Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 15
Текст из файла (страница 15)
сферический слой заземлен. Найти потенциал шара.РешениеВ данном случае поле Е и потенциал φ в области пространствас r > R2 равны нулю. Поле Е в пространстве с R1 < r < R2 будетравноqЕ= k 2rи разность потенциалов φ12, а, следовательно, и потенциал шара φ1,будут равныR 11 .ϕ1 = ∫ Еdr = kq − R1 R2 R2111 ϕ1 = kq − . R1 R2 Замечание. Внутренняя поверхность металлического слоя в этомслучае имеет заряд –q, а внешняя поверхность не заряжена.Ответ:Задача 3.3.6. Имеются три концентрические сферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. Сферы 1 и 3 несут заряды соответственно +Qи −Q.
Средняя сфера 2 заземлена проводником, искажающим действием которого на поле можно пренебречь (рис.3.4). Найти заряд qзаземленной сферы 2.93Гл. 3. Проводники в электростатическом полеРешениеПусть индуцированный заряд на сфере 2 равен q. Так как потенциал φ2 этой сферы равен нулю, то∞R3R2R20 = ϕ 2 = ∫ Е (r )dr = k ∫∞q+Qq +Q −Qdr + k ∫dr =2rr2R31q1 1∞ 1= kq − | + k (q + Q ) − | = k+ k (Q + q ) − =R3 r R r R R2 R3 R332 qQq Q q = k ++−− . R3 R2 R2 R3 R3 Отсюда 1Rq1 = Q − или q = Q 2 − 1 < 0 .R2 R3 R2 R3RОтвет: q = Q 2 − 1 < 0 . R3R2R3Замечание. При решении этой задачиR1можно воспользоваться известными форO Qмулами для потенциала заряженной сферыи сразу записать потенциал средней зазем–Qленной сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:Рис.3.4.
Система из трёхQq Qϕ = k +− = 0 , откуда сразу концентрических сфер сзаземлённой средней сфе R1 R2 R3 2Rполучаем ответ q = Q 2 − 1 . R3рой (задача 3.3.6)Отметим, что теперь, зная заряды всех сфер, можно по аналогии с задачей 3.3.4 найти зависимости Е(r) и φ (r).Задача 3.3.7. Имеются три незаряженные концентрическиесферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. На вторую сферу помещаютзаряд +Q, а сферы 1 и 3 соединяют проводником, искажающимдействием которого можно пренебречь (рис.3.5).
Найти зависимости E(r) и φ(r) и построить их графики.94ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеДля решения задачи нужно сначала узнать заряды сфер 1 и 3.Пусть на сфере с радиусом R1 индуцируется заряд q1, на сфере срадиусом R3 – заряд q2. Тогда q1 + q2 = 0, φ1 = φ3 и, следовательно,0 = ∆ϕ13R3R3R2R3112q +Qq= k ∫ E (r )dr = k ∫ 12 dr + k ∫ 1 2 dr =rrRRR 111 1 = k (Q + q1 ) − + kq1 − = R1 R2 R2 R3 1 11 1 kQ− + kq1 − = R2 R3 R1 R3 R2R1O+Q= kQРис.3.5.
Система из трёх концентрических сфер, в которойвнутренняя и внешняя сферысоединены проводником (задача3.3.7).Еq− k 21rkQ + q1r2kQr2rОтсюда q1 = − q2 = −QR3 − R2 R1, при⋅R3 − R1 R2этом q1 < Q .Зная заряды всех сфер, можно поаналогии с задачей 3.3.4. найти зависимости Е(r) и φ (r) и построить ихграфики (рис. 3.6).Ответ:r < R1:E(r) = 0;ϕR3 − R2R − R1.+ kq1 3R2 R3R1 R3qQ q1 φ(r) = k 1 +− ; R1 R2 R3 R1 < r < R2:qqQ q1 E(r) = k 12 ; φ(r) = k 1 +− ;r r R2 R3 R2 < r < R3:r0R1 R2 R3Q + q1Q + q1;φ (r) = k;Рис.
3.6. Зависимость напряжен- E(r) = k2rrности и потенциала от расстояQQния до центра сфер в задаче 3.3.7r > R3: E(r) = k 2 ;φ (r) = k .rr95Гл. 3. Проводники в электростатическом полеЗамечание. Для определения зарядов сфер 1, 3 проще воспользоваться готовыми формулами для потенциала сферы и сразу найтипотенциал каждой сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:qQ q2 Qϕ1 = k 1 ++ , ϕ3 = k, q1 = –q2, ϕ1 = ϕ3,RRRR23 3 1отсюдаq1 Q q1 QR − R2 R1+−=и q1 = −Q 3⋅ .R1 R2 R3 R3R3 − R1 R2Задачи типа 3.3Определение силы взаимодействия точечного заряда или диполя с проводящей сферой или плоскостью, а также определение поверхностной плотности индуцированных на проводнике зарядовМетод решения. Применение метода электростатических изображений (см.
теоретический материал). Замена полей, создаваемых зарядами на поверхности проводника, полем одного (или более) фиктивного точечного заряда позволяет легко вычислить силувзаимодействия, применяя закон Кулона. Чтобы определить плотность индуцированных зарядов, надо найти напряженность поля,создаваемого этой системой точечных зарядов в произвольной точке на поверхности проводника, и затем применить формулу (3.1).Задача 3.3.8 (базовая задача). Нарасстоянии h от проводящей бесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определить величину напряженности поля Е в точке А, отстоящей отплоскости и от заряда на расстояние h.РешениеСтроим заряд-изображение –q всоответствии с теоретическим материалом (рис. 3.7). Напряженность поляв точке А есть векторная сумма напряженностей Е1 и Е2 от зарядов q и –q.
Изгеометрии задачи следует:h+qE2hAE1ϑEα–qРис 3.7. Определение напряженности поля, создаваемоготочечным зарядом +q над бесконечной проводящей плоскостью (задача 3.3.8)96ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕ1 = kqq, E2 = k 2 .2h5hПо теореме косинусовE2 = E12 + E22 – 2 E1E2 cosϑ,где cosϑ = sinα =15Ответ: E = k. Отсюда получаем:q5h 2E= kq5h 226 − 2 5 .26 − 2 5 .Задача 3.3.9. На расстоянии h от заземленной проводящейбесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определитьплотность индуцированного заряда в произвольной точке на плоскости.РешениеСтроим заряд-изображение –q (рис. 3.8).
Ввиду осевой симметрии системы положение произвольной точки А на плоскости можнозадать всего одним параметром –+qее расстоянием r от основанияhперпендикуляра,опущенного изArточки нахождения заряда q наE2E1плоскость. От такой точки плоскоhсти расстояние до заряда равно–qEРис 3.8. К определению поверхностной плотности заряда, индуцированного на бесконечной проводящейплоскости (задача 3.3.9)r 2 + h 2 , а напряженность поляE1 = kq.h + r22Учитывая, что E1 = E2, находим полную напряженность Е в точке А, суммируя векторы E1 и E2:2qh.E =k2(h + r 2 ) 3 / 2Вектор Е направлен перпендикулярно плоскости в сторону отположительного заряда к отрицательному, то есть в сторону плосσкости (рис.
3.8). Вблизи проводника, согласно (3.1), Е =, причемε0вектор Е направлен в сторону плоскости только в случае σ < 0.Приравнивая оба выражения для Е, находим97Гл. 3. Проводники в электростатическом полеqh.2π(h 2 + r 2 ) 3 / 2Для проверки полученного результата вычислим полный зарядq', индуцированный на плоскости. Он должен быть равен –q, таккак все силовые линии, исходящие из заряда q, заканчиваются наплоскости. Чтобы вычислить q', выделим часть плоскости, лежащую между окружностями радиусов r и r + dr. Площадь этой частиплоскости равна 2πr dr, и на ней находится заряд dq'= σ(r)⋅2πr dr.Интегрируя по r в пределах от нуля до бесконечности, находим полный заряд q'∞rdrq′ = −qh∫ 2= −q .(r + h 2 ) 3 / 20σ( r ) = −σ( r ) = −Ответ:qh.2π(r 2 + h 2 ) 3 / 2Задача 3.3.10.
Точечный заряд q находится на расстоянии b отцентра заземленного металлического шара радиуса r (b > r). Определить силу притяжения F между зарядом и шаром. Какую работуА надо совершить, чтобы перенести заряд в бесконечно удаленнуюточку?РешениеПотенциал заземленного шара считаем равным нулю. В соответствии с §3.1. строим заряд-изображениеr,bнаходящийся настоянииPq′ = −q2рас-r1rbOarq' = – qbqxrbотцентрашараРис 3.9. Точечный заряд q вблизи заземлённого(рис 3.9).металлического шара и заряд-изображение q' (заПосколькуполе, дача 3.3.10)создаваемое индуцированными зарядами на шаре в точке нахождения заряда q, эквивалентно полю заряда-"изображения" q′, то искомая сила взаимодействия между шаром и зарядом q равна силе притяжения данныхa=98ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзарядов противоположного знака q и q′, определяемой законом Кулона.
Следовательно, величина этой силы F равна:qq ′brq 2=k.(b − a ) 2(b 2 − r 2 ) 2При удалении заряда от шара за счет внешней силы будет также изменяться и положение (координата x) заряда-изображения.Учитывая, что внешняя сила направлена по оси х и выполняя интегрирование, находим величину ее работы, необходимой для полного разведения зарядов:∞∞rq 2 xdxrq 2.A = ∫ F ( x)dx = k ∫ 2=k( x − r 2 )22(b 2 − r 2 )bbЭта работа положительна, поскольку совершена внешней силойпротив электрических сил притяжения.F =kОтвет:F =kbrq 2;(b 2 − r 2 ) 2A=krq 2.2(b 2 − r 2 )Задача 3.3.11. Точечный заряд q находится на расстоянии b отцентра изолированного незаряженного металлического шара радиуса r.
Определить силу притяжения F между зарядом и шаром.РешениеЕсли шар изолирован, то его потенциал, вычисленный в задачеqqrобеспе3.3.1, равен k . Поскольку заряд-изображение q′ = −bbчивает равенство потенциала сферы нулю, то для увеличения еепотенциала до нужного значения надо добавить в центр шара тоqчечный заряд q'' такой, чтобы потенциал сферы стал равен k .bВеличину заряда q'' легко установить: она должна удовлетворятьq′′qrсоотношению k= k , откуда q′′ = q . В области вне шараrbbэлектростатическое поле будет в точности совпадать с полем, созданным тремя точечными зарядами: q, q'' и зарядом-изображениемqrq′ = − .bГл. 3.
Проводники в электростатическом поле99К этому же выводу можно придти и по-иному: поток вектора Ечерез поверхность шара должен равняться нулю, т.к. шар не заряжен. Отсюда по теореме Гаусса следует, что сумма зарядов, размещаемых нами внутри шара для моделирования внешнего поля, также должна равняться нулю: q'' + q' = 0, что опять приводит к равенству q′′ = q (r b ) .Теперь вычисляем силу, действующую на заряд q, как суммудвух сил от точечных зарядов q′ и q′′. Первое слагаемое в скобкахсоответствует притяжению зарядов q, q', второе – отталкиваниюзарядов q, q''.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
