МУ - Кривизна и ее приложения - Золкина (1238751), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Дифференцируем d1y '' .2dx 1   y ' по x , получаем(18)Подставляя выражение производной в числитель выражения кривизны,получаемy ''k3' 21   y  .(19)y ''Знак322'1   y  указывает сторону, в которую изогнута кривая в точкеM , а модуль этого выражения даёт кривизну, т.

е. меру изогнутости линии вточке М. Кривизну можно вычислить в любой точке кривой, где существуетy ''вторая производная.Пример 7. Найти кривизну линииРешениеy  kx  b .y '  k , y ''  0. Прямая представляет собой линию нулевой кривизны.12Пример 8. Кривая задана уравнениемв точке A(0; 5) .РешениеНайдёмy  x3  x 2  5 . Найти кривизнуy ' и y '' от функции y  x3  x 2  5 :y '  3x 2  2 x, y ''  6 x  2.Вычислим значенияy ' и y '' в точке A(0; 5) :y '  0   0, y ''  0   2.Используя формулу (19) найдём кривизну линии в точке A(0; 5) :2k1  0 Пример 9. Кривая задана уравнением3 2.y 2  2 px . Найти кривизну вточках M 0  0;0  и M1  p 2; p  .РешениеНайдёмy ' и y '' от функции y  2 px :y'ppy''.32x ,2 xПолучим выражение кривизны в произвольной точке х:kpp2p2 x3  323232.p2xp2xp312x32 2x  2x Найдём кривизну линииy 2  2 px в точке M 0  0;0  :k (0)  2p2.p3 2pДалее определим кривизну в точке M1  p 2; p  :2p1 pk  .3222p 2 p138.

Вычисление кривизны линии,заданной параметрическиКривая задана уравнениямифункции у равнаx   (t ), y   (t ) . Производная по х отyt' (t )y  ' .xt (t )'x(20)Вторая производная определится по формулеdy 'ytt '' xt '  yt ' xtt ''dy ' dt''y xx .3'dxdx xt dt(21)Подставляя найденные производные в формулу для кривизны кривой,получаемkytt'' xt'  yt' xtt''32' 2t x    y  ' 2t.(22)Пример 10. Определить кривизну циклоидыx  a  t  sin t  , y  b 1  cos t  в произвольной точке  x; y  .РешениеПроизводные по параметру t равны:xt'  a 1  cos t  ; yt'  a sin t ; xtt' '  a sin t ; ytt' '  a cos t.

Подставляя производные в формулу для кривизны, получаемka cos t a 1  cos t   a sin t a sin t a 1  cos t 22cos t  132322 a 1  1cos t 2232 a sin ta 2  cos t  13a  2  2 cos t 112322 a 1  1cos t 141t4a sin232.9. Вычисление кривизны линий,заданных в полярных координатахЗадание функции в полярных координатах r  f ( ) сводится к параметрическому представлению. Для этого в качестве параметра выбираютполярный угол  , декартовы координаты выражаются через параметр соотношениямиx  r cos   f ( ) cos  ; y  r sin   f ( ) sin  .(23)Кривизна линии, заданной в полярных координатах, вычисляется по формулеKr 2  2(r ' )2  rr ''r2' 2 32 (r ).(24)Пример 11. Кривизна спирали Архимеда в произвольной точке.Спираль Архимеда задана уравнением в полярных координатахr  a .

Первая и вторая производные радиуса вектора по параметру (полярному углу  ) равныr '    a; r ''    0.Подставляя в (24) выражения для полярного радиуса и его производных,получаемKa 2 2  2a 2r 22a2 32a 2 (2   2 )a 1  32 32(2   2 )a 1  2 32.Пример 12. Кривизна логарифмической спиралиУравнение логарифмической спирали в полярных координатах и частныепроизводные по параметру (полярному углу  ):r  a ; r '  a ln a; r ''  a ln 2 a.15Подставляя полученные выражения для полярного радиуса и его производных в (24), получаемKa2  2a 2 ln 2 a  a a ln 2 aa232 a ln a 22a 2 1  ln 2 a a31  ln a 2321a2.1  ln a10. Радиус, центр и круг кривизныВо многих исследованиях представляется удобным приближённо заменить кривую вблизи рассматриваемой точки окружностью, имеющей ту жекривизну, что и кривая в этой точке. (Круг кривизны - в смысле окружностькривизны).Кругом кривизны кривой в данной точке М называют круг, который:1) касается кривой в точке М; 2) направлен выпуклостью в ту же сторону,что и кривая; 3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М.Центром кривизны называют центр круга кривизны.Радиусом кривизны кривой в данной точке называют радиус круга кривизны в точке.Радиус кривизны кривой в данной точке связан с кривизной соотношением32' 21  y 1R Ky ''Рис.

1316.(25)Рис. 14Центр кривизны лежит на нормали ккривой в рассматриваемой точке М со стороны вогнутости (рис. 13). Радиускривизны получается со знаком. Установим геометрический смысл знакарадиуса кривизны. Нормаль к кривой составляет с касательной к кривой втой же точке угол  2 . В правой системе координат угол, отсчитываемыйпротив часовой стрелки, считается положительным. Радиус кривизны будетиметь знак "+", если он откладывается по нормали в положительном направлении. Радиус кривизны имеет знак "–", если он откладывается от касательной в отрицательном направлении.Пример 13.

Выбор знака радиуса кривизны.Из рис. 14 следует, знак радиуса кривизны противоположен знаку второй производной уравнения кривой y  f ( x) , а именно R  0, если y ''  0,(26)'' R  0, если y  0.Замена бесконечно малой дуги кривой вблизи точки М соответствующей дуги окружности даёт значительно меньшую ошибку, чем замена её отрезком касательной. Таким образом, понятие радиуса, центра и круга кривизны служат достаточно точной характеристикой линии в её точке М. Ониуказывают степень изогнутости линии посредством сравнения её с окружностью, имеющей с ней общую точку М, общую касательную в этой точке иту же кривизну.11. Координаты центра кривизныЗадана кривая у = f(x) и точка M  x; y  на этой кривой.

Найти координаты центра (круга) кривизны C  ;  в этой точке (см. рис. 13).Пусть радиус круга кривизны равен R. Длина отрезка МС = R, причёмточка С принадлежит нормали к кривой в точке М. Запишем уравнениенормали к кривой в точке М:Yy1 X  x ,y'(27)где  X ; Y  - точка на нормали.Координаты центра  ;  также удовлетворяют этому уравнению:y1  x  .y'(28)Подставив координаты точек С и М в уравнение круга кривизны2  x     y 2 R2и заменив   y значением, взятым из (28), получим17(29)  x 21y '  x2 2 R2.2Разрешая полученное уравнение относительно   x  , получаем' 2y   x  1  y 2R2 .' 2Извлекаем квадратный корень и находим координату  : y'   x2' 2R.(30)1  y Подставляя найденное ранее выражение для радиуса кривизны (25), получаем  xy ' 1   y' 2y ''.(31)Для того чтобы найти вторую координату центра круга кривизны, нахо'дим из уравнения нормали (28)   x   y   y  и подставляем полученное значение в формулу для круга кривизны (29), получаем' 22 y    y     y 2 R2.Находим квадрат разности координат центра круга и точки касания:  y 2R2' 21  y .Искомая координата равна1  y' 2R.(32)1  y Подставляя выражение для радиуса кривизны (25), получаем  y1  y' ''y ''2.(33)Если вторая производная y  0 , то ордината центра круга кривизнывыше ординаты точки касания   y .

Следовательно, кривая вогнута и вформулах для координат центра круга кривизны (31), (33) следует взятьнижние знаки:18  xy ' 1   y' 2y '',  y1  y' 2y ''.(34)Если вторая производная у" < 0 , то ордината центра круга кривизныниже ординаты точки касания   y . Следовательно, кривая выпукла и вформулах для координат центра круга кривизны (31), (33) следует взятьверхние знаки:  xy ' 1   y' 2y '',  y1  y' 2y ''.(35)2Пример 14. Найти координаты центра кривизны параболы y  2 px впроизвольной точке M  x; y  , в вершине M 0  0;0  ) и в точке M1  p 2; p  .РешениеДифференцируя уравнение параболы по координате х, получаем 2уу'=2р.p. Вторая производная равнаxp 'p2''y  2 y  3 .yy'Первая производная равна y Координаты центра кривизны определяем по формулам (34):  xy ' 1   y' y ''2,  y1  y' y ''2.'''Подставим найденные выражения для y и y в формулы для  и  :1  yy ''' 2p21 2y 2  p2  yyp2p2 3yи получим22y2 p  y  p  y y2  2 y2  2 p2 3 y2 p,2p yp22pp  3x  p ,19y2  p2yp 2  3 y3  yp 2y3  yy 2.p2p2p32 2x  .y3Итак,   3x  p ,p2pПри параметрическом задании функции координаты центра кривизныимеют вид:xt' 2  yt'2',  x  t   yt ' ''' ''xyyxt ttt tt'2'2  y  t   x' xt  yt .t ' ''xt ytt  yt' xtt''Пример 15.

Найти координаты центра кривизны эллипсаx  a cos t , y  b sin t.РешениеНайдём производные:xt'  a sin t ; yt'  b cos t ,xt' t'  a cos t ; ytt' '  b sin t.Подставим найденные выражения в (36):a 2 sin 2 t  b2 cos 2 t  a cos t  b cos ta sin t  b sin t   b cos t  a cos t b  a 2 sin 2 t  b 2 cos 2 t   cos t  a 22ab  sin t  cos t  cos t a 2  1  cos 2 t  a 2  b2 cos 2 ta20a2 b2cos3 t ,a(36)a 2 sin 2 t  b2 cos 2 t  b sin t  a sin ta sin t  b sin t   b cos t  a cos t a a 2 sin 2 t  b2 1  sin 2 t  sin t  b ab  sin 2 t  cos 2 t sin t  b2  a 2 sin 2 t  b 2  b 2 sin 2 t b  a 2  b2 3sin t.ba 2  b2a 2  b 2 33cos t ,  sin t.Итак,  ab12.

Характеристики

Список файлов книги