Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ЗапиРис. 8.7. Физическийшем уравнение моментов (6.48) для абсомаятниклютно твердого тела относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника (см. рис. 8.7):(8.23)Jα&& = M mg .E = Ek + Ep =Здесь α − угол отклонения маятника от положения равновесия, J −момент инерции физического маятника относительно выбраннойоси, M mg = −mgl sin α − момент силы тяжести, действующей наматериальную точку относительно той же оси, m − масса физического маятника и l − расстояние от центра масс маятника до точкиего подвеса.При малых углах отклонения маятника уравнение (8.23) сводится к виду уравнения гармонических колебаний (8.1):Jα&& = −mgl sin α .(8.24)mglα&& +α =0.(8.25)JСравнивая (8.25) с (8.1), для угловой частоты колебаний физического маятника получим:mgl.(8.26)ω0 =JИспользуя теорему Гюйгенса − Штейнера (6.42), выразим угловую частоту колебаний физического маятника через его моментинерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси вращения:ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания277mgl.(8.27)J 0 + ml 2Заметим, что в случае математического и физического маятников в качестве обобщенной координаты выступает угол отклонения маятника от положения равновесия.Законы движения физического маятника и изменения его угловой скорости идентичны случаю математического маятника:α (t ) = A cos(ω0t + ϕ0 ) ,(8.28)α& (t ) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ 0 ) .(8.29)Кинетическая энергия физического маятника равна (см. (7.7)в п. 7.1. Теоретический материал Главы 7):Jα& 2 mglA2Ek ==sin 2 (ω0 t + ϕ 0 ) .(8.30)22Если за ноль отсчета потенциальной энергии принять положение равновесия маятника, то его потенциальная энергия при отклонении на угол α можно записать в виде:mglA2E p = mgl (1 − cos α ) ≅cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) .(8.31)2Механическая энергия физического маятника равна:mglA2E = Ek + Ep =.(8.32)2ω0 =8.1.2.
Собственные затухающие колебанияУравнение движения в случае собственных затухающих колебаний имеет вид:ξ&&(t ) + 2δξ& + ω02ξ = 0 ,(8.33)где δ – коэффициент затухания (определяется характеристикамисистемы).Решения уравнения (8.33) различны в зависимости от соотношения коэффициента затухания и частоты собственных незатухающих колебаний.Случай собственных затухающих колебаний − с затуханиемменьше критического (δ < ω0).Закон движения в этом случае имеет вид (см. рис. 8.8):МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ278ξ (t ) = Ae −δ t cos(ωt + ϕ 0 ) .(8.34)2π2πЗдесь ω = ω02 − δ 2 и T ==– угловая частота и пеωω02 − δ 2риод затухающих колебаний.ξ (t )tРис. 8.8. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае затухающих колебанийЛогарифмический декремент затухания ϑ – логарифм отношения значений обобщенной координаты в моменты времени t иt + T:ξ (t )(8.35)ϑ ≡ ln= δT .ξ (t + T )Заметим, чтоξ (t )ln= NδT = Nϑ .(8.36)ξ (t + NT )Обратная величина логарифмического декремента затуханияравна числу периодов, за которые амплитуда колебаний уменьшится в e ≅ 2.7 раз:1ξ (t )ln= N eϑ = 1 , = N e .(8.37)ϑξ (t + N eT )Средняя механическая энергия ETза период T меняется современем по экспоненциальному закону, поскольку потенциальнаяE p и кинетическая E k энергии механической системы квадратично зависят от обобщенных координат и скоростей:ET= EkT+ EpT= E0 e −2δ t .При этом средняя мощность потерь P(8.38)Tравна:ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания279dETdE=−= 2δ E0e − 2δ t .(8.39)dt TdtДобротность колебательной системы Q определяется отношением средней за период механической энергии системы ксредней мощности потерь:ETπ π ωE0e −2δ t= 2π== =.(8.40)Q ≡ 2π− 2δ tδT ϑ 2δP TT2δE0e TPT≡−Случай апериодического движения − с затуханием большекритического (δ > ω0).Закон движения в этом случае записывается в виде:ξ (t ) = A1e− ⎛⎜ δ + δ 2 −ω 02 ⎞⎟ t⎝⎠− ⎛⎜ δ − δ 2 − ω 02 ⎞⎟ t⎠+ A2e ⎝,(8.41)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.В зависимости от начальных условий постоянные величиныA1 и A2 могут быть как одного, так и разных знаков.AПри 1 > 0 обобщенная координата ξ (t ) монотонно стреA2мится к нулю при t → ∞ (см.
рис. 8.9).ξ (t )tРис. 8.9. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времениAв случае апериодического движения при 1 > 0A2A1< 0 обобщенная координата ξ (t ) в некоторый моA2мент времени обращается в ноль, затем достигает локального эксПриМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ280тремума и далее монотонно стремится к нулю при t → ∞ (см.рис. 8.10).ξ (t )tРис.
8.10. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) от времеAни в случае апериодического движения при 1 < 0A2Случай критического затухания (δ = ω0).Закон движения в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ( A1 + A2t )e −δ t ,(8.42)где A1 и A2 – постоянные величины, определяемые начальными условиями.Возможные виды зависимости обобщенной координаты отвремени при различных начальных условиях изображены нарис. 8.11.ξ (t )tРис. 8.11. Зависимость обобщенной координаты ξ (t ) отвремени в случае критического затуханияНезависимо от соотношения коэффициента затухания δ ичастоты собственных незатухающих колебаний ω0 обобщеннаякоордината ξ (t ) стремится к нулю при t → ∞ .ГЛАВА 8.
Свободные и вынужденные колебания2818.1.3. Вынужденные колебания. РезонансУравнение движения в случае вынужденных колебаний поддействием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&& + 2δξ& + ω02ξ = B cos( pt ) ,(8.43)где B cos( pt ) – обобщенная вынуждающая сила, B и p – ее амплитуда и частота.В частном случае пружинного маятника в качестве обобщенной вынуждающей силы выступает отношение вынуждающей силы, действующей на тело, прикрепленного к пружине, к массе этого тела.Колебания под действием гармонической вынуждающей силы при δ < ω0 можно представить в виде суперпозиции собственных и вынужденных колебаний.
Закон изменения обобщеннойкоординаты в этом случае имеет вид:ξ (t ) = ξ соб (t ) + ξ вын (t ) = ξ соб (t ) + A( p) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.44)Здесь ξ соб (t ) – закон изменения обобщенной координаты при собственных затухающих колебаниях в отсутствии вынуждающей силы, ξ вын (t ) – закон изменения обобщенной координаты после затухания собственных колебаний, A(p) – амплитуда и ϕ(p) – начальнаяфаза установившихся вынужденных колебаний ξ вын (t ) , которыезависят от частоты вынуждающей силы (см. сплошные линии нарис. 8.12 и 8.13):BA( p ) =,(8.45)2ω02 − p 2 + 4δ 2 p 2()2δp.(8.46)p − ω02На рис.
8.12 и рис. 8.13 штриховыми линиями изображенызависимости амплитуды и фазы установившихся вынужденных колебаний для удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.При t >> 1/δ, собственными затухающими колебаниямиξ соб (t ) можно пренебречь:ξ (t ) = ξ вын (t ) = A( p ) cos( pt + ϕ ( p) ) .(8.47)tg ϕ ( p) =2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ282A(p)δ2δAст0pрез = ω02 − 2δ 2pРис. 8.12. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний A(p) отчастоты p при различных коэффициентах затухания δϕ(p)ω00p–π/2–πδ2δРис. 8.13.
Зависимость начальной фазы вынужденных колебаний ϕ(p)от частоты p при различных коэффициентах затухания δРезонанс смещения (обобщенной координаты) – явлениерезкого возрастания амплитуды A( p) вынужденных колебанийпри изменении частоты вынуждающей силы (рис. 8.12).В случае резонанса смещения резонансная частота pрез выd A( p)нуждающей силы находится из условия=0:dppрез = ω02 − 2δ 2 .(8.48)При резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний равна:BAрез = A( pрез ) =.(8.49)2δ ω02 − δ 2ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания283При постоянной ( p = 0 ) обобщенной вынуждающей силе Вобобщенная координата ξ будет также постоянна и равна:BAст = A(0) = 2 .(8.50)ω0При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности (при p >> ω0 ) амплитуда вынужденных колебаний стремится кнулю (рис.
8.12):Bp →∞A( p ) ~ 2 ⎯⎯⎯→ 0 .(8.51)pЗаметим, что добротность колебательной системы можетбыть выражена через Aрез и Aст . В соответствии с (8.40), (8.49) и(8.50):Q=ω Aрез≅(при ω0 >> δ ).2δAст(8.52)Закон изменения со временем обобщенной скорости в случаевынужденных установившихся колебаний под действием гармонической вынуждающей силы имеет вид:ξ&(t ) = ξ&вын (t ) = − A( p) p sin ( pt + ϕ ( p ) ) == A( p ) p cos( pt + ϕ ( p ) + π / 2 ) .(8.53)Здесь A( p ) p – амплитуда изменения обобщенной скорости (см.сплошную линию на рис. 8.14):Bp.(8.54)A( p ) p =22 22 2ω0 − p + 4δ p()Штриховой линией на рис. 8.14 изображена зависимость амплитуды изменения обобщенной скорости при вынужденных колебаниях в случае удвоенного значения коэффициента затухания 2δ.Резонанс скорости – явление резкого возрастания амплитуды A( p ) p изменения обобщенной скорости ξ&(t ) при изменениичастоты вынуждающей силы (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
