МУ - Кривизна и ее приложения - Золкина (1238751), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Эволюта и эвольвентаНахождение эволютыЕсли точка M  x; y  перемещается вдоль данной кривой, то соответствующий ей центр кривизны C  ;  тоже описывает некоторую кривую.Если в точке M1 данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центркривизны. Совокупность всех центровкривизны данной линии L образует некоторую новую линию L 1 , называемую эволютой по отношению к первой (рис. 15).Исходная кривая по отношению ксвоей эволюте называется эвольвентой илиразвёрткой.Если данная кривая определяетсяуравнением у = f(x), то уравнение центракривизны можно рассматривать как параметрическое уравнение эволюты спараметром х.

Исключая, если это возможно, параметр х, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты  и  .2Пример 16. Найти эволюту параболы y  2 px .Решение21Воспользуемся формулами (34), определяющими координаты центракривизны C ( ; ) кривой у = f(x):  xy ' 1   y' y ''2,  y1  y' y ''2.Воспользуемся решением примера 14 и выпишем координаты центракривизны параболы:   3x  p , 2x  32p.pи подставим в332   p23  . Возведем вpВыразим x квадрат левую и правую части равенства. Получим уравнение2 832  p  .27 pЭто уравнение описывает полукубическуюпараболу. Следовательно, эволютой параболыявляется полукубическая парабола (рис.

16).Рис. 16Пример 17. Найти эволюту эллипса x  a cos t ; y  b sin t.РешениеВоспользуемся решением примера 15 и выпишем найденные формулы  a 2  b2  3a 2  b23cos t ,  sin t.ab222Обозначим с  a  b . Выразим13 a cos t с2 3cos2 a t13, b sin t 23с4 3, sin,с2 32 b t23с4 3.Согласно основному тригонометрическому22тождеству cos t  sin t  1 , получимРис. 1722 a 23  b 2323  с2  .Кривая напоминает астроиду, вытянутую по вертикальному направлению(рис. 17).13.

Свойства эволюты и эвольвентыЗная уравнения эвольвенты, мы без труда находим уравнения эволюты. Обратная задача более сложная. Она решается с помощью интегрального исчисления.Каждая эвольвента может быть восстановлена по своей эволюте с помощьюразворачивания навёрнутой на эволютунити или путём качения прямой безскольжения по эволюте. Если прямая катится без скольжения по данной кривой,то траектория любой её точки служит дляданной кривой эвольвентой.

Таким образом каждая эволюта имеет бесчисленноемножество эвольвент.Теорема 1. Нормаль к данной кривой L является касательной к её эволютеL1 .Эволюта касается всех нормалей к эвольвенте, следовательно она является огибающей семейства нормалей (рис.18).Каждая линия имеет одну эволюту, но каждая эволюта имеет бесконечное множество эвольвент, составляющих семейство параллельных линий (рис.19).Теорема 2.

Приращение длины дуги эволюты равно соответствующему приращению радиуса кривизны даннойэвольвенты при условии, что радиус кривизны изменяется монотонно на некоторомучастке кривой M1M 2 :C1M 1  R1 ,C1C2  R1  R2 .C2 M 2  R2 ,тогдаРазность радиусов кривизны в двухточках эвольвенты равна дуге эволюты между соответствующими центрами кривизны.Рассмотрим механический смысл данно23го свойства.Пусть радиус кривизны, который сохраняет на рассматриваемом участке один и тот же знак, будет везде больше ноля.

Из второго свойства следует,радиус кривизны отличается от дуги эволюты на постоянную С.Будем отсчитывать дугу на эвольвентеот той точки Р, которой отвечает наименьший радиус кривизны, тогда постоянная С > 0. PQ — эволюта. Наэволюту навёрнута гибкая нерастяжимая нить от Q к Р. Она сходит с эволюты по касательной и обрывается нарасстоянии С от Р в соответствующейточке А эвольвенты. Станем нить развёртывать, сматывая её с эволюты, носохраняя её в натянутом состоянии.Пусть QNM - произвольное её положение, так как NM > РА = С на длину дуги PN , то NМ и есть радиус кривизныR, то есть точка М лежит на эвольвенте(рис.

20).Итак, эвольвента может быть описана путём разворачивания нити,предварительно навёрнутой на эволюту, то есть эвольвента есть траекторияточки А прямой АР, описываемая ею, когда прямая катится по эволюте безскольжения.Пример 18. Найти эвольвенту кругаx  a  cos t  t sin t  , y  a  sin t  t cos t  .Решениеxt'  at cos t , yt'  at sin t ,yt'tg  '  tgt.xtСледовательно   t.Касательная МТ параллельна радиусуOB, ВМ — нормаль к нашей кривой.ОВ = а.xt' 2  yt' 2  a 2t 2 ,s '  t   xt' 2  yt' 2  at ,ds  atdt .24Rds at  MB – радиус кривизны эвольвенты.

Точка касания Вd(точка схода нити с круга) будет центром кривизны для траектории конца Мнити. Геометрическим местом центров кривизны нашей кривой является исходный круг (рис. 21).14. Связь между второй производной и радиусом кривизныВ качестве меры локальной изогнутости можно вместо кривизны использовать радиус кривизны:32R1  y '2 y ''.(37)Чем меньше радиус кривизны, тем больше изогнута линия в даннойточке. Замена бесконечно малой дуги линии вблизи точки М соответствующим отрезком касательной сопровождается бесконечно малой погрешностью не ниже 2-го порядка, а замена её соответствующей дугой окружностикривизны - бесконечно малой погрешностью не ниже 3-го порядка.

Такимобразом, малую дугу линии можно считать почти дугой окружности, то естьрадиус кривизны и круг кривизны указывают степень изогнутости линиипосредством её сравнения с окружностью, имеющей с ней общую точку М,общую касательную в этой точке и ту же кривизну.Приведём геометрическую интерпретацию второй производной.Существует тесная связь между второй производной у"(х) и радиусомкривизны графика функции у = f(x) в соответствующей его точке. Если радиус кривизны не существует или равен  , то f"(x) не существует илиf"(x) = 0 и обратно.В точке перегиба линия или не имеет радиуса кривизны или её радиускривизны равен  .Линия AMВ составлена из дуг двух окружностей.

Функция везде имеет25Рис. 22производную, непрерывно меняющуюся(рис. 22).Вторая производная не существует в точке М (х = 0).Можно убедиться в этом непосредственным вычислением, но с помощью радиуса кривизны этот факт можно объяснить просто и наглядно. Слева от точки М радиус кривизны всюду равен 1, а справе везде равен 2. Значит в точке М не существует радиуса кривизны, а потому не существует ивторой производной. Линия имеет в точке М две касательные и 2 радиусакривизны.Линия AMВ в заданном интервале гладкая, то есть везде имеет непрерывную первую производную. Её график имеет в каждой точке касательнуюи представляется непрерывной гладкой линией, вдоль которой касательнаявращается непрерывно.Если функция f(x) везде имеет непрерывную f"(x), её график в каждойточке имеет непрерывную кривизну.

Тогда функцию f"(x) можно считатьгладкой в более сильном смысле: вдоль неё непрерывно меняется не толькокасательная, но и кривизна.Функция f(x) считается тем более "гладкой", чем больше производныхсуществует в каждой точке рассматриваемого интервала. Линия AMВ (рис. 22)не является гладкой в смысле кривизны, так как, не смотря на кажущуюсяплавность линии, её кривизна терпит разрыв в точке М.

Она переходит отзначения 1 к значению 1/ 2 . Таким образом, если функция не имеет в некоторых точках f"(x), а линия - радиуса кривизны, то с точки зрения изменениякривизны линию нельзя рассматривать как особенно "гладкую", так каккривизна её терпит разрыв в точках стыка отдельных частей с непрерывноменяющейся кривизной.Итак, для того чтобы линия была "гладкой" необходимо существованиенепрерывной f"(x) и, следовательно, непрерывной кривизны.15.

Переходные кривыеРассмотрим практический вопрос, в котором используется изменениекривизны вдоль кривой. Существование непрерывной второй производнойи, следовательно, непрерывной кривизны имеет большое применение приразбивке железнодорожных закруглений, при строительстве автомобильныхдорог.Из механики известно, что при движении тела по окружности радиусаmV 2R величина центробежной силы P R , причём сила направлена по радиусу к центру окружности. При движении по какой-либо другой траектории по нормали к ней направлена сила, определяющаяся по той же формуле,но под R понимается радиус кривизны траектории в данной точке.

Пустьскорость сохраняется постоянной, тогда сила будет испытывать разрывы не26прерывности в точках разрыва непрерывности кривизны линии, по которойпроисходит движение. Этим объясняются толчки вагонов на поворотах, хотяобычно кажется, что путь имеет плавные закругления.

Во избежание толчковстараются повороты осуществлять так, чтобы кривизна менялась непрерывно.Если бы прямолинейная часть пути примыкала непосредственно к закруглению, разбитому по дуге окружности, то центробежная сила возникала бымгновенно, создавая сильный и вредный для подвижного состава толчок.Для избежания этого прямолинейную часть пути соединяют с дугой окружности с помощью так называемых переходных кривых, допускающихнепрерывный переход кривизны от нуля до кривизны данной окружности.Как известно, кривизна прямой линии равна нулю, а кривизна окружности1R , где R— радиус окружности, следовательно, кривизна переходной1кривой должна непрерывно изменяться от нуля доR.равнаВ качестве переходных кривых используются:x31) кубическая парабола y 6q ;222) лемниската Бернулли r  2a cos 2 ;sss2s23) клотоида x   cos 2k ds, y   sin 2k ds.oox3Пример 19.

Определить, какая часть кубической параболы y 6q используется в качестве переходной прямой.РешениеНайдем радиус кривизны кубической параболы используя формулуx2x''y,y(37). Имеем2qq . Для радиуса кривизны получаем выраже'qx4 ние R  x 1  4q 2  . Исследуем полученное выражение. При x  0'имеем y  0, R   , т. е. в начале координат наша кривая имеет нулевуюкривизну и касается оси Ох.27Проведя исследование по первой производной от R, получаем следующий результат: выражение для R убывает доимеетx  0,946 q , где ономинимумRmin  1,390 q .Только часть кривой отx0до x  0,946 q используется напрактике в качестве переходнойкривой (рис. 23).

Полуось Охможно соединить с подобраннойдугой окружности с помощью кубической параболы так, что кривизна образованной линии будетнепрерывно увеличиваться от нулядо кривизны окружности. Если траектория настолько гладка, что кривизнанепрерывна и существует в любой точке, то движение остаётся плавнымбез всякого изменения скорости на поворотах.При проектировании современных автомобильных дорог одним из важнейших условий является обеспечение комфортабельности и безопасностидвижения, т.

е. создание трассы, позволяющей автомобилям двигаться с постоянной или плавно меняющейся скоростью. Этому условию удовлетворяет клотоидная трасса - трасса, состоящая из сопрягающихся круговых и переходных кривых больших параметров. Прямые вставки между ними невелики, а иногда могут совсем отсутствовать.В качестве переходной кривой применяется начальный участок клотоиды от R   до R  r на расстоянии L от начала клотоиды.

В конце переходной кривой, то есть в точке сопряжения с окружностью, радиус кривизны клотоиды r равен радиусу окружности.16. Натуральное уравнение плоской кривойЧасто в практических вопросах удобно характеризовать геометрическую форму кривой уравнением, вид которого не зависит от выбора системы координат и связан только с самой кривой.Так координаты точки на кривой не являются существенными геометрическими элементами кривой. Такими элементами являются дуга кривойs, отсчитываемая в определённом направлении от некоторой начальной точ-1Kки, и радиус кривизны R (или сама кривизнаR ).Уравнение, выражающее кривизну плоской кривой как функцию длиныдуги, называется натуральным уравнением этой кривой:28K  f ( s ),dK.ds(38)(39)Натуральное уравнение однозначно определяет форму кривой.Оно не зависит от положениякривой на плоскости, а только отформы этой кривой.

Характеристики

Список файлов книги