Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧφ=14πε 0dq(r ′)∫ r − r′ ,(2.6)где r′′ – радиус-вектор заряда dq, r – вектор, проведенный из точки,в которой вычисляется потенциал, до заряда dq(r′′) в бесконечномалой окрестности точки r′′. Интегрирование производится по всемобъемам, содержащим распределенные с плотностью ρ заряды(dq(r′′) = ρ(r′′)dV), по всем поверхностям, несущим поверхностныезаряды σ (dq(r′′) = σ(r′′)dS), и по всем линиям, на которых находятсяраспределенные с линейной плотностью τ заряды (dq(r′′) = τ(r′′))dl.Циркуляцией произвольного вектора A по замкнутомуконтуру L называется линейный интеграл∫ Adl .(2.7)LРотором вектора A называется вектор, проекция которогона положительное направление нормали n равна пределу отношения циркуляции вектора А по физически бесконечно малому контуру L к площади ∆S, ограниченной этим контуром1rot n A = limAdl(2.8)∆S →0 ∆SL∫Положительное направление нормали n согласуется с направлением обхода контура L правилом правого винта.В декартовой системе координат с ортами i, j, k ротор можнопредставить в виде векторного произведения:i∂rot A = [∇ A ]=∂xAxj∂∂yAyk∂,∂zAz(2.9)где символический дифференциальный векторный оператор ∇ (набла) определен в §1.1.

главы 1. В декартовых координатах он имеетвид:∂∂∂∇ = i + j +k .∂x∂y∂zФормула Стокса: циркуляция вектора A по произвольномуконтуру L равна потоку ротора вектора A через любую поверхность, опирающуюся на контур L:Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал∫ Adl = ∫ rot AdS .L55(2.10)SТеорема о циркуляции вектора E (интегральная формулировкапотенциальности электростатического поля): в любом электростатическом поле циркуляция вектора E по любому замкнутому контуру L равна нулю∫ Edl =0.(2.11)LДифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля: в любом электростатическом поле в любой точкеrot E = 0.(2.12)Градиентом скалярной функции φ назывaeтся векторgrad φ = ∇ϕ = i∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ j +k.∂x∂y∂z(2.13)Этот вектор направлен перпендикулярно к поверхности φ = const всторону возрастания φ, а его модуль равен производной от функцииφ по этому направлению.Два полезных математических тождества:div rot A ≡ 0 для любой векторной функции A(r);(2.14)rot grad φ ≡ 0 для любой скалярной функции φ(r).(2.15)Эквипотенциальная поверхность – поверхность, на которой потенциал остается постоянным.

Линии напряженности поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям и направлены всторону убывания потенциала.Связь потенциала с напряженностью поляE = – grad φ.(2.16)Обратная операция – нахождение разности потенциалов ∆ϕ21из заданной напряженности поля(2)ϕ2 – ϕ1 = − ∫ Edl ,(2.17)(1)где интегрирование идет по любой траектории, соединяющей точки1 и 2.56ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДифференциальное уравнение для потенциала (уравнениеПуассона)ρ,(2.18)∆φ = –ε0где ∆ – оператор Лапласа.

В декартовой системе координат оператор Лапласа является суммой вторых производных по всем координатам:∂2∂2∂2∆ ≡ ∇2 = 2 + 2 + 2 .(2.19)∂x∂y∂zВ сферической системе координат (r, ϑ, ϕ) оператор Лапласа имеетвид∂2 2 ∂1  1 ∂2∂2∂ (2.20)∆= 2 ++ 2  2++ ctg θ  .22∂rr ∂r r  sin ϑ ∂ϕ∂ϑ∂ϑ В областях, где заряды отсутствуют, уравнение Пуассона переходитв уравнение Лапласа:∆φ = 0.(2.21)§2.2. Основные типы задач (классификация)2.1. Определение потенциала или разности потенциалов полязаданного распределения зарядов. Вычисление работы по перемещению заряда в поле заданной системы зарядов.2.2. Обратная задача: найти распределение зарядов, создающихзаданные значения потенциала или разности потенциалов.2.3.

Определение потенциала или разности потенциалов, еслизадана или легко вычисляется напряженность поля, и обратная задача: найти напряженность поля, если известно распределение потенциала или задана разность потенциалов.2.4. Построение картины силовых линий и эквипотенциальныхповерхностей для заданной системы неподвижных зарядов.§2.3. Методы решения и примеры решения задачТак же, как в главе 1, из анализа условий задачи следует определить, к какому типу относится данная задача. Следует уяснить,какими свойствами симметрии обладает изучаемая система зарядовГл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал57и полей.

В соответствии с этими сведениями надо выбрать наиболее удобную для расчетов систему координат. После того как решение получено, следует обязательно проверить его размерность, соответствие результата различных предельных случаев ожидаемымили ранее полученным результатам, а также рассмотреть физическую картину при различных значениях параметров системы.Задачи типа 2.1Определение потенциала или разности потенциалов поля заданного распределения зарядовМетод решения – прямое суммирование потенциалов в заданной точке от точечных зарядов (2.3), диполей (2.5) и непрерывнораспределенных зарядов (2.6).

Этот метод универсален, т.е. применим к любому распределению зарядов. Однако, в случае симметричной системы зарядов (как в задачах типа 1.2.3 главы 1), когда спомощью теоремы Гаусса легко выполняется вычисление напряженности поля E, можно свести задачу к типу 2.2.3 и найти потенциал из известной напряженности поля (2.17). Такой подход частопозволяет существенно упростить расчеты.Если заряды распределены в конечной области пространства, то в дальнейшем (если не оговорено другое условие) будемполагать равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке.Потенциал φ(r) – скалярная функция, поэтому суммированиевыполняется алгебраически, что значительно упрощает расчет посравнению с вычислением напряженности поля E(r), когда вкладыот разных зарядов складываются векторно.Наиболее общий подход состоит в использовании уравненияПуассона (или уравнения Лапласа).

При этом учитываются условиянепрерывности потенциала, граничные условия и условия нормировки. Однако решение дифференциального уравнения второго порядка в частных производных является достаточно сложной задачейи в курсе общей физики практически не используется. Отдельныепримеры применения этого метода можно найти в некоторых учебниках (см., например, [1], § 15). Другое дело – использование уравнения Пуассона для решения обратной задачи. Если задано распределение потенциала, то, вычисляя его вторые производные по координатам, можно с помощью уравнения Пуассона найти распределение заряда во всем пространстве.58ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2LlЗадача 2.3.1 (базовая задача). Найти потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной с линейной плотностью τ нитьюдлины 2L.РешениеzПоместим начало координат в центре нити и направим ось Z вдоль ниdlM(r,z)ти. Система зарядов аксиально симzметрична, поэтому для расчетов выберем цилиндрическую систему коrr0ординат r, φ, z, в которой потенциалв произвольной точке М зависиттолько от переменных r и z (рис.2.1,для наглядности нить показана в виде тонкого цилиндра). Выделяем наРис. 2.1. К нахождению потенциала поля, создаваемого заряженной нити на расстоянии l от центра бесконечно малую область с зарядомнитью (задача 2.3.1)dq = τ dl, который можно считатьточечным. Его расстояние до точки М(r, z) равно r 2 + (l − z ) , а2создаваемый им потенциал определяется формулой (2.3):1τdldφ =.4πε 0 r 2 + (l − z )2Потенциал, создаваемый всей нитью, равенτϕ=4πε 0L∫−Lz + L + r 2 + (z + L )τ=ln.

(2.22)4πε0 z − L + r 2 + (z − L )22dlr 2 + (l − z )2Анализ результата и дополнительные выводы.1. При удалении на очень большое расстояние (z → ∞ илиr → ∞) система выглядит как точечный заряд. Если в полученномрезультате сделать предельный переход z → ∞ или r → ∞, то должен получиться потенциал точечного заряда. Выполним такой предельный переход.Если ввести переменную R = z 2 + r 2 , то любой из упомянутых двух предельных переходов выполняется, если R → ∞.

Тогдапри очень больших значениях R (R >> L) имеем:zLr 2 + ( z ± L)2 ≈ R ±,RГл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал59zLL+zLR1+z+L+R+RR+zln= lnzLzLz−L+R−L−RR 1−R+zzL zL  L− L+RR ≈ = ln1 + − ln1 −R+z R+z zLzLzLL+−L−2L + 2RRR = 2L .≈−=R+zR+zR+zRОтсюда получаем, что на больших расстояниях от нити потенциалприближенно равен потенциалу поля точечного заряда2 Lτqφ ≈,=4πε 0 R 4πε 0 Rгде q = 2Lτ– полный заряд нити.2. Если L → ∞, то потенциал стремится к бесконечности. Потенциал остается ограниченной функцией, если только все зарядысосредоточены в области конечных размеров, а здесь заряды имеются в бесконечно удаленной области.

В этом случае непосредственный физический смысл имеет только разность потенциалов влюбых двух точках. В случае бесконечной нити разность потенциалов находим из (2.22) для точек 1 и 2, удаленных от оси нити нарасстояния r и R (r < R)τr∆φ12 = φ(r) – φ(R) = −(2.23)ln .2πε0 RПоясним сказанное расчетом. При L → ∞ потенциал не зависитот z и в (2.22) можно положить z = 0. Кроме того, r << L иr2 L + L2 + r 24LL2 + r 2 ≈ L1 + 2  ,≈1+ 2 .22r−L+ L +r 2L Из (2.22) находим:τ   4L  4 L φ(r) – φ(R) ≈ln1 + 2  − ln1 + 2  ≈4πε0  r R ≈τR2τrln 2 = −ln .4πε0 r2πε0 R60ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ случае бесконечной нити задачу можно отнести к типу 2.2.3.В главе 1 получено выражение для напряженности поля бесконечτ.

Согласно (2.17)ной равномерно заряженной нити: E = Er =2πε 0 rrφ(r) – φ(R) = − ∫ Edr = −Rτrln ,2πε0 Rчто совпадает с (2.23).3. Компоненты напряженности поля можно найти из (2.22), вычисляя градиент потенциала, т.е. используя (2.16). Ввиду аксиальной симметрии системы, целесообразно расчет выполнить в ци∂ϕ∂ϕлиндрических координатах, где Ez = −, Er = −. Проекция Еφ∂z∂rв нашем случае равна нулю.

Характеристики

Список файлов книги