Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 36
Текст из файла (страница 36)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ254движения жука (l = 0, α = α 0 ) до момента достижения им нижнегоконца стержня (l = l0, α = α1 ):112L1 − L0 = ω1 sin 2 α1 (m0 + 3m )l02 − ω0 sin 2 α 0 m0l0 = 0 ,(7.75)33где L0 и ω0 − момент импульса системы тел и Oугловая скорость их вращения в начальныймомент времени, а значения этих величин вFцбжαконечный момент времени − L1 и ω1.Запишем равенство нулю суммы моmgментов внешних сил, действующих на систеdFцбстму тел «стержень + жук», относительно гориdlзонтальной оси, неподвижной в выбраннойнеинерциальной системе отсчета и проходяm0gщей через верхний конец стержня O (см.Рис.
7.14рис. 7.14):стжстжM тж+ M тж+ M цб+ M цб= 0.(7.76)стМоменты сил тяжести, действующих на стержень M тжи жукажM тж, равны:1стM тж= − m0 gl0 sin α ,2жM тж = −mgl sin α .(7.77)(7.78)ж(см. (4.16) в Главе 4),Момент центробежной силы инерции M цбдействующей на жука, определяется выражением:жM цб= mω 2l 2 sin α cos α .(7.79)Для нахождения суммарного момента сил инерции, дейстст, рассмотрим элемент стержня длиной dx,вующих на стержень M цбнаходящийся на расстоянии x от верхнего конца стержня. Центробежная сила инерции (см. (4.16)), действующая на этот элемент,равнаmdFцбст = 0 dxω 2 x sin α ,(7.80)l0где x sin α – расстояние от элемента стержня до вертикальной осивращения выбранной неинерциальной системы отсчета.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии255Момент силы инерции, действующей на элемент стержня,относительно горизонтальной оси, неподвижной в выбранной неинерциальной системе отсчета и проходящей через верхний конецстержня O, можно записать в виде (см.
рис. 7.21):mстdM цб= dFцбст x cos α = 0 dxω 2 x 2 sin α cos α .(7.81)l0Интегрируя (7.104) по всей длине стержня, получим суммарный момент сил инерции, действующих на стержень:l0m01dxω 2 x 2 sin α cos α = m0ω 2l02 sin α cos α .l30 0стM цб=∫(7.82)III. Определим взаимосвязь между угловой скоростью вращения стержня (и жука) и угла отклонения стержня от вертикали впроизвольный момент времени. Решая совместно уравнения(7.76) − (7.79) и (7.82), получаем:3g (m0l0 + 2ml )ω=(7.83).2 m0l02 + 3ml 2 cos α()В соответствии с (7.83) для начального (l = 0, α = α 0 ) и конечного (l = l0, α = α1 ) моментов времени можно записать:ω0 =3g,2l0 cos α 0(7.84)ω1 =3 g (m0 + 2m ).2l0 cos α1 (m0 + 3m )(7.85)Преобразуя закон сохранения момента импульса системы тел«стержень + жук» (7.75), получаем:ω1 sin 2 α1 (m0 + 3m ) − ω0 sin 2 α 0 m0 = 0 .(7.86)Подстановка (7.84) и (7.85) в (7.86) дает квадратное уравнение для определения искомой массы жука m:sin 4 α 0 cos α1 ⎞2⎛⎟=0.6m 2 + 5m0 m + m0 ⎜⎜1 −⋅(7.87)4⎟⎝ sin α1 cos α 0 ⎠Решая уравнение (7.87), окончательно получим:1⎛sin 4 α cos α1 ⎞⎟m = ⎜ − 5 + 1 + 24 4 0 ⋅m0 .12 ⎜⎝sin α1 cos α 0 ⎟⎠(7.88)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ256Воспользовавшись численными значениями физических величин, заданных в условии задачи, находимm ≈ 0,32 m0 = 3,2 г .Задача 7.6Спутник массой m движется по эллиптической траекториивокруг планеты, находящейся в одном из ее фокусов (см. рис. 7.15).υ1υmrMr2r1υ2Рис. 7.15Известны наименьшее r1 и наибольшее r2 расстояния отспутника до центра планеты, а также модуль его скорости υ1 в наиболее близкой к планете точке траектории. Найти массу планетыM, а также радиусы кривизны траектории спутника и в наиболееблизкой R1 и наиболее удаленной R2 от планеты точках его траектории.РешениеI.
Лабораторную систему отсчета, связанную с планетой, будем считать инерциальной. При дальнейшем рассмотрении будемсчитать спутник материальной точкой, а планету − сферическисимметричным телом. Движение спутника по эллиптической траектории происходит под действием одной силы – силы гравитационного взаимодействия (см. п. 2.1.2.А в Главе 2) спутника и планеты. Поскольку эта сила является центральной (п. 3.1.2.А в Главе 3),то момент импульса спутника относительно оси, проходящей черезцентр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника, всоответствии с законом сохранения момента импульса механической системы относительно оси (см.
п. 7.1. Теоретический материал) не меняется со временем.Будем считать, что система тел «спутник + планета» являетсяизолированной, а центральные силы взаимодействия тел системы −Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии257потенциальны (п. 3.1.2.А в Главе 3). В этом случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии рассматриваемой системы (п. 7.1. Теоретический материал).II. Запишем закон сохранения момента импульса спутникаотносительно оси, проходящей через центр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника (см.
рис. 7.15), для моментоввремени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальномr2 расстоянии от планеты:r2 mυ 2 − r1mυ1 = 0 ,(7.89)где υ 2 − модуль скорости спутника при максимальном удалении отпланеты. При записи (7.89) было учтено, что скорость υ и радиусвектор r спутника относительно центра планеты в рассматриваемые моменты времени взаимно перпендикулярны. Заметим, что востальные моменты времени угол между скоростью υ и радиусвектором r не равен π / 2 (рис. 7.15).Запишем закон сохранения механической энергии системытел «спутник + планета» для моментов времени нахождения спутника на минимальном r1 и максимальном r2 расстоянии от планеты:mυ 22mυ12+ E2p −− E1p = 0 .(7.90)22Здесь E1p и E2p − потенциальные энергии системы тел «спутник + планета» в рассматриваемые моменты времени.Определим потенциальную энергию системы при произвольном расстоянии r между спутником и центром планеты.Выберем ноль отсчета потенциальной энергии, соответствующий положению спутника на физически бесконечно большомрасстоянии от планеты.
Тогда в соответствии с определением потенциальной энергии механической системы (см. (3.32) в Главе 3)можно записать:∞mMmMd r = −G.(7.91)2rrrСледовательно, потенциальная энергия системы тел «спутник + планета» в моменты нахождения спутника на минимальномr1 и максимальном r2 расстоянии от планеты равна:mM,(7.92)E1P = −Gr1E = ∫−GpМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ258mM.(7.93)r2Для определения радиуса кривизны траектории спутника запишем уравнение его движения в проекции на нормальную ось,направленную к центру кривизны траектории перпендикулярноскорости спутника, в рассматриваемые моменты времени:mMυ2m 1 =G 2 ,(7.94)R1r1E2P = −Gυ 22mM.(7.95)R2r22III.
Решая записанную в п. II систему уравнений(7.89) − (7.95) получаем искомое выражения для массы планеты⎛r ⎞υ2M = 1 (r2 + r1 )⎜⎜ 1 ⎟⎟(7.96)2G⎝ r2 ⎠m=Gи радиусов кривизны траектории в рассматриваемые моменты времениrrR1 = R2 = 2 1 2 .(7.97)r1 + r2Заметим, что обе искомые физические величины не зависятот массы спутника, что дает возможность нахождения массы планеты, исходя из измерений только кинематических характеристикспутника.7.3.2. Гироскопы. Гироскопические силыЗадача 7.7Электродвигатель закреплен на подставке так, что его ось иобщий центр масс находятся посередине между опорами подставки, расстояние между которыми равно l.
Двигатель с подставкойпоставили на гладкую горизонтальную поверхность. Найти силыдавления опор подставки на поверхность, если после включенияротор двигателя раскручивается с угловым ускорением β вокругего геометрической оси, а его момент инерции относительно этойоси равен J. Масса двигателя с подставкой равна m.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии259РешениеI.
Задачу решаем в лабораторнойсистеме отсчета. Ось Z декартовой сисZтемы координат направим вертикальновверх. Ось, относительно которой записываем моменты сил и импульса тел,выберем совпадающей с геометрической осью ротора и направленной за F1F2плоскость чертежа (см. рис.
7.16).При включении электродвигателямомент сил, действующих на ротор состороны статора, закрепленного наРис. 7.16подставке, изменяет момент импульсаротора. В соответствии с третьим законом Ньютона такой же повеличине момент сил действует со стороны ротора на статор с подставкой. При этом на подставку действуют также моменты сил реакции со стороны поверхности, на которой она находится. Подставка с закрепленным на ней статором остается в покое, поэтомусуммарный момент всех внешних сил, действующих на них относительно произвольно выбранной оси, равен нулю.II. Для ротора двигателя запишем уравнение моментов относительно выбранной оси:dL=M,(7.98)dtгде L − момент импульса ротора относительно оси его вращения.Поскольку момент силы тяжести относительно оси ротораравен нулю, суммарный момент внешних сил M равен моментусил, действующих на ротор со стороны статора с подставкой.Условия равновесия для статора и подставки запишем в следующем виде:ll− M + F1 − F2 = 0 ,(7.99)22F1 + F2 − mg = 0 .(7.100)где F1 и F2 – силы, действующие на подставку со стороны поверхности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
