МУ - Кривизна и ее приложения - Золкина (1238751), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

КривыеL1 иL2 , имеющие одно и тоже натуральное уравнение, отличаютсядруг от друга только своим положением на плоскости и могут быть совмещены движением (рис. 24). Двесимметрично расположенные кривые имеют натуральные уравнения, отличающиеся лишь знаком правой части. Совместить их перемещением наплоскости нельзя. Для этого понадобится вращение в пространстве.K  f ( s) можно восстановить еёddK f ( s).координатное представление. Так как, имеемdsdsПо натуральному уравнению кривойsТогда   f ( s )ds   0 , где  0 — постоянная.oЗатем, исходя из равенствdx  cos  ds, dy  sin  ds,(40)интегрируя, находимssx   cos  ds  x0 , y   sin  ds  y0 .00Постоянные интегрирования будем выбирать по соображениям удобств, таккак нам нужно восстановить хоть одну кривую.По натуральному уравнению кривой можно установить натуральноеуравнение её эволюты.Пример 20.

Найти кривую, натуральное уравнение которойРешениеИмеемK1dds, d .2as ds2 asИнтегрируя, получим29R 2  2as.12as0ds2s.asa 2s , тогда ds  a d .Выразим s:2Выбираем  в качестве параметра и получаем, используя (40),dx  a cos  d , dy  a sin  d .Откудаx  a   cos  d  a  cos    sin   ,y  a   sin  d  a  sin    cos   .Эта кривая оказалась эвольвентой круга.Пример 21. Показать, что натуральное уравнение цепной линииx a  axay   e  e a  есть K  2 2 .2a sРешениеd,ds1K ,RKдуга s отсчитывается от начала координат.Найдём дифференциал дугиx 1  axay  e  e  ,2'1  y' 2x 1  ax e  e a ,2ds  1  y '2 dx.Интегрируя, получимxxx 1  axa  ax  ax as   ds    e  e dx   e  e   ay '  a  tg2 020Выражаем   arctgsa.30Затем находимdsd1a.222aass1  a1aKОтсюдаa 2  s 2 ─ натуральное уравнение цепной линии.Л.А.

ЗолкинаЕ.С. Плотникова31КРИВИЗНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯЕкатеринбург201132.

Характеристики

Список файлов книги