Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7.7. Момент инерцииAкаждой гантели относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикуυ1лярно плоскости чертежа, равен J, а расBстояние между центрами шариков гантели – l. Как будут двигаться гантели послеРис. 7.7абсолютно упругого соударения?МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ248РешениеI. Задачу решаем в двух системах отсчета: лабораторной системе, ось X декартовой системы координат которой направим так,как показано на рис. 7.8, и системе отсчета, связанной с центроммасс системы тел, с осью X', изображенной на рис. 7.9.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DDuCAυ1BCXAX'uBРис.
7.8Рис. 7.9Поскольку рассматриваемая система тел замкнута, а соударение абсолютно упругое, то выполняются законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса для этой системы в любой из выбранных систем отсчета.II. По условию задачи в лабораторной системе отсчета гантели движутся поступательно со скоростями υ1 и υ2, следовательно,проекция скорости центра масс на ось X лабораторной системыотсчета (см.
Главу 3) равнаυ −υυцм = 1 2 ,(7.58)2а проекции скоростей центров масс гантелей u1 и u2 на ось X' относительно системы центра масс обеих гантелей определяются выражениями:υ +υu1 = υ1 − υцм = 1 2 = u ,(7.59)2υ +υu2 = −υ 2 − υцм = − 1 2 = −u .(7.60)2Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии249Запишем закон сохранения проекции импульса на ось X' длясистемы двух гантелей на интервале времени, включающем моментих соударения, в выбранной системе центра масс:mu1 + mu2 = mu1′ + mu ′2 ,(7.61)где u1′ и u2′ – скорости центров масс ганDтелей после соударения.ω2u2′В общем случае после соударенияCдвижение каждой гантели будет суперпозицией поступательного движения ее ценAX'u1′тра масс и вращательного движения во- ω1круг оси, проходящей через ее центр массBперпендикулярно поверхности, по котоРис.
7.10рой происходит скольжение гантелей(см. рис. 7.10).Запишем закон сохранения механической энергии системыдвух гантелей на интервале времени, включающем момент соударения, в системе их центра масс, при этом учтем, что при плоскомдвижении твердого тела его кинетическая энергия выражается формулой (7.10):mu12 mu22 mu1′ 2 mu2′2 Jω12 Jω12+=+++.(7.62)222222Здесь ω1 и ω2 – угловые скорости вращения гантелей после соударения.Запишем также закон сохранения момента импульса системыдвух гантелей относительно оси, проходящей через их центр массперпендикулярно поверхности, по которой происходит скольжениегантелей, на том же интервале времени:llllmu1 + mu2 = mu1′ + Jω1 − mu 2′ + Jω2 .(7.63)2222В (7.63) учтено, что момент импульса гантели относительновыбранной оси в соответствии с формулой (6.23) из Главы 6 равенсумме момента импульса центра масс гантели относительно этойоси в системе центра масс двух гантелей и момента импульса гантели относительно оси, проходящей через ее центр масс, в системеотсчета, связанной с этим центром масс.Учитывая симметрию задачи в системе центра масс двух гантелей, запишем очевидные соотношения между угловыми скоро-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ250стями вращения гантелей и скоростями их центров масс после соударения (см. рис. 7.11):ω1 = ω2 = ω ,(7.64)u2′ = −u1′ = u′ .(7.65)Du′ωCAu′ωX'BРис. 7.11III. Решим систему уравнений (7.59) – (7.65) относительно′′u1 , u2 , ω1 и ω2 :u1′ = −u2′ =υ1 + υ 2 ml 2 − 4 J(7.66)⋅ 2= u′ ,2ml + 4 J4lmυ +υω1 = ω2 = 1 2 ⋅ 2=ω .(7.67)2ml + 4 JЗаметим, что момент инерции гантели при заданной массе mмаксимален в случае, когда ее масса сосредоточена на концах гантели:22ml⎛l⎞J ≤ 2 m⎜ ⎟ =.(7.68)4⎝2⎠Следовательно, в соответствии с (7.66) u′ = u1′ = −u′2 ≥ 0 (см.рис. 7.11).Скорости центров масс гантелей после соударения в лабораторной системе отсчета равны:υ ml 2 − 4υ 2 J,(7.69)υ1′ = u′ + υцм = 1 2ml + 4 Jυ ml 2 − 4υ1 J.(7.70)υ 2′ = −u′ + υцм = − 2 2ml + 4 JИтак, в результате абсолютно упругого соударения, движение гантелей представляет собой суперпозицию поступательногоГлава 7.
Законы сохранения момента импульса и механической энергии251движения их центров масс и вращательного движения с одинаковой угловой скоростью относительно осей, проходящих через ихцентры масс (см. рис. 7.12).Dωυ 2′CAυ1′ωBРис. 7.12В случае, когда масса гантели сосредоточена на ее концах,момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,равен:ml 2(7.71)J=.4При этом скорости центров масс гантелей после первого соударения в лабораторной системе отсчета и угловая скорость их вращения равны:υ −υυ1′ = υ 2′ = 1 2 ,(7.72)2υ +υω= 1 2.(7.73)lВ соответствии с (7.65) скорости центров масс гантелей после соударения в системе центра масс системы тел равны нулю.Следовательно, в рассматриваемом частном случае гантели, вращаясь с одинаковой угловой скоростью, испытают повторное соударение (см.
решение Задачи 8 в Главе 3).Задача. 7.5Тонкий однородный стержень длиной l0 и массой m0 = 10 гвращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку егоподвеса, описывая при этом коническую поверхность (см.рис. 7.13). Жук, сидящий на стержне, начинает медленно ползти сверхнего закрепленного его конца к нижнему концу. Начальный252МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧугол отклонения стержня от вертикалисоставляет α 0 = 60°. При какой массе жукаm угол отклонения стержня от вертикалиmαсоставит α1 = 45° после того, как жук достигнет нижнего конца стержня?РешениеI. При движении жука вдоль стержl0, m0ня на систему тел «стержень + жук» действуют силы тяжести и силы реакции состороны подвеса.
Поскольку моментыРис. 7.13этих сил относительно вертикальной оси,проходящей через точку подвеса, равны нулю, момент импульсарассматриваемой системы тел относительно этой оси в лабораторной инерциальной системе отсчета не изменяется. Поэтому прирешении задачи будем использовать закон сохранения моментаимпульса относительно вертикальной оси для двух моментов времени: начала движения (l = 0, α = α 0 ) и момента достижения жуком конца стержня (l = l0, α = α1 ). Здесь введены обозначения: l −расстояние от жука до точки подвеса стержня и α − угол отклонения стержня от вертикали.В процессе движения жука расстояние l, угол α , а также угловая скорость вращения стержня ω изменяются. Для нахождениявзаимосвязи между углом отклонения α и угловой скоростью ωудобно перейти к неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с вращающимся стержнем.
В этой системе отсчета на системутел «стержень + муфта» действуют силы тяжести, сила реакцииподвеса в точке крепления стержня и силы инерции.Поскольку жук в соответствии с условием задачи движетсяпо стержню медленно, то угловая скорость вращения стержня ωтакже медленно изменяется ( ω& ≅ 0 ), следовательно, переноснаясила инерции (см. (4.16) в Главе 4) примерно равна центробежнойсиле инерции: Fпер ≅ Fцб . Силой инерции Кориолиса (см. (4.17) вГлаве 4), действующей на медленно движущегося жука, также пренебрегаем: FКор ≅ 0 .Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии253Сумма моментов внешних сил, действующих на систему тел«стержень + жук, равна нулю относительно любой оси, неподвижной относительно выбранной неинерциальной системы отсчета.Заметим, что центробежная сила инерции, действующая наразличные элементы стержня, зависит от расстояния между данным элементом и вертикальной осью вращения неинерциальнойсистемы отсчета.
Следовательно, для расчета суммарного моментасил инерции, действующих на стержень, необходимо просуммировать моменты сил инерции, действующих на каждый из элементовстержня. Заметим также, что момент силы реакции подвеса в точкекрепления стержня равен нулю относительно оси, проходящей через точку подвеса.Таким образом, для решения задачи воспользуемся закономсохранения момента импульса системы тел «стержень + жук» относительно вертикальной оси в лабораторной инерциальной системе отсчета и условием равенства нулю суммарного момента сил,действующих на эту систему тел относительно оси, жестко связанной с вращающимся стержнем и проходящей через точку подвеса,в неинерциальной системе отсчета.II.
Момент импульса системы тел «стержень + жук» L складывается из моментов импульсов стержня Lст и жука Lж в отдельности. Момент импульса элемента стержня Lст зависит от расстояния между данным элементом и вертикальной осью вращениястержня. Следовательно, для расчета суммарного момента импульса стержня необходимо просуммировать моменты импульсов всехэлементов стержня. Запишем момент импульса системы тел «стержень + жук» в лабораторной инерциальной системе отсчета относительно вертикальной оси вращения:l0L = Lст + Lж = ∫ x sin α0m0dxωx sin α + l sin α mωl sin α =l0⎛1⎞2(7.74)= ω sin 2 α ⎜ m0l0 + ml 2 ⎟ ,⎝3⎠где x − координата элемента стержня длиной dx вдоль стержня относительно точки подвеса.Запишем также закон сохранения момента импульса системытел «стержень + жук» относительно вертикальной оси в лабораторной инерциальной системе отсчета на интервале времени от началаМЕХАНИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
