Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3. Проводники в электростатическом поле851Q2 1CU 2 == QU .(3.10)22C 2При параллельном включении конденсаторов их емкости складываются:С = С1 + С2 + … ;(3.11)при последовательном включении конденсаторов складываются обратные величины их емкостей:111(3.12)=++ ... .C C1 C2Метод изображений (или метод зеркальных отображений) –способ рассуждений, позволяющий в некоторых случаях получитьочень простые решения для поля зарядов, распределенных по поверхности проводников. Метод основывается на теореме единственности в электростатике и состоит в подборе таких дополнительных фиктивных зарядов – "изображений", которые вместе с заданными зарядами создавали бы поле, у которого одна из эквипотенциальных поверхностей совпала бы с поверхностью данного проводника. В области вне проводника поле фиктивных зарядов полностью моделирует поле, создаваемое поверхностными зарядами,расположенными на проводнике, так что поле вне проводника полностью совпадает с полем исходной системы.В курсе общей физики обычно рассматриваются два случая, окоторых говорится ниже.Точечный заряд q около проводящей плоскостиW=ϕ=0Из левого рисунка видно, что поле двух противоположных познаку, но одинаковых по величине зарядов имеет плоскую эквипотенциальную поверхность с потенциалом ϕ = 0 (пунктир) посередине между зарядами.
Если поместить на нее проводящую плоскость, то поле не изменится, и мы получим показанную справа86ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧнужную нам систему, а фиктивный заряд q' будет зеркальным отображением заданного заряда q.Точечный заряд q около проводящей сферы (шара)Среди эквипотенциальных поверхностей системы двух противоположных по знаку и неравных по величине зарядов q и q′ существует одна сферическая поверхность, потенциал которой ϕ = 0 (см.задачу 2.3.16 главы 2). Это позволяет легко решить данную задачу.Pr1rbOarq' = − qbqxПусть имеется проводящая заземленная сфера (или шар) радиуса r (потенциал равен нулю) и заряд q на расстоянии b > r от еецентра. Чтобы обеспечить совпадение эквипотенциальной поверхности ϕ = 0 с заданной сферой, нужно поместить дополнительныйфиктивный заряд-изображение величиной q′ = − qr b на расстоянии a = r 2 b от центра сферы на прямой, проведенной через зарядq и центр сферы О.
Поле этих двух зарядов вне сферы (и тольковне сферы) полностью совпадет с исходным полем, создаваемымзарядом q и поверхностными зарядами на сфере. Поле внутри сферы при этом равно нулю Доказательство данного результата можнонайти, например в [1], §16.Разумеется, задача может быть обращена. Если внутри заземленной сферы находится на расстоянии а от центра заряд q′, то поле внутри сферы совпадет с полем системы двух зарядов: q′ и заряда – "изображения" q = − bq′ r , расположенного на расстоянииb = r 2 a в соответствии с тем же рисунком.Гл.
3. Проводники в электростатическом поле87§ 3.2. Основные типы задач (классификация)3.1. Вычисление потенциала проводника в присутствии другихзаряженных тел.3.2. Определение распределения потенциала в пространстве, вкотором расположена система из нескольких проводников, для которых заданы величины их зарядов или значения потенциалов.3.3. Определение силы взаимодействия точечного заряда илидиполя с проводящей сферой или плоскостью, а также определениеповерхностной плотности индуцированных на проводнике зарядов.3.4. Расчет емкости конденсатора и батарей конденсаторов приразличных их соединениях.§ 3.3.
Методы решения и примеры решения задачЗамечание: коэффициент 1 (4πε0 ) ≈ 9·109 м/Ф, входящий вомногие формулы электростатики, как и ранее, иногда будет обозначаться буквой k.Задачи типа 3.1Вычисление потенциала проводника в присутствии другихзаряженных телМетод решения. Рассматривается как поле заряженных тел,так и поле зарядов, появляющихся на поверхностях проводниковвследствие электростатической индукции.
Используется определение потенциала, условие его непрерывности во всем пространствеи принцип суперпозиции.Задача 3.3.1 (базовая задача). Точечный заряд q находится нарасстоянии d от центра незаряженного изолированного проводящего шара радиуса R < d (рис. 3.1). НайтиRпотенциал шара φ0, считая равным нулюdqпотенциал на бесконечности.OРешениеПопытка определить потенциал,вычисляя работу при приближении заРис.3.1.
Система из точечноряда q к шару, встречается с трудностя- го заряда и проводящегоми учета поля зарядов, появляющихся шара (задача 3.3.1)88ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧна поверхности шара за счет электростатической индукции. Но потенциал всего шара одинаков, поэтому найдем его в самой удобнойточке – в центре.
Потенциал создается зарядом q и индуцированными на поверхности шара зарядами. В центре шара вклад заряда qqравен k , вклад индукционных зарядов равен нулю, так как всеdэти заряды находятся на одинаковом расстоянии R от центра шара,а их сумма равна нулю, поскольку в целом шар не заряжен. Потенqциал шара равен потенциалу его центра, т.е. φ0 = k .dqОтвет: φ0 = k .dЗамечание. Отметим, что если бы шар имел заряд Q, то от этогоQзаряда добавился бы вклад в потенциал φ1 = kи потенциал шараRq Qбыл бы равен φ = φ0 + φ1 = k + .d RЗадача 3.3.2 (базовая задача). Проводящая сфера радиуса R,на которой находится заряд Q, имеет малое отверстие.
Как будетменяться потенциал сферы, если точечный заряд q перемещать избесконечности через отверстие внутрь неё?РешениеВклад собственного заряда Q в потенциал сферы постоянен иQравен k . Для случая, когда заряд q находится вне сферы на расRстоянии r > R от ее центра, ее потенциал определен в задаче 3.3.1 иравенq Qφ = k + .r RКак только заряд окажется внутри сферы, на внутренней поверхности сферы возникнет индукционный заряд –q (распределённый неравномерно), а на внешней поверхности сферы – равномерно распределенный заряд +q, и потенциал сферы станет равнымq+Qk. R 89Гл.
3. Проводники в электростатическом полеПотенциал при дальнейшем движении заряда q внутри сферыизменяться не будет. Это следует из того, что независимо от положения заряда q внутри сферы поле вне сферы остаётся постоянными не зависит от перемещения заряда внутри сферы. В этом случаеработа по перемещению пробного заряда из бесконечности на поверхность сферы, а, следовательно, и потенциал сферы, будут постоянными.Ответ:q Qr ≥ R: φ = k + :r Rr ≤ R: φ = kq+Q:RЗадача 3.3.3. Точечный заряд q находится на расстоянии r отцентра О незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R1 и R2.Найти потенциал φ0 в точке О, если r < R1.+Решение+qВвиду электростатической индук+– -q+–ции на внутренней поверхности слоя–R1–появится заряд (–q), а на его внешней+q– +R2 O rповерхности +q. Таким образом, по- +–тенциал в центре сферического слоя––складывается из трех вкладов: от заря–++да +q, равномерно распределенного по+внешней поверхности слоя с радиусомR2, от заряда –q, распределенного не- Рис.3.2.
Точечный заряд внутри проводящего сферическогоравномерно по внутренней поверхно- слоя (задача 3.3.3).сти слоя с радиусом R1, и от заряда q,расположенного от центра на расстоянии r. Так как все индуцированные заряды на внутренней поверхности расположены от центрана одинаковом расстоянии R1, то их вклад в потенциал будетqq. В итоге− k , вклад от зарядов на внешней поверхности + kR1R2 11 1потенциал в точке О будет равен kq − + . R2 R1 r 11 1Ответ: φ0 = kq − + . R2 R1 r 90ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадачи типа 3.2Определение распределения потенциала в пространстве, в котором расположена система из нескольких проводников, для которых заданы величины их зарядов или значения потенциаловМетод решения. Использование формул для определения потенциала и условия его непрерывности. Если в задаче распределение электростатического поля обладает элементами симметрии, то,пользуясь теоремой Гаусса, можно найти напряженность поля визучаемом пространстве, а затем путём интегрирования рассчитатьпотенциал в заданной точке.Задача 3.3.4 (базовая задача). Металлический шар радиусаR1, на котором находится положительный заряд q, окружен расположенным концентрически незаряженным металлическим шаровым слоем с внутренним радиусом R2 и внешним R3. Построитьграфики зависимости напряженности поля Е и потенциала φ отрасстояния до центра шара.РешениеНапряженность поля находим по теореме Гаусса, используя вкачестве вспомогательных поверхностей Гаусса концентрическиесферы с переменным радиусом r.За счет электростатической индукции на внутренней поверхности слоя радиуса R2 появится заряд (–q) (все силовые линии заряда q должны закончиться на отрицательных зарядах).
Из законасохранения заряда следует, что на внешней поверхности слоя радиуса R3 должен появиться заряд +q. По теореме Гаусса находимнапряженность электрического поля:qr > R3 :Е= k 2 ;rR2 < r < R3: Е = 0;qR1 < r < R2: Е= k 2 ;rr < R1: Е = 0.График зависимости Е(r) изображен на рис. 3.3а. Отметим, чтона тех поверхностях, где есть индуцированные заряды, напряженность не определена (испытывает скачок). Физический смысл скачка напряженности на заряженной поверхности обсуждался в задаче1.3.8. главы 1.91Гл. 3. Проводники в электростатическом полеДля расчета потенциала используем его связь с напряженностью поля (2.17) и условие его непрерывности. Считая значениепотенциала на бесконечности равным нулю, получаем следующийответ:qr ≥ R3 :φ1(r) = k ;rq– потенциал постоянен;R2 ≤ r ≤ R3: φ2(r) = kR3kqR12ЕqR22qk 2R3Рис. 3.3аkrϕ 111 kq −+ R1 R2 R3 qkR3Рис.
3.3б0R1R2R3rq+ С;rКонстанта С определится из условия непрерывности потенциала при r = R2: 11 C = kq − . R3 R2 Итак, в области R1 ≤ r ≤ R2 имеем1 11 φ3(r) = kq −+ . r R2 R3 При r ≤ R1 потенциал остается постоянным и равным111 ϕ4 = kq −+ . R1 R2 R3 График зависимости φ(r) представлен на рис.3.3б.R1 ≤ r ≤ R2:φ3(r) = k92ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: r > R3: Е= kq,r2φ1(r) = kq;rq;R31 11 qR1 < r < R2: Е= k 2 ,φ3(r) = kq −+ ;r r R2 R3 111 r < R1: Е = 0,φ4 = kq −+ . R1 R2 R3 Замечание. Разумеется, ответ можно сразу получить, если использовать известные формулы для потенциала сферы радиуса R:qqφ(r) = k при r ≥ R; φ = k= const при r ≤ RrRи принцип суперпозиции.R2 < r < R3: Е = 0,φ2 = kЗадача 3.3.5. В условиях задачи 3.3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
