Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6.1 Теоретический материал в Главе 6).1Определения момента импульса (количества движения) механической системы и момента силы относительно точки (оси), а также формулировка закона изменения момента импульса (уравнения моментов)относительно точки (оси) даны в п. 6.1 Теоретический материал в Главе 6.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ232Кинетическая энергия абсолютно твердого тела2 в случаеего произвольного движения равна:211E k = ∑ mi υi2 = ∑ mi (V + [ωri′]) =2 i2 i()=12mi V 2 + 2V ⋅ [ωri′] + [ωri′] =∑2 i=11′ ] + ∑ mi [ωri′]2 .mV 2 + mV ⋅ [ωrцм22 i(7.5)Здесь mi и υi – массы и скорости материальных точек, из которыхсостоит абсолютно твердое тело, V – скорость начала системы отсчета S', жестко связанной с телом, ω – угловая скорость системыS', ri′ – радиус-векторы материальных точек тела относительно′ – радиус-вектор центра масс (см.
Главу 3) тела отсистемы S', rцмносительно системы S'.Если начало отсчета системы S', связанной с абсолютнотвердым телом, совпадает с центром масс тела, то его кинетическаяэнергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центрмасс:1 2 12E k = mυцм(7.6)+ ∑ mi [ωri′] ,22 iгде υцм – скорость центра масс тела.Кинетическая энергия вращающегося тела вокруг неподвижной оси:1E k = Jω 2 ,(7.7)2где J – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращения тела.2Определение кинетической энергии механической системы даны вп. 3.1 Теоретический материал в Главе 3, а определение абсолютно твердого тела в п.
6.1 Теоретический материал в Главе 6.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии233Работа внешних сил при повороте тела вокруг оси:ϕ2δA = M n dϕ , A12 = ∫ M n dϕ ,(7.8)ϕ1где Mn – момент сил относительно оси (см. п. 6.1 Теоретическийматериал в Главе 6), ϕ1 и ϕ2 – начальное и конечное значения углаповорота.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела в случаеего плоского движения:11′ ] + Jω 2 .E k = mV 2 + mV ⋅ [ωrцм(7.9)22Здесь смысл обозначений физических величин тот же, что и в (7.5)и (7.7).Если начало отсчета системы S', связанной с абсолютнотвердым телом, находится в центре масс тела, то его кинетическаяэнергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центрмасс, и в случае плоского движения равна (теорема Кенига):112E k = mυцм+ J цмω 2 ,(7.10)22где υцм – скорость центра масс тела, J цм – момент инерции телаотносительно оси вращения, проходящей через его центр масс.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, записанная через момент инерции тела J n относительно мгновенной осивращения3:1E k = J nω 2 .(7.11)2Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, закрепленного в точке:211E k ≡ ∑ mi υi2 = ∑ mi [ωri ] ,(7.12)2 i2 i3Определениемгновеннойосип.
6.1 Теоретический материал в Главе 6.вращениядановМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ234где ri – радиус-векторы материальных точек, из которых состоиттело, относительно закрепленной точки этого тела. Если восполь22зоваться математическим соотношением [ab] = a 2 b 2 − (ab ) , то:2112E k = ∑ mi [ωri ] = ∑ mi ω 2 ri2 − (ωri ) =2 i2 i()2⎛⎞1⎜ ω 2 r 2 − ⎛⎜ ω x ⎞⎟ ⎟ =m∑∑α iα ⎟ ⎟i⎜∑ α i⎜2 i⎝α⎠ ⎠⎝α⎛⎛⎞⎞1= ∑ mi ⎜ ⎜ ∑ δ αβ ωα ω β ⎟ri2 − ∑ ωα xiα ω β xiβ ⎟ =⎟⎜ ⎜ α ,β⎟2 iα ,β⎠⎝⎝⎠⎫1 ⎧1= ∑ ⎨∑ mi δ αβ ri2 − xiα xiβ ⎬ωα ωβ = ∑ J αβ ωα ωβ ,2 α ,β ⎩ i2 α ,β⎭=(Ek =1∑ Jαβ ωα ωβ .2 α ,β(Здесь J αβ = ∑ mi δαβ ri2 − xiα xiβ)(7.13))– тензор инерции тела, характе-iризующий распределение массы тела относительно точки; δαβ –символ Кронекера.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела закрепленного на оси:1E k = J nω 2 ,(7.14)2где J n – момент инерции тела относительно оси.В данной главе рассматриваются системы, состоящие из совокупности абсолютно твердых тел и материальных точек.
Этисистемы являются частными случаями механической системы, длякоторой в Главе 3 сформулированы законы изменения и сохранения механической энергии.Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе внутреннихГлава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии235Fi np,in и внешних Fi np,ex непотенциальных сил4:()dE = − δAnp,in + δAnp, ex = δAnp ,(7.15)или для конечного интервала времениΔE = ΔAnp .(7.16)Закон сохранения механической энергии системы – еслиработа всех непотенциальных сил равна нулю, то механическаяэнергия системы относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:ΔE ≡ E (t2 ) − E (t1 ) = 0илиE (t1 ) = E (t2 ) .(7.17)ГироскопыГироскоп – это аксиально-симметричное тело, вращающеесяс большой угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии (см.рис.
7.1).ΩdtLωΩOϑdLMmgРис. 7.1. Гироскоп в поле сил тяжестиПрецессия гироскопа – вращение оси симметрии гироскопас угловой скоростью Ω под действием момента внешних сил наряду с его собственным вращением вокруг оси симметрии (см.рис. 7.1).4Определение механической энергии системы, внутренних ивнешних непотенциальных сил даны в п. 3.1 Теоретический материал вГлаве 3.236МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОсновные физические допущения элементарной теории гироскопа:- угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа;- величина угловой скорости вращения гироскопа вокругсвоей оси ω гораздо больше величины угловой скорости прецессии Ω .В рамках принятых допущений момент импульса гироскопаL равенL = J zω ,(7.18)а уравнение моментов (6.38) относительно его неподвижной точкиO (см.
рис. 7.1) имеет вид:dL=M,(7.19)dtгде Jz – момент инерции гироскопа относительно своей оси симметрии, M – сумма моментов внешних сил (в том числе силы тяжести), действующих на гироскоп.В соответствии с (7.19) ось гироскопа вместе с моментом Lпрецессирует вокруг вертикального направления с угловой скоростью Ω .На рис. 7.1 видно, что:dL = L sin ϑ ⋅ Ωdt ,(7.20)dL = [ΩL]dt .(7.21)Следовательно, прецессия гироскопа описывается уравнением:dL= [ΩL] .(7.22)dtС учетом уравнения моментов (7.19) для гироскопа получим:M = [ΩL] = J z [Ωω] .(7.23)Заметим, что момент импульса определяет угловую скорость,а не ускорение прецессии, т.е.
прецессионное движение являетсябезинерционным!Гироскопические силы – силы, действующие на крепление(рамку, подшипник, руки экспериментатора и т.д.) несвободногогироскопа при вынужденном вращении оси (вынужденной прецессии) гироскопа.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии237В соответствии с третьим законом Ньютона на креплениедействует момент гироскопических сил:M г = − M = −[ΩL] = − J z [Ωω] .(7.24)Правило Н.Е. Жуковского – гироскопические силы стремятся совместить момент импульса гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота.7.2. Основные типы задач и методы их решения7.2.1. Классификация задачБольшинство задач, относящихся к теме "Законы сохранениямомента импульса и механической энергии. Гироскопы.
Гироскопические силы" можно условно отнести к следующим типам задачили их комбинациям. Задачи на1) законы сохранения момента импульса и механическойэнергии системы (в том числе включающей в себя абсолютно твердые тела),2) гироскопы и гироскопические силы.7.2.2. Общая схема решения задачI.
Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета (из соображений удобства), относительно которой будут рассматриваться законы сохранения (изменения) механической энергии и момента импульса механической системы, изобразить на чертеже еесистему координат, а также точку (ось), относительно которой записываются моменты импульсов и сил.3.
Изобразить и обозначить силы и необходимые кинематические характеристики системы.4. Выбрать механическую систему и рассматриваемый интервал (начальный и конечный моменты) времени.5. Выбрать модели тел (если это не сделано в условии задачи)и рассмотреть особенности их движения на рассматривае-238МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧмых интервалах времени (непосредственно перед соударением, сразу после соударения, и т.д.).6.
Провести анализ действующих на тела системы сил и ихмоментов относительно выбранной точки (оси) вращения.II. Записать полную систему уравнений по отношению к искомым величинам.1. Выбрать законы сохранения (изменения) и записать их ввыбранной системе отсчета для выбранной механическойсистемы и выбранных интервалов времени в рамках выбранной модели движения тел системы.2. Записать выражения для моментов сил, моментов инерциии импульса тел и механической энергии системы тел сучетом характера их движения.3. Записать уравнения кинематической связи.4. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
