Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Однако этот вопрос будет рассмотрен позднее 15 148). й 61. Закон Ома в дифференциальной форме Закон Ома (57.1) и формула (59.1) позволяют найти силу тока в проволоках и вообще в тех случаях, когда трубки тока являются цилиндрами постоянного сечения. Однако часто приходится вычислять силу тока в проводящих средах, в которых трубки тока не имеют цилиндрической формы. Примерами могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы, в которых пространство между обкладками заполнено проводящей средой.
В этом глучае формула (59.1) уже неприменима, так как расстояние 1 различно для разных точек поверхности 129 ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЙ ФОРМЕ 1 61 обкладок, а площадь Я у каждой обкладки имеет разную величину. Однако закон Ома можно представить в другой форме, которая пригодна и для решения задач о токах в проводящих средах. Рассмотрим в однородной и изотропной проводящей среде небольшой отрезок трубки тока длины Ы (рис. 86) ~2 и два близких эквипотенциальных ее сечения 1 и л. Обозначим их потенциа- у лы через сэ'1 и 172, а среднюю площадь сечений — через ЬЯ.
Применяя к это- 2 му отрезку закон Ома (57.1) и формулу (59.1), получим Рис. 88. К закону Ома в Ья сэ1 ит дифференциальной форме р(~1!~~) ' или, сокращая на ЬЯ и вводя удельную электрическую проводимость среды Л = 1/р, получим ' — Лсо Уэ — Лов сч — Лсэс' ~М М гх1 ' Чтобы последняя формула была совершенно точна., нужно перейти к пределу при са1 -+ О, так как только в этом случае рассматриваемый отрезок трубки можно считать цилиндрическим и применять к нему формулу (59.1). Но где Š— напряженность электрического поля внутри проводника. Учитывая далее, что 1 и Е суть векторы, и что внутри изотропных сред они направлены одинаково, находим 1= ЛЕ.
(61.1) Это соотношение носит название дифференциальной формы закона Ома. В отличие от (57.1) (интегральной формы закона Ома), оно содержит величины, характеризующие электрическое состояние среды в одной и той же точке. В анизотропных средах, каковыми, например, являются многие кристаллы, направления 1 и Е, вообще говоря, уже не совпадают, В этом случае вместо формулы (61.1) получается более сложное соотношение. В анизотропных средах в широкой области электрических полей линейная связь между 9 и Е сохраняется.
Поэтому дифференциальный закон Ома в общем виде выражается формулой Лы Еы где индексы 1 и й пробегают значения х, р, ю Девять величин Лы суть компоненты |пснэоро идсльиой электрической проводимости, Этот тензор 2-го ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ Ч1 ранга симметричен. Лм = Льн и поэтому независимыми являются только шесть компонент Так же как и в случае тензора диэлектрической пронипаемости Ц 42), при выборе осей координат, совпадающих с главными осями тензора, отличны от нуля только три диагоналыпгх компоненты: Л, ьз ЛО Л„„= Лг и Л„= Лг, которые называются глаенъсми значениями удельной электрической проводимости.
Поле Е, входящее в (61.1), есть поле внутри проводящей среды при наличии тока. Можно, однако, показать, что если проводящая среда однородна, то во всех практически интересных случаях это поле совпадает с электростатическим полем Есю т.е. с полем, которое существовало бы между данными электродами, если бы между ними было то же напряжение, что н при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум. Отсюда следует, что в однородном проводнике линии напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока (см. Добавление 3).
Для вычисления силы тока в проводящих средах поступают следующим образом. Сначала находят по заданному напряжению между электродами напряженность поля внутри проводящей среды, т.е. решают задачу электростатики, и потом, пользуясь формулой (61.1), определяют плотность тока 3 в каждой точке среды. Затем мысленно выделяют какую-либо замкнутую поверхность О', целиком окружающую один из электродов, и находят силу тока г, согласно (53.3), как поток вектора 3 через эту поверхность.
Разумеется, замкнутую поверхность 8 следует выбирать, сообразуясь с условиями симметрии задачи, чтобы вычисления были простыми. П р и м е р 1. Сферический конденснптор с утечкой. Пусть имеется сферический конденсатор, у которого пространство между обкладками заполнено веществом с удельной электрической проводимостью Л. Потенциал У его электрического поля нами уже вычислен, он выражается формулой (24.2). Отсюда находим напряженность поля: г1У Уо 1 Я— дг 1/о — 1/Ь гг Поэтому, согласно (61 1), плотность тока на расстоянии г от центра равна Л 1 О 1/а — 1/ь гг В данном случае удобно выбрать в качестве поверхности О в (53.3) сферу некоторого радиуса г, проходяшую между обкладками.
Тогда уо = у и, кроме того, у постоянно во всех точках сферы. Поэтому Л 1 4 2 4яЛ у ~о /.— /б ' "" = /.— / ~' 1 б1 ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 1З1 Сила тока через конденсатор, в соответствии с (57.1), пропорциональна напряжению (/о между обкладками, Проводимость конденсатора Л оказывается равной Л= — ' Го 1/а — 1/Ь' По этим формулам можно вычислить ток утечки 1 и сопротивление утечки В = 1/Л сферического конденсатора. П р и м е р 2. Цилиндрический конденсатор с утечкой. В этом случае напряженность поля находим из формулы (24.4): сй7 1/о 1 К— Й 1п(Ь/а) т Плотность тока 1 равна С/Л = боб/Л. (61.2) Оно одинаково для обоих типов конденсаторов и зависит только от свойств среды между электродами.
Этот результат справедлив и в общем случае проводников произвольной формы, как угодно расположенных относительно друг друга. Для правильности полученного результата необходимо, чтобы удельная электрическая проводимость среды была значительно меньше удельной электрической проводимости проводников. Л 1 3 = — (/о !и (Ь/а) т Так как нас не интересует направление тока, а лишь его значение, мы опустим в дальнейшем знак минус. В качестве замкнутой поверхности целесообразно выбрать цилиндр радиуса г, проходящий между обкладками.
В этом случае опять 1'„= 1 и постоянно на поверхности цилиндра. Поэтому сила тока на единицу длины конденсатора получается равной г . Л 1 2лЛ вЂ” = 2 Я = (/о 2кг = (/о 1п(Ь/а) т !п(Ь/а) И в данном случае, как и во всех подобных задачах, сила тока пропорциональна напряжению между обкладками. Проводимость конденсатора длины 1 есть Л 2 Л 1п (Ь/а) Этими формулами пользуются для вычисления тока и сопротивления утечки кабеля.
Сравнивая полученные выражения для проводимости Л сферического и цилиндрического конденсаторов с выражениями для емкости С Я 32), мы видим, что отношение этих величин равно 132 постоянный злвктгичвский ток гл гп Формула (61.2) оказывается во многих случаях полезной. Так, если нужно определить емкость какой-либо пары проводников, то вместо непосредственного измерения их емкости (что при малой ее величине не оченытросто) можно поместить проводники в среду с известной величиной Л и измерить электрическую проводимость, после чего найти их емкость по формуле (61.2). И обратно, полученное соотношение позволяет свести измерение электрической проводимости к измерению емкости.
й 62. Злектролитическая ванна В 8 61 мы говорили, что в однородной среде линии напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока. На этом основан ценный практический метод экспериментального исгледования электрических полей. Если имеется какое-либо двумерное электрическое поле и желают определить на опыте его эквппотенциальпые поверхности, то изготовляют металлические модели электродов, создающих поле, и помещают их в слабо проводящую среду. Модели могут и не совпадать по своим размерам с оригиналом, но должны быть им подобны и подобным образом расположены. На электроды подают напряжения, пропорциональные напряжениям па действительных электродах.
Тогда распределение потенциала между моделями электродов будет подобно распределению потенциала между действительными электродами. Для измерения потенциала в различных точках среды в них помещают небольшой проводник — зонд, например в виде короткого металлического штифта. В качестве проводящей среды часто употребляют какой-либо электролит, налитый в достаточно большую ванну, отчего указанный метод получил и т название метода электролитиче- ! 2 ской ванны. На рис. 87 показана схема одной из простейших электролитических ванн. В деревянный ящик, наполненный влажным песком, погружены исследуемые электроРис 87. ПРостаЯ ЯЯектРалитиче- ды а и б.
Размеры ящика должны в несколько раз превышать расстояние между электродами. На электроды подают напряжение от батареи и делителя напряжения. В песок погружают два зонда 1 и У, присоединенных к зажимам вольтметра. Для определения зквипотенциальной линии один из зондов оставляют неподвижным, а другой помещают в разные точки и находят такие, для которых отклонение вольтметра равно нулю. Таким обра- 133 заземление в линиях связи зом определяют одну из эквипотенциэльных линий. Затем первый зонд помещают в другую точку, с другим значением потенциала, и при помощи второго зонда находят точки, лежащие на другой эквипотенциальной линии, и т.д.
Поступая подобным образом, можно определить форму и расположение эквипотенциальных линий электрического поля данных электродов. Вместо вольтметра удобнее применять нулевой гальванометр, в котором нулевое деление расположено в центре шкалы. Отметим, что в з 81, говоря о совпадении поля в проводящей среде с электростатическим повем, мы предполагали, что проводящая среда однородна В электролитической же ванне мы имеем неоднородную среду, состоящую из электротита и воздуха, имеющую границу раздела между ними. Однако это не изменяет результата. Действительно, в случае цилиндрических электродов с параллельными осями (двумерггое поле) все линии токалежат в плоскостях, перпендикулярных к электродам.Но поверхность электролита есть одна из таких плоскостей Это значит,что ливии тока и напряжегшости не пересекают эту поверхнастгч а, значит, ее наличие и не искажает распределения этих линий Электролитическая ванна имеет большие преимущества перед электрическим зондом 18 23).
То обстоятельство, что внутри электролита текут токи, делает возможным употребление токопотребляющих вольтметров и гальванометров, которые гораздо удобнее и надежнее электрометров. Кроме того, распределение токов и напряжений в ванне нечувствительно к посторонним электростатическим влияниям. Поэтому электролитическая ванна обеспечивает наиболее простой и удобный метод исследования электрических полей и широко применяется на практике. Если нужна произвести точные измерения, то ванна, изображе~шая на рис. 87, малопригодна. Один из ее недостатков заключается в том, что при постоянном токе происходит электролиз и на электродах выделяются составные части электролита (электроды поляризуются, см.
З 195). В результате напряжение между электродами в течение опыта несколько изменяется и измерения становятся неточными Чтобы избавиться от этого неудобства, применяют переменный ток. К электролитической ванне часто присоединяют еще пантограф, состоящий из системы рычагов, на одном конце которой находится зонд, а на другом — пишущее приспособление, отмечающее на листе бумаги положение зонда. 8 63. Заземление в линиях связи Результаты 8 61 позволяют понять действие заземления в линиях связи.
Схема заземления изображена на рис. 88. При сооружении телеграфных и телефонных линий прокладывают всего один провод (Л). С этим проводом соединяют лишь один полюс источника тока Б отправительной станции, а второй его полюс присоединяют к металлическому листу 3 который закапывают в землю. Аппарат приемной станции 1показанный на ИОстОянный элвктгический тОк Гл у! рис. 88 в виде гвльванометра) присоединяют к линии и к другому такому же листу. Роль второго провода, замыкающего цепь, играет земля. Существенным является то обстоятельство, „~ л что сопротивление заземления — Г практически не зависит от ~ Б расстояния между станциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
