ψ . Кватернион этогоповоротаΛ1Λ1 = cosи его отображениеψ2+ i3 sinψΛ1∗ имеют вид= Λ1∗ .2Второй поворот осуществляется из положения ΟΙ ′ вокругосиi1′ на угол θ .
Поэтому имеемθθΛ2 = cos + i1′sin .22θθΛ∗2 = cos + i1 sin .22Для третьего поворота, осуществляемого из положенияΟΙ ′′ вокруг оси i3′′ на угол ϕ , получаемΛ 3 = cosВычисливϕ2+ i3′′sinтеперьвϕ2, Λ ∗3 = cosсоответствии27сϕ2+ i3 sinформулойϕ2.(2.18)произведение Λ = Λ1 Λ2 Λ3 , найдем связь междупараметрами Родрига-Гамильтона и углами Эйлера:∗∗∗∗θψ +ϕ ∗θψ −ϕ, λ1 = sin cos,λ∗0 = cos cos2222θψ −ϕθψ +ϕλ∗2 = sin sin, λ∗3 = cos sin.2222(2.19)Соотношения (2.19) дают возможность определить ось иугол конечного поворота твердого тела как функции угловЭйлера, а именно, направление оси конечного поворота поотношению к неподвижному базису ΟΙ определяетсякомпонентами λ1 , λ2 , λ3 ,вычисляется по формуле∗∗∗а угол конечного поворотаθψ +ϕ α = 2 arccos( λ∗0 ) = 2 arccos cos cos.
(2.20)22 2.2. Угловая скорость твердого тела.Кинематические уравнения движения твердоготела. Формулы распределения скоростей иускорений точек твердого телаВ предыдущем параграфе было установлено, чтопроизвольное положение твердого тела относительнонекоторой системы отсчета Ai1i2 i3 может быть заданорадиусом-вектором RΟ некоторой точки Ο этого тела инормированнымкватерниономΛ,определяющимориентацию связанной с телом системы Oe1e2 e328относительно системы Ο i1i2 i3 с началом в точке Ο иортами, параллельными одноименным ортам исходнойсистемы отсчета Ai1i2 i3 (рис. 1).Поскольку для произвольной точки тела положениевектора r в связанной с телом системе ΟΕ остаетсянеизменным, т.е.
компонентыrkв выражении3r = ∑ rk ekk =1постоянны, то в силу формулы (2.4) положение R этойточки относительно системы отсчетаAi1i2 i3 задаетсяравенством3R = RΟ + r = RΟ + ∑ rk ek =k =13= Λ ( ∑ rk ik )k =1где3r 0 = ∑ rk ikk =1~~Λ = RΟ + Λ r 0 Λ ,– постоянный вектор, который являетсяотображением вектора r из связанного с телом базиса ΟΕ вΟΙиопределяетначальноеположениебазисрассматриваемой точки тела в системе Ο i1i2 i3 (когда базисыΟΕ и ΟΙ совпадают).Найдем скорость произвольной точки тела в системеAi1i2 i3 . Учитывая, что для нормированного кватерниона Λвыполняются соотношения~~~Λ Λ = 1, ⇒ Λ Λ + Λ Λ = 0,(2.19)получаем~~V = RΟ + r = VΟ + Λ r 0 Λ + Λ r 0 Λ =~~= VΟ + Λ Λ r − r Λ Λ ,29(2.20)где VΟ – скорость точки Ο в системе Ai1i2 i3 , а Λ–производная по времени от кватерниона Λ в этой жесистеме:3Λ = λ0 + ∑ λ k ik .1~Выражение Λ Λ является вектором, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
