Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Хорошо, если задача сводится к построению плоской картины. Иногда из общих соображений удается сделать вывод о расположении поверхностей, на которых потенциал равен нулю, иногда приходится выполнить расчет для получения уравнения эквипотенциальной поверхности. Силовые линии должны начинаться наположительных зарядах (или приходить из бесконечности) и заканчиваться на отрицательных зарядах (или уходить на бесконечность). Принимаем во внимание, что вблизи точечных зарядов силовые линии расходятся радиально и равномерно. Во всех точкахследим, чтобы силовые линии и эквипотенциальные поверхностибыли взаимно перпендикулярными.
Силовые линии нигде не должны пересекаться друг с другом. Густота линий тем больше, чембольше напряженность поля в данной области. Вблизи точечногозаряда эквипотенциальные поверхности будут сферами (на плоскости – окружностями). Если заряды расположены в ограниченнойобласти, то на больших расстояниях от них эквипотенциальные поверхности также будут сферами.Задача 2.3.12. Начертить схему силовых линий электрическогополя и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точеч-74ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧных зарядов +q и –q, находящихся на некоторомрасстоянии d друг от друга.РешениеПотенциаллюбойточки плоскости, относительно которой зарядырасположены симметрично, равен нулю, так как Рис. 2.5.
Силовые линии и эквипотенциальныелюбая такая точка равно- поверхности системы из двух одинаковых поудалена от зарядов +q и величине и противоположных по знаку зарядов(задача 2.3.12)− q . Значит, силовые линии вблизи этой плоскости нулевого потенциала направлены по нормали к ней. Напряженность поля в точках этой плоскости убывает по мере удаления точек от зарядов.Поэтому густота линий будет максимальной вблизи силовойлинии, соединяющей заряды. Схематически картина силовых линий (сплошные линии) и сечения эквипотенциальных поверхностей(пунктир) представлена на рис. 2.5.Задача 2.3.13.
Проанализировать картину силовых линий электрического поля и эквипотенциальных поверхностей для системыдвух одинаковых положительных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.РешениеИз соображений симметрии ясно, что силовые линии не могутпересекать плоскость симметрииданной системы зарядов. СледоваАтельно, приближаясь к этой плоскости, силовые линии должны изгибаться, сближаясь, и затем расходиться, уходя на бесконечность. Судалением от зарядов картина силовых линий приближается к таковойдля точечного заряда величиной 2q.Модуль напряженности поля Рис. 2.6. Силовые линии системыравен нулю как в центре симметрии из двух одинаковых положительсистемы, так и в бесконечности, и ных зарядов (задача 2.3.13)Гл. 2.
Работа сил электростатического поля. Потенциал75не меняет знака при удалении от центральной точки. Это означает,что в некоторой промежуточной точке плоскости величина напряженности достигает максимума, и именно там густота линий будетнаибольшей. Направление на эту точку (точка А на рис. 2.6) задается углом, для которого tg φ = 1 2 (φ – угол, отсчитываемый от линии, проведенной через заряды). Картина силовых линий показанана рис. 2.6. Картину эквипотенциальных поверхностей легко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям. На больших расстояниях от зарядов эквипотенциальные поверхности будут сферами.Задача 2.3.14.
Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов +q и +2q,находящихся на расстоянии d друг от друга.РешениеРешение. Ввиду осевой симметрии системы достаточно рассмотреть картину силовых линий в плоскости, проходящей череззаряды. Поскольку оба заряда положительные, все силовые линииначинаются на зарядах и заканчиваются на бесконечности.
Отсюдаясно, что на выделенной плоскости должна существовать линия,которую силовые линии не пересекают.Силовые линии от каждого заряда на подходе к этой разграничительной линии изгибаются и уходятна бесконечность, асимптотическиприближаясь к ней. На отрезке, со+2q+qединяющем заряды +q и +2q разграничительная линия проходит черезточку А, в которой напряженностьполя равна нулю. Точка А отстоит отзаряда q на расстояние а = d ( 2 –1).Около каждого заряда картинаРис. 2.7. Силовые линии и эквиблизка к картине силовых линий по- потенциальные линии системы изложительного заряда: силовые линии двух неодинаковых положительвыходят из каждого заряда симмет- ных зарядов (задача 2.3.14)рично, а сечением эквипотенциальных поверхностей рассматриваемой плоскостью, являются окружности.
В то же время понятно, что на очень больших расстоянияхот зарядов эквипотенциальные линии вновь становятся почти ок-76ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧружностями. Ясно, что внутренняя часть должна отделяться отвнешней части некоторой эквипотенциальной линией, проходящейчерез точку А. Потенциал поля в точке А равен1 q2q +.4πε 0 a d − a На линии, соединяющей заряды +q и +2q, находим точки В и О,в которых потенциал равен потенциалу точки А.
Разграничительнаяэквипотенциальная линия проходит через точки А, В, и О. Общаякартина изображена на рис. 2.7.Задача 2.3.15. Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для тонкого равномерно заряженного стержня.РешениеУчитывая свойства симметрии системы, поместим начало координат в центр стержня, а ось Z направим вдоль стержня. Ясно,что достаточно рассмотреть картину в плоскости XZ при x > 0 иz > 0.
Все силовые линии должны начиZнаться на стержне и уходить в бесконечность.Силовая линия, выходящая из центра стержня, совпадает с положительнойосью x, а силовая линия, выходящая изX конца стержня, пойдет вдоль оси Z. Набольшом расстоянии от стержня эквипотенциальные линии становятся близкими к окружностям. Для анализа картинывблизи начала координат можно воспользоваться решением задачи 2.3.1.Рис. 2.8.
Силовые линии равОбщаякартина силовых линий схематиномерно заряженного тонкогочески представлена на рис. 2.8. Поведестержня (задача 2.3.15)ние эквипотенциальных поверхностейлегко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям.Задача 2.3.16. Два точечных заряда q и –nq (n >1) расположенына расстоянии d друг от друга. Доказать, что одна из эквипотенциальных поверхностей такой системы есть сфера конечного радиуса.Определить радиус этой сферы и положение ее центра.Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал77РешениеyУспех в решении этой задачи во многом зависит от удачM(x,y)ного выбора системы коордиAxнат.
Свяжем систему координатс положением зарядов, а именbqd–nqно, поместим начало координатО в точку, где находится зарядq, а ось x направим по линии,К нахождению эквипотенциальсоединяющей заряды. Пусть Рис.2.9.ной поверхности двух точечных зарядовзаряд –nq находится в точке А. разного знака (задача 2.3.16)Ввиду осевой симметрии системы, достаточно рассмотреть картину в какой-либо плоскости, содержащей отрезок ОА.Вычислим потенциал в произвольной точке М(x,y) этой плоскости. Задача будет решена, если показать, что вычисленный потенциал сохраняет постоянное значение на некоторой окружности,лежащей в выбранной плоскости, и определить радиус этой окружности и положение ее центра.
Вычисляем потенциал в точке М (см.рис. 2.9):1 qnq + const.φ=−4πε 0 x 2 + y 2(d − x) 2 + y 2 Примем потенциал в точке М равным нулю. Тогда получаемуравнение(n2 –1)y 2 + (n 2 – 1)x2 = d 2 –2d x.Это есть уравнение окружности с центром, смещенным по осиdx на расстояние b = − 2. Записывая это уравнение через коорn −1динату x1 = x – b, получаем уравнение окружности в стандартномndвиде y2 + х12 = R2, где R = 2.n −1Ответ:R =nd,n2 − 1b= −d.n −12Задача 2.3.17.
Точечный диполь, момент которого равен p, находится в однородном поле напряженности E. Направление дипольного момента совпадает с направлением поля. Доказать, что78ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧсреди эквипотенциальных поверхностей есть сферическая поверхность и определить ее радиус.РешениеНачало координат поместим в точку расположения диполя(рис.2.10).
Потенциал однородного поля относительно начала координат в произвольной точке r от равен ϕ1 (r ) = −Er . Потенциал,создаваемый диполем в этой точке (см. (2.5)), равен1 prφ2(r) =, так что суммарный потенциал будет равен4πε 0 r 31 pr.4πε0 r 3rЭквипотенциальные поверхности опEределяются условием φ(r) = const. Используя свободу с нормировкой поO pтенциала, примем одну из них за поверхность с потенциалом, равным нулю.ДляэтойповерхностиРис. 2.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
