Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из физических соображений ясно, что создать такое поле невозможно (в центре шара объемная плотность заряда должна быть бесконечно большой). Отме-46ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтим, что при этом полный заряд внутри любой малой сферы радиуса r, выделенной вокруг центра шара, будет конечным и равнымq(r) = 4πε0Er2, т.е. будет стремиться к нулю с уменьшением радиусавыбранной сферы.2ε 0 EОтвет: ρ =.r§1.4.
Задачи для самостоятельного решения1.4.1. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках срадиус-векторами r1 и r2. Найти величину отрицательного заряда q3и радиус-вектор r3 точки, в которую его необходимо поместить,чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, быларавна нулю.r q + r2 q1q1q2Ответ: q3 = −, r3 = 1 2.2q1 + q2q1 + q2()1.4.2. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобырезультирующая сила, действующая на каждый заряд, была равнанулю?Ответ: Q =q.31.4.3. Тонкая непроводящая палочка длиной L = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равен q = 3,5·10–7 Кл.
Какой точечный заряд Q нужно поместить на расстоянии d = 0,06 м отсередины палочки на её продолжении, чтобы на него действоваласила F = 0,12 H?4πε0 2 L2 d − ≈ 7,6⋅10–8 Кл.Ответ: Q = Fq 4 1.4.4. Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженностиэлектрического поля в центре кривизны этого полукольца.qОтвет: E = 2= 100 В/м.2π ε 0 R 2Гл.1. Постоянное электрическое поле471.4.5. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд (–q). Найтимодуль вектора напряженности электрического поля на оси кольцав точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии x >> R.3qR 2.Ответ: E =8πε0 x 41.4.6.
Система состоит из тонкого заряженного проводящегокольца радиуса R и очень длинной нити, равномерно заряженной слинейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, чтоодин из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет зарядq. Найти силу взаимодействия кольца и нити.τqОтвет: F =.4πε 0 R1.4.7. Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиуса R и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояниеL. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейсяна оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ.2L L σ Ответ: E =− 1.22 2 2ε0 L + 4 R1.4.8.
Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены с линейнойплотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженностьэлектрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии нарасстоянии h от плоскости, в которой лежат провода.2τdОтвет: E =.πε 0 (4h 2 + d 2 )1.4.9. Шар радиуса R сферически симметрично заряжен пообъему зарядом Q так, что ρ(r) ~ r2. Определить напряженностьэлектрического поля в точках А и В, если rA = 0,5R, a rB = 2R.Ответ: EA =1 Q1 Q; EB =.24πε0 8R4πε 0 4R 21.4.10.
Имеются два сферических распределения зарядов с объёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точках О1 и О2,48ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧсдвинутых относительно друг друга на вектор а, такой, чтоa < │О1О2│< R), где R – радиус сфер. Найти напряженность электрического поля в пространстве перекрытия зарядов.ρОтвет: E =a.3ε 01.4.11. Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ0 cos ϑ, где σ0 – положительнаяпостоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двухравномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых равныпо модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этимпредставлением, найти вектор напряженности электрического полявнутри данной сферы.σОтвет: E = − 0 k , где k – орт оси Z, от которой отсчитывает3ε 0ся угол ϑ.
Поле внутри данной сферы однородно.1.4.12. Найти вектор напряженности электрического поля вцентре шара радиуса R, объёмная плотность заряда которого ρ = ar,где а – постоянный вектор, а r – радиус-вектор, проведенный изцентра шара.R2Ответ: E = −a.6ε 01.4.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объёмнаяплотность которого зависит от расстояния r до его центра по законуrρ = ρ 0 1 − , где ρ0 – постоянная. Найти:Rа) модуль вектора напряженности электрического поля внутрии вне шара как функцию расстояния r;б) максимальное значение напряженности электрического поляEmax и соответствующее ему расстояние rm.ρ r 3r ρ R3Ответ: а) E = 0 1− при r < R, E = 0 2 при r > R;3ε0 4R 12ε0 r49Гл.1.
Постоянное электрическое полеб) Еmax =ρ0 R2при r = rm = R..9ε031.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объёмной плотностью ρ = ρ0 e −αr , где ρ0 и α – положительные константы, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r.ρ0Ответ: E =1 − e −αr .23ε 0 αr3(3)1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см.
Зарядысфер соответственно равны q1 = 2 нКл и q2 = –1 нКл. Определитьнапряженность электрического поля в точках, лежащих от центрасфер на расстоянии: 1) r1 = 3 см; 2) r2 = 6 см; 3) r3 =10 см.1 q1 + q 21 q1Ответ: E1 = 0; E2 == 5 кВ/м; E3 == 0,9 кВ/м.24πε 0 r24πε 0 r321.4.16. Пространство между двумя концентрическими сферамиαс R1 и R2 (R1 < R2) заряжено с объёмной плотностью заряда ρ = 2 .rНайти напряженность электрического поля во всём пространстве.Ответ:Е=0α R1 1 − rr ε0r 2 α R2 − R1E=rε0 r 3E=при r < R1;при R1 < r < R2;при r > R2.1.4.17. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностьюσ = σ0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (оси X) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра (рис.1.25).
Найти модуль и направлениевектора напряженности электрического поля на оси цилиндра Z.50ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУказаниеxСпособ 1. Выделить на по+++верхности цилиндра узкие поло- + +++сы, параллельные оси Z, на кото- +ϕрых плотность заряда будет постоянна (см. рис.1.25). Для нахоdЕzждения электрического поля, ––создаваемого такой полосой на–––оси цилиндра, воспользоваться– ––результатом базовой задачи 1.3.3, Рис.1.25. Цилиндрическая поверхностьгде была найдена напряженность с неравномерно распределенным заряполя от бесконечного линейного дом (задача 1.4.17)заряда.Способ 2.
Показать, что заданное распределение заряда можнопредставить как результат малого сдвига по оси Х относительнодруг друга двух равномерно заряженных цилиндров одного радиуса, плотности зарядов которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти векторнапряженности электрического поля внутри области пересеченияцилиндров, воспользовавшись результатами задач 1.3.13 и 1.3.14.Ответ: E x = −σ0.2ε 01.4.18.
Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси Z, находится в начале координат.Для точки S, отстоящей от диполя на расстояние r, найти проекцию вектора напряженности электрического поля Еz и проекциюЕ⊥ на плоскость, перпендикулярную оси Z. В каких точках Е ⊥ р ?p 3 cos 2 ϑ − 1p 3 sin ϑ cos ϑ, E⊥ =;34 πε 0r4πε 0r3Е ⊥ р в точках, лежащих на поверхности конуса с осью вдоль Zи углом полураствора ϑ, для которого cos ϑ = 1 3 (ϑ1 = 54,7°), вОтвет: E z =этих точках E = E⊥ =1 p 2.4πε0 r 351Гл.1.
Постоянное электрическое поле1.4.19. В центре полукольца раxдиуса R находится точечный заряд –q.Полукольцо имеет полный заряд +q,qRраспределенный по закону τ(ϑ) ∼ сosϑ,где τ – линейная плотность заряда, ϑ –ϑугол между радиусом-вектором рассматриваемой точки и осью симметрии–qzсистемы Z (рис. 1.26). В дипольномприближении найти напряженностьэлектрического поля на оси Z на расстоянии z от системы (z >> R).Рис.1.26.
Система из точечного1 qRзаряда и неравномерно заряОтвет: E ( z ) =.женного полукольца (задача8 ε0 z 31.4.19)Литература к главе 11.2.3.4.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§ 1-3, 5-7, 12,13.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. –М.: Физматлит, 2006, §§ 1 – 9.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003.§§ 8-15.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит,2003, §§ 1- 4, 13.52ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 2РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.ПОТЕНЦИАЛ§2.1 Теоретический материалРабота сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 определяется линейным интегралом∫ q(Edl ) ,A12 =(2.1)( L12 )где L12 – траектория движения заряда, dl – бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ∫;в этом случае предполагается, чтовыбрано направление обхода контура.Электростатическое поле потенциально: при перемещенииточечного заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю.
При произвольном перемещении заряда из точки 1 в точку 2работа не зависит от траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек 1 и 2. Благодаря этому работу поляможно представить в виде(2.2)A12 = q [φ(r1) – φ(r2 )],где скалярная функция φ(r) называется электростатическимпотенциалом. Эта функция непрерывна во всем пространстве иимеет конечные первые производные.Потенциал является энергетической характеристикойэлектростатического поля, его можно определить через потенциальную энергию W(r) пробного заряда q в электростатическом полеW (r )φ(r) =.qПотенциал в точке r численно равен потенциальной энергииединичного положительного точечного заряда, находящегося вэтой точке.Физический смысл имеет только разность потенциаловдвух точек, поэтому потенциал, как и потенциальная энергия, оп-Гл. 2.
Работа сил электростатического поля. Потенциал53ределен с точностью до произвольной постоянной, связанной с выбором начала его отсчета.Нормировка потенциала – придание однозначности потенциалу путем приписывания ему определенного значения в какойлибо точке. Обычно используют один из двух наиболее удобныхспособов нормировки:1) если заряды занимают ограниченную область пространства,то принимают равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке;2) если проводящее тело каким-то образом соединено с Землей(заземление), то его потенциал равен потенциалу Земли (потенциалЗемли можно положить равным нулю).В модельных задачах, где заряды занимают бесконечные области (например, бесконечная заряженная плоскость, нить, цилиндр ит.д.), выбор нулевой точки потенциала произволен и определяетсясоображениями симметрии и удобством записи результата.Потенциал поля точечного заряда q равен1 qφ(r) =,(2.3)4πε 0 rгде r – расстояние от заряда q до точки наблюдения (потенциал вточке, бесконечно удалённой от заряда принимается равным нулю).Потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точкекаждым из зарядов (принцип суперпозиции для потенциалов).qi1,(2.4)ϕ = ∑ ϕi =∑4πε 0 i riiгде ri – расстояние от точки, в которой вычисляется потенциал, до iого заряда.Потенциал поля точечного диполя равен1 prφ(r) =(2.5)4πε0 r 3(начало координат взято в точке нахождения диполя).Потенциал поля непрерывного распределения зарядов: если все заряды расположены в конечной области пространства и потенциал нормирован на нуль в бесконечности, то54ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
