Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Àíàëîãè÷íî, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u = u(s)çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ëó÷à s è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíîèçîáðàçèòü â âèäå ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ. Åñëèâ íåêîòîðîé òî÷êå O âíóòðè àíèçîòðîïíîé ñðåäû â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà÷àëèçëó÷àòü (ïðîèçîøëà âñïûøêà) òî÷å÷íûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê, òî ÷åðåç âðåìÿ t = 1/c âîëíîâîé ôðîíò ñîâìåñòèòñÿ ñ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ.Âñïûøêà òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà ýêâèâàëåíòíà ïðîõîæäåíèþ â ìîìåíòâðåìåíè t = 0 ÷åðåç òî÷êó O ìíîæåñòâà îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
×åðåç âðåìÿ t = 1 c ïëîñêèå ôðîíòûâîëí ñìåñòÿòñÿ íà ðàññòîÿíèÿ, ðàâíûå L.Íà ðèñ. 19.5 ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ôðîíòîâ ïëîñêèõ âîëí â îäíîîñíîì îòðèöàòåëüíîì êðèñòàëëå: äëÿ îáûêíîâåííîé (ðèñ.19.5, à) è íåîáûêíîâåííîé (ðèñ. 19.5, á ) âîëí. ñëó÷àå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ëó÷åâîé, èëè âîëíîâîé, ïîâåðõíîñòüþ áóäåò ïîâåðõíîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ïëîñêèì ôðîíòàì. Äëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû îíà ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ íîðìàëåé,à äëÿ íåîáûêíîâåííîé (åå ÷àñòü èçîáðàæåíàøòðèõîâîé ëèíèåé) íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò ïîÐèñ.
19.4âåðõíîñòè íîðìàëåé.231Ó ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â íàïðàâëåíèè e, ëó÷ äîëæåíïðîõîäèòü ÷åðåç òàêóþ òî÷êó âîëíîâîéïîâåðõíîñòè, ôàçà êîëåáàíèé ïîëÿ âêîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ôàçîé êîëåáàíèéíà ïëîñêîì ôðîíòå. Î÷åâèäíî, ýòî áóäåò òî÷êà P, â êîòîðîé ïëîñêèé ôðîíòêàñàåòñÿ âîëíîâîé (ëó÷åâîé) ïîâåðõíîñòè. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîÐèñ. 19.5ëÿåò èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ ïîâåðõíîñòü â ïðèíöèïå Ãþéãåíñà äëÿ àíèçîòðîïíûõ ñðåä (ñì. äàëåå). ñëó÷àå äâóîñíîãî êðèñòàëëà áóäóò ñóùåñòâîâàòü êàê èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì e äâå ñêîðîñòè L ¢ è L ², òàê è èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì s äâåñêîðîñòè u¢ è u².
Îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìèL ¢ = u¢ cos J¢; L ² = u² cos J²,(19.8)ãäå J¢ è J² óãëû àíèçîòðîïèè: ìåæäó D¢ è E¢ ó îäíîé âîëíû è D² è E² ó äðóãîé.Óðàâíåíèå íîðìàëåé Ôðåíåëÿ. Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå,ïîçâîëÿþùåå óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü L(e) = ñ/n(e). Äëÿ ýòîãî çàïèøåì (19.6)ïî êîìïîíåíòàì:D x , y,z = n 2 e o (E x , y,z - e x , y ,z (E × e)) .(19.9)Ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ D è E îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.1)D x , y ,z = e o e x , y ,z E x , y ,z .(19.10)Ïîäñòàâëÿÿ E x , y,z èç (19.10) â (19.9), ïîëó÷àåìD x , y ,z =n 2 e o e x , y,z (E × e).11n 2 e x , y ,z(19.11)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ^ e è, ñëåäîâàòåëüíî,D × e = Dxex + Dyey + Dzez = 0,(19.12)èç ïîñëåäíèõ äâóõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåìe y2e z2e x2++= 0.L 2 - L x2 L 2 - L y2 L 2 - L z2(19.13)Çäåñü L = c/n; Lx, Ly, Lz ãëàâíûå ñêîðîñòè âîëíû.Óðàâíåíèå (19.13) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì íîðìàëåé Ôðåíåëÿ.
Ïîëó÷èì åãîðåøåíèå, äëÿ ÷åãî ïðåîáðàçóåì ê âèäóe x2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L z2 ) + e y2 (L 2 - L x2 )(L 2 - L z2 ) + e z2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L x2 ) = 0.(19.14)Ðàññìîòðèì òðè ñèòóàöèè: èçîòðîïíàÿ ñðåäà (Lx = Ly = Lz = Lo). Òîãäà (19.14) óïðîñòèòñÿ:(L 2 - L o2 )(L 2 - L o2 )(e x2 + e y2 + e z2 ) = (L 2 - L o2 ) 2 = 0.232(19.15)Åãî ðåøåíèå î÷åâèäíî: L = Lo; îäíîîñíûé êðèñòàëë (Lx = Ly = Lo; Lz = Le). Òîãäà(L 2 - L o2 ) éë(L 2 - L e2 )(e x2 + e y2 ) + (L 2 - L o2 )e z2 ùû = 0.(19.16)Ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ. Åñëè ñíà÷àëà ïîëîæèòü L 2 - Lo2 = 0,òî ïåðâîå ðåøåíèå L ¢ = Lo.
Åñëè òåïåðü âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðèðàâíÿòü ê íóëþ, òîL ¢¢ 2 = L e2 (e x2 + e y2 ) + L o2e z2 .(19.17)Óäîáíî ââåñòè óãîë j ìåæäó e è Oz. ÒîãäàL ¢¢ 2 = L e2 sin 2 j + L o2 cos 2 j.(19.18)Åñëè j = 0, òî L ² = Lo, à ïðè j = p/2 ñêîðîñòü L ² = Le.Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé (19.18) ÿâëÿåòñÿ îâàëîèäîì. Îí ïîõîæ íà ýëëèïñîèäè èçîáðàæåí íà ðèñ.
19.2; äâóîñíûé êðèñòàëë (Lx ¹ Ly ¹ Lz). Àíàëèç óðàâíåíèÿ (19.14) ìîæíî ïðîâåñòè,åñëè ïîëàãàòü ïîñëåäîâàòåëüíî ñíà÷àëà ex = 0, çàòåì ey = 0 è äàëåå ez = 0. Òîãäàìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé L ¢ è L ² â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñíà÷àëà îñè Ox, çàòåì Oy è äàëåå Oz. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîëó÷èòüïðåäñòàâëåíèå î òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè íîðìàëåé. Òàêîé àíàëèç ïîêàçûâàåò,÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâà íàïðàâëåíèÿ e1 è e2, âäîëü êîòîðûõ L ¢ = L ². Ýòèíàïðàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ áèíîðìàëÿìè, èëè îïòè÷åñêèìè îñÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà.Ýëëèïñîèä íîðìàëåé.
Äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè L ¢ è L ², óäîáíî àíàëèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé (èíäèêàòðèñû), îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèåìx2 y2 z2++= 1.ex ey ez(19.19)Äëèíû ïîëóîñåé ýòîãî ýëëèïñîèäà e x = c/Lx, e y = c/Ly, e z = c/Lz îáðàòíîïðîïîðöèîíàëüíû ãëàâíûì ñêîðîñòÿì. Ïðîâåäåì ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íîðìàëè e (ðèñ. 19.6).Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ (øòðèõîâàÿ) ïëîñêîñòè è ýëëèïñîèäà áóäåò ýëëèïñîìñ äëèíàìè ïîëóîñåé OM ¢ è OM ². Ìîæíî äîêàçàòü (à ýòî èíòóèòèâíî è òàêóãàäûâàåòñÿ), ÷òî OM ¢ = c/L ¢, OM ² = c/L ². Êðîìå òîãî, âäîëü ïîëóîñåé áóäóòíàïðàâëåíû âåêòîðû D¢ è D² ó îáåèõ âîëí.Ó îäíîîñíîãî êðèñòàëëà ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé áóäåò ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åñêîé îñè (îñè Oz).Äëÿ îäíîé âîëíû (îáûêíîâåííîé) äëèíàïîëóîñè OM ¢ íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè: OM ¢ = c/Lo.
Ó òàêîéâîëíû âåêòîð E¢ P D¢ (J¢ = 0), ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè Oxy ñðåäà èçîòðîïíà. Ëó÷ s¢ è íîðìàëü eñîâïàäàþò, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u¢ = Lo.Äëÿ äðóãîé âîëíû (íåîáûêíîâåííîé) äëèíà ïîëóîñè OM ² èçìåíÿåòñÿ ìåæäó âåëè÷èíàÐèñ. 19.6ìè c/Lo è c/Le. Âåêòîð D² ëåæèò â ïëîñêîñòè233Ðèñ. 19.7Ðèñ. 19.8ïàäåíèÿ.
Âåêòîð E² ñîñòàâëÿåò ñ íèì óãîë J². ×òîáû íàéòè íàïðàâëåíèå ýòîãîâåêòîðà, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó M ² êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü è èç íà÷àëà êîîðäèíàò îïóñòèòü íà ýòó ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿð. Âäîëü ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è áóäåò íàïðàâëåí âåêòîð E². Ëó÷ s² îáðàçóåò ñ íîðìàëüþ óãîë J².Ñêîðîñòü ïî ëó÷ó u² = L ²/cos J².Íà ðèñ. 19.7 èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âñåõ âåêòîðîâ äëÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí â îäíîîñíîì êðèñòàëëå.Íàëè÷èå äâóõ ëó÷åé íîñèò íàçâàíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ.
Îíî ýôôåêòíî íàáëþäàåòñÿ â ñëåäóþùåì îïûòå. Êîëëèìèðîâàííûé óçêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïðîçðà÷íóþïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç îäíîîñíîãî êðèñòàëëà. Åãî îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíàê ïîâåðõíîñòè. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì ïëàñòèíêè ïîÿâëÿþòñÿ äâà ïàðàëëåëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êà, ïîëÿðèçîâàííûõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ïðè âðàùåíèè êðèñòàëëà âîêðóã îñè, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ ïàäàþùåãîïó÷êà, îäèí èç âûõîäÿùèõ ïó÷êîâ íåïîäâèæåí, à âòîðîé âðàùàåòñÿ âìåñòåñ êðèñòàëëîì.Íà ðèñ. 19.8 ïîêàçàí õîä îáîèõ ïó÷êîâ, ðàññ÷èòàííûé ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé è ïîÿñíÿþùèé îïèñàííûé îïûò.Òåïåðü ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì èçëîæåííîå â íà÷àëå ëåêöèè ïîÿâëåíèå äâóõèçîáðàæåíèé ðèñóíêà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äâóëó÷åïðåëîìëÿþùèì êðèñòàëëîìêàëüöèòà.
Ïëàñòèíêà âûðåçàíà òàê, ÷òî åå îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíà ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïðè âðàùåíèè ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòèðèñóíêà îäíî èçîáðàæåíèå áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî âîêðóã äðóãîãî,íåïîäâèæíîãî.Óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé÷àñòî èñïîëüçóþò ëó÷åâóþ (âîëíîâóþ) ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ u(s).
Ýòà çàâèñèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé.Äëÿ åãî âûâîäà ïðåîáðàçóåì (19.6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåêòîðû E è Dïîìåíÿëèñü ìåñòàìè, à âìåñòî e ôèãóðèðîâàë áû âåêòîð s. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëåóìíîæèì (19.6) ñêàëÿðíî íà s:s × D = n2eo(E × s - (e × s)(E × e)) = -n2eo cos J(E × e),(19.20)ãäå E × s = 0; e × s = cos J.Òàê êàê âåêòîðû D, E, s ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ìîæíî çàïèñàòüs = aE + bD,ãäå a è b íåêîòîðûå ðàçìåðíûå ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû.234(19.21)Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî ñíà÷àëà íà s, à çàòåì íà e, ïîëó÷àåìs × s = 1 = bs × D; e × s = cos J = ae × E.(19.22)Ïîäñòàâèì èç (19.22) âåëè÷èíû a è b â (19.21) è ïåðåïèøåì åãî â âèäåE=1e×E æD ö(s - bD) =çs ÷.s × Døacos J è(19.23)Ïîäñòàâëÿÿ â (19.23) ïðîèçâåäåíèå s × D èç (19.20), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìïðåîáðàçîâàííîå ñîîòíîøåíèåE=1(D - s(D × s)) .e o n 2 cos 2 J(19.24)Ïîñêîëüêó ëó÷åâàÿ ñêîðîñòüu=L=cos Jcc=,n cos J në(19.25)âåëè÷èíó në = n cos J èíîãäà íàçûâàþò ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à.Ïîëüçóÿñü (19.24), ïðîâåäåì ïðîñòûå âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûåáûëè ñäåëàíû ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ íîðìàëåé (19.13).
Çàïèñàâ (19.24) ïî êîìïîíåíòàì è èñïîëüçóÿ ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (19.10), ïîëó÷àåìE x , y,z = -s x , y,z (D × s)e o (në2 - e x , y,z ).(19.26)Ó÷èòûâàÿ, ÷òîE × s = E x s x + E y s y + E z s z = 0,(19.27)ïîëó÷àåìs x211- 22Lxu+s x211- 22Lyu+s x211- 22Lzu= 0.(19.28)Ýòî è åñòü óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Åãî ðåøåíèå u(s), èçîáðàæåííîå â âèäåäèàãðàììû, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëó÷åâóþ ïîâåðõíîñòü. Çàïèøåì (19.28) â âèäå1 öæ 11ö1 öæ 11ö1 öæ 11öæ 1æ 1æ 1s x2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s y2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s z2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ = 0; (19.29)LLLLLLèøèøuuèuy ø èuz øx èuz øx èuyøÄëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû Lx = Ly = Lz = Lo.
Ïîýòîìó u = Lo. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòüÿâëÿåòñÿ ñôåðîé.Äëÿ îäíîîñíîãî êðèñòàëëà Lx = Ly = Lo; Lz = Le. Òîãäà (19.29) ñâîäèòñÿ ê âèäó1 öé 21ö1 öùæ 12 æ 12æ 1çè u 2 - L 2 ÷ø ê(s x + s y ) çè u 2 - L 2 ÷ø + s z çè u 2 - L 2 ÷ø ú = 0.o ëeo û(19.30)Ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäóòu¢ = Lo;1sin 2 j cos 2 j=+.2L e2L o2u ¢¢(19.31)235Ðèñ. 19.9Ðèñ. 19.10Çäåñü j óãîë ìåæäó âåêòîðîì s è îïòè÷åñêîé îñüþ Oz.Ïåðâîìó ðåøåíèþ (19.31) ñîîòâåòñòâóåò ñôåðè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü,à âòîðîìó ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü â âèäå ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åL - Loñêîé îñè. Èç-çà íåáîëüøîé âåëè÷èíû å= 1 ýëëèïñîèä â (19.31) íåçíà÷è-Loòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò îâàëîèäà (19.18).Íàêîíåö, äëÿ äâóîñíîãî êðèñòàëëà, íå ïðèâîäÿ ãðîìîçäêèå âûêëàäêè, îáñóäèì ôîðìó ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.9 â âèäå òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.
19.9, à) è åå ðàçðåçîâ (ðèñ. 19.9, á ) â òðåõ âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ðèñóíîê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ez > ey > ex.Âíåøíÿÿ ïîâåðõíîñòü íàïîìèíàåò ýëëèïñîèä, íî èìååò ÷åòûðå óãëóáëåíèÿ,â êîòîðûõ êàñàåòñÿ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè. Òî÷êè êàñàíèÿ M îïðåäåëÿþò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ s1 è s2, ïîýòîìó ÷åðåç òî÷êè êàñàíèÿ ïðîõîäÿò îïòè÷åñêèåîñè êðèñòàëëà, âäîëü êîòîðûõ u¢ = u².
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
