МУ - Кривизна и ее приложения - Золкина (1238751)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНОБРНАУКИ РОССИИФГБОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»Кафедра высшей математикиЛ.А. ЗолкинаЕ.С. ПлотниковаКРИВИЗНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯМетодические указаниядля студентов лесоинженерного факультетаспециальности «автомобильные дороги и аэродромы»Екатеринбург2011Печатается по рекомендации методической комиссии ФЭУ.Протокол № 2 от 23 сентября 2010 г.Рецензент доцент кафедры высшей математики УГЛТУ Н.К. ОреховаРедактор Л.Д. ЧерныхОператор компьютерной верстки Г.И. РомановаПодписано в печать 30.11.12Плоская печатьЗаказ №Формат 60х84 1/16Печ. л. 1,86Редакционно-издательский отдел УГЛТУОтдел оперативной полиграфии УГЛТУ2Поз.

46Тираж 190 экз.Цена 9 руб. 60 коп.1. Кривые на плоскостиРассмотрим функцииy  f ( x) или x   ( y ) .(1)Полагаем их непрерывными и имеющими непрерывные производные.Неявная функция:F ( x; y )  0 .(2)Функция, заданная параметрически: x   (t ), y   (t ).(3)Кривая есть геометрическое место точек, удовлетворяющих аналитическим выражениям (1), (2) или (3).Пример 1. Цепная линияx a  axxay   e  e   a  ch .2aПо такой линии устанавливается в равновесии гибкая, нерастяжимая тяжёлая нить (цепь, провод и т. д.), подвешенная за оба конца.Пример 2. Эллипсx2 y 2 1.a 2 b2В параметрической форме уравнение эллипса принимает вид x  a cos t , y  b sin t ,где параметр t изменяется в пределах 0  t  2 . В прямоугольных декартовых координатах параметр t можно представить как угол между радиусомвектором ( x; y ) и осью абсцисс Ox .Пример 3.

Гиперболаx2 y2 1.a 2 b2В параметрической форме уравнение гиперболы имеет вид x  a  cht , y  b  sht ,3et  etcht где параметр t изменяется в пределах   t   ;2et  etsht .2;Пример 4. Полукубическая парабола(рис.1)y 2  cx3 .Тогдака.y   cx3 , где O(0; 0) - особая точ-Рис. 12. Кривые механического происхожденияКривые механического происхождения получаются путём качения одних кривых по другим.2.1.

ЦиклоидаПо оси Ox слеванаправо катится безскольжения круг радиуса a с центром вточке A (рис.2). Кривая, описываемая вэтом движении любойточкой A(0; a) окружности, называетсяциклоидой. Проследим путь, пробегае-Рис. 2мый точкойO , за один оборот круга: x  a  t  sin t  , y  a 1  cos t  .Границы изменения параметра0  t  2 .2.2. ЭпициклоидаЕсли один круг без скольжения катится по другому неподвижному кругу, то кривая, описываемая произвольной точкой М окружности подвижногокруга, называется эпициклоидой.4abxabcostacost,a y   a  b  sin t  a sin a  b t.aЗдесь a — радиус катящейся окружности, b — радиус неподвижнойокружности.Эпициклоида представляет собой замкнутую кривую, если радиусы не-a pm ( p, q - цеподвижного и катящегося круга соизмеримы, т.

е.b qлые числа).На рис. 3 приведены эпициклоиды, построенные для значений:кардиоида (рис. 3, а); m  2 (рис. 3, б); m  3 (рис. 3, в).а)б)m 1 -в)Рис.32.3. ГипоциклоидаЕсли катящийся круг движется внутри неподвижной окружности, тополучаемая кривая называется гипоциклоидой. Уравнение гипоциклоидыполучается из уравнения эпициклоиды заменой a на  a .baxbacostacost,a y   b  a  sin t  a sin b  a t .aЗдесь a — радиус катящейся окружности;ружности.5b — радиус неподвижной ок-amaНа рис.

4 построены гипоциклоиды для отношенийb ( — ради1mус катящегося круга; b — радиус неподвижного круга)3 (рис. 4, а);1m  — астроида (рис. 4, б).4а)б)Рис. 43. Кривые в полярных координатахУравнение кривой в полярных координатах имеет вид r  f ( ) .3.1. Архимедова спираль (рис. 5)Уравнение в полярных координатах:r  a .3.2. Лемниската Бернулли (рис. 6)Уравнение в полярных координатах:r 2  2a 2 cos 2Рис. 5Рис. 664.

Касание кривых между собой.Огибающая семейства кривыхЕсли две кривые имеют общую точку M 0 и в этой точке общую касательную, то говорят, что кривые касаются в точке M 0 .Пусть семейство кривых задано уравнениемF ( x; y; a)  0,(4)где a – параметр.Для получения конкретной кривой должно быть задано значение a .При изменении значения a будут получатся различные по форме или положению кривые. Совокупность всех этих кривых называется семействомкривых с одним параметром.

Уравнение (4) называется уравнением семейства.Кривая L, которая касается каждой кривой семейства в одной или нескольких точках и при том состоит из этих точек касания, называется огибающей этого семейства (рис. 7).x   (a), y   (a )являютсяL координатами точки касания.Если огибающая семействаРис. 7(4) существует, то её уравнениеполучаем как решение относительно x, y системы уравнений: F ( x; y; a )  0, ' Fa ( x; y; a)  0.Пример 5. Найти огибающую для семейства окружностей x  a2 y2  r 2  0 .РешениеЧастная производная уравнения семейства по параметру a равна:2( x  a )  0 . Откуда получаем x  a  0 .Подставляя в первое уравнение системы, получаемy2  r2  0 . y  r  y  r   0 .

r  const .y  r , y  r . Огибающими семейства являются две прямые, параллельные оси абсцисс.75. Скорость изменения длины кривойПусть по кривой движется точка M . Её положение на этой кривой будем задавать длиной дуги, отсчитываемой от некоторой точки А, принятой заначало координат. В некоторый момент времени положение подвижной точки Мсовпадает с некоторой неподвижной точкой кривой M 0  x0 ; y0  (рис. 8).Длина дуги AM 0  s .

Предположим, что точка M 0 перешла в положениеM1  x0  x; y0  y  . Длина дуги кривой при этом изменилась на величинуs  M 0 M1 . Квадрат длины хорды, соединяющей точки M 0 M1 , равен22M 0 M12   x    y  .(5)При x  0 длина хорды стремится кРис 8.длине дуги M 0 M1  M 0 M 1.s. Предел этого отxСредней скоростью точки называется отношениеношения называется мгновенной скоростью точкиs s ' ( x) .x 0 xlim(6)Приведем левую часть (5) к виду222 M 0 M1 2sxy. x 2Разделив полученное равенство на  x  , получим222 M 0 M1   s  y 1  . x  x   x Переходя к пределу при x  0 и учитывая, что предел первой скобки влевой части равенства равен 1, получаем22 ds  dy 1   . dx  dx (7)Извлекая квадратный корень, находим мгновенную скорость движенияточки по кривой:82ds 1   y'  .dx(8)'Вспоминая геометрический смысл производной: y ( x0 )  tg , получаем2ds1 1   y '   1  tg 2  sec  .dxcos 2 (9)По аналогии получаем2ds 1   x '   sec  ,dy(10)где  - угол между осью ординат и касательной.Скорость изменения длины дуги кривой измеряется секансом угла между касательной к кривой и соответствующей координатной осью.Дифференциал дуги равен2ds  1   y '  dx .(11)Если кривая задана параметрически x   (t ), y   (t ) , то дифференциал дуги определяется по формулеds 22t'    t'  dt .(12)Дифференциал дуги можно представить длиной отрезка касательной клинии в начальной точке дуги.

Достаточно малую дугу линии можно сосколь угодно малой относительной ошибкой заменять и по положению и подлине соответствующим отрезком касательной к этой линии в начальнойточке дуги.Проекции dx, dy отрезка касательной ds на оси координат определяютсяпо формуламds1dx cos  ; dx  ds cos  ;;dx cos  dsds1dx cos  ; dx  ds cos  .dy cos  ; ds(13)(14)6.

Понятие кривизныВведём новую количественную характеристику линии, определяющуюмеру изогнутости, искривлённости линии. Под кривизной понимают её отклонение от прямой линии.Пусть дана линия, определяемая уравнением y  f ( x) , непрерывная сосвоими производными 1-го и 2-го порядка. Рассмотрим дугу этой кривой.Если в каждой точке кривой провести касательную, то вследствие искрив9лённости кривой эта касательная будет вращаться с перемещением точки касания. Этим кривая отличается от прямой, для которой касательная, совпадающая с ней, сохраняет одно и то же направление для всех точек.Важным элементом, характеризующим течение кривой, является степеньеё искривлённости или кривизна в различLных точках.На рис.

9 показан угол поворота касательной к кривой при переходе из точки M в точLкуM1 .Полной характеристикой изогнутости кривой является отношение угла поворота касательной к длине соответствующей дуги MM1 .Рис. 9Средней кривизной K cp дуги MM1 называется отношение угла поворота касательной к длине дугиK cp .MM1(15)На различных участках кривой средняя кривизна будет различной.Пример кривых с различной кривизной на участках (рис. 10, 11).Рис.

10Рис. 11От понятия средней кривизны дуги MM1 перейдём к понятию кривизныкривой в точке.Кривизной кривой в точке М называется предел, к которому стремитсякривизна дуги MM1 , когда точкаM 1 стремится вдоль кривой к точке M :k  lim K cp  limM1  MM1  M10.MM1(16)Понятия средней кривизны и кривизны кривой в данной точке аналогичны понятиям средней скорости и скорости кривой в данный момент длядвижущейся точки. Средняя кривизна характеризует среднюю скорость изменения направления касательной на некоторой дуге, а кривизна в точке - истинную скорость изменения этого направления, приуроченную к даннойточке.Пример 6. Найти среднюю кривизну дуги AB некоторой окружностирадиуса r и кривизну в точке А.Обозначим  — угол поворота касательной. Длина дуги AB   r . 1 .

Кривизна кривой в точСредняя кривизна дуги АВ равна K cp r r1klimKcpке А равнаB Ar.Средняя кривизна дуги окружности не зависит от длины и положениядуги, кривизна окружности в каждой точке также не зависит от выбора точки.Для любой прямой средняя кривизна K cp  0 , и кривизна в точке так жеравна k  0 . Прямая представляет собой линию нулевой кривизны.7. Вывод аналитического выражениядля вычисления кривизныПусть дана криваяy  f ( x) (рис. 12). Начало координат на кривой(начало отсчёта дуги) выбрано в точке M 0 .

Рассмотрим точки M  x; y  иM1  x  x; y  y  .Длина дуги M 0 M  s . При переходе от точки М к точке M1 длина дугиувеличивается на s  M 0 M 1  M 0 M . Приращение дуги будем считать положительным s . Угол наклона касательной к оси абсцисс обозначим  .Модуль приращения угла поворота касательной  .11Средняя кривизна дуги M1M равнаK cp ss .Кривизна в точке равна k  Mlim1 MРис. 12Так как длина дуги s и угол поворота касательной  зависят от x , то  можно рассматривать как функцию, зависящую от х. Тогдаdlimx 0 xk  lim lim x  dx s 0 ss 0 sdsslimx 0 xxdxПо определению производнойтельно  получаем.sddx1   y' 2(17)tg  y ' . Разрешая уравнение относи-  arctgy ' .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги