Талтыкина (1235576)
Текст из файла
ABSTRACTThe master’s thesis consists of 72 p., 25 figures, 43 references and 10 tables.INTEGRAL EQUATIONS, FAST METHODS, DIFFRACTION PROBLEM,HELMHOLTZ EQUATION, MOSAIC-SKELETON METHODThe master’s thesis considers a numerical solution of three-dimensional scalarstationary problems of diffraction. The problems are reduced to weakly singularFredholm boundary integral equations of the first kind with one unknown function.Each equation is equivalent to the initial problems. Considered integral equationsare approximated by systems of linear algebraic equations. These systems arenumerically solved by generalized minimal residual method (GMRES). Fordecreasing computational complexity it’s offered to use the mosaic-skeletonmethod on the stage of numerical solution of these systems.The result of the master’s thesis is an application of the mosaic-skeletonmethod for numerical solution of the initial problems.
The additional modules forthe program that numerically solves the diffraction problems were created. Thenumerical experiments have shown that the mosaic-skeleton and the GMRESallow to calculate required solutions in a short time. The accuracy of solutionof the GMRES and the mosaic-skeleton method is the same as in the GMRESwithout it. It is recommended using the mosaic-skeleton method for numericalsolving of other problems which can be reduced to boundary integral equations.4РЕФЕРАТМагистерская диссертация содержит 72 с., 25 рис., 43 источника, 10 таблиц.ИНТЕГРАЛЬНОЕЧАДИФРАКЦИИ,УРАВНЕНИЕ,БЫСТРЫЕМЕТОДЫ,УРАВНЕНИЕГЕЛЬМГОЛЬЦА,ЗАДА-МОЗАИЧНО-СКЕЛЕТОННЫЙ МЕТОДОбъектом исследования магистерской диссертации является применение мозаично-скелетонного метода к приближённому численному матричновекторному умножению.Цель работы – адаптация и реализация мозаично-скелетонного метода длячисленного решения трёхмерных скалярных стационарных задач дифракцииакустических волн.В результате работы был реализован мозаично-скелетонный метод, где вкачестве малоранговой аппроксимации взята неполная крестовая аппроксимация.
Метод реализован на основе готовой программы решения исходныхзадач на языке Fortran 90. Была создана параллельная версия метода с использованием технологии OpenMP 3.0. Проведённые численные эксперименты доказывают эффективность предложенного подхода.5СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Интегральные уравнения задач Дирихле для уравненияГельмгольца и задач дифракции акустических волн .
. . .141.1 Обобщённые постановки задач Дирихле . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Обобщённая постановка задачи дифракции . . . . . . . . . . . . 162 Численный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.1 Общая схема метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 202.1.1Численное решение задач Дирихле для уравненияГельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2Численное решение задачи дифракции. . . . . . . . . . 232.2 Мозаично-скелетонный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1Построение дерева кластеров . . . . .
. . . . . . . . . . . 252.2.2Построение списка блоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3Построение малоранговой аппроксимации . . . . . . . . . 273 Программная реализация и численные эксперименты . . .313.1 Программное обеспечение . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 313.2 Параллельная версия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Компиляция программного обеспечения . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Численные эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ676. . . . . .ВВЕДЕНИЕМатематическое моделирование является важным инструментом исследования сложных систем и процессов, возникающих в различных областяхнауки и техники. Исследуемый процесс или система заменяется на «идеальную» математическую модель, изучением которой и занимается математическое моделирование. В частности, к таким моделям можно отнести задачиматематической физики. Они встречаются в различных областях физики,геофизики, химии, а также в атомной энергетике, оборонной промышленности, материаловедении и др. Важными классами задач математическойфизики являются трёхмерные краевые задачи для уравнения Гельмгольца изадачи распространения акустических волн в средах с трёхмерными включениями. Последние принято называть задачами дифракции или трансмиссии.Решения рассматриваемых краевых задач должны удовлетворять скалярному уравнению Гельмгольца, краевому условию, а также условию излученияна бесконечности при решении задач во внешней области.
Задачи дифракциизаключаются в решении скалярных уравнений Гельмгольца при выполненииконтактных условий, заданных на границе включения, и условия излученияна бесконечности.В данной работе рассматривается численное решение трёхмерных задачДирихле для уравнения Гельмгольца, а также численное решение трёхмерных скалярных стационарных задач дифракции акустических волн.
Аналитические решения этих задач могут быть найдены только в исключительныхслучаях. Поэтому численное моделирование является основным способом ихисследования. Численное решение предполагает предварительное построениедискретного аналога исходной задачи, которое может быть сделано разнымиспособами. При выборе модели предпочтение следуют отдавать наиболее точным и простым для реализации моделям.Конечно-разностные и проекционно-сеточные методы [1, 2] чаще всегоиспользуются для дискретизации задач, сформулированных в ограниченных областях. Их применение для дискретизации трёхмерных граничноконтактных задач во внешней области или внешних краевых задач являетсямалоэффективным. В этом случае расчетная область заменяется конечнойподобластью, а условие излучения на бесконечности – краевым условием на7внешней границе подобласти.
Такой подход вносит неустранимую погрешность при аппроксимации исходной задачи. Кроме того при решении рассматриваемых задач с высокой частотой колебания, для достижения приемлемойточности требуется уменьшать шаг сетки, что приводит к существенному увеличению размерности дискретной модели.
Вышеописанные особенности дискретизации исходных задач конечно-разностными и проекционно-сеточнымиметодами приводят к малоэффектиным моделям и, вследствии этого, редкоприменяются для решения данного класса задач.Более эффективно с вычислительной точки зрения перейти от дифференциальной постановки исходной задачи к эквивалентной ей интегральнойпостановке. Такой переход может быть сделан с помощью методов теориипотенциала. В таком случае трёхмерная задача в неограниченной областисводится к двумерной задачи на замкнутой границе включения.Основная идея численного решения исходных задач состоит в том, что ихрешения ищутся в виде интегралов типа потенциала с неизвестными подынтегральными функциями (плотностями), заданными на границе включения.Ядрами этих интегралов являются фундаментальные решения соответствующих дифференциальных уравнений или их производные, поэтому они автоматически удовлетворяют как самим дифференциальным уравнениям, так иусловию излучения на бесконечности для решений во внешней области.
Такая методика приводит к тому, что решение задач сводится к нахождениюнеизвестных плотностей, заданных на границе включения.При решении задач дифракции для перехода к интегральной постановке применяется непрямой вариант метода интегральных уравнений [3]– [6].В отличие от прямого варианта, который позволяет свести задачу к системеиз двух интегральных уравнений с двумя неизвестными плотностями, данный метод позволяет сформулировать исходную задачу в виде одного интегрального уравнения с одной неизвестной подынтегральной функцией. Преимуществом описанного подхода является и то, что полученные в результатедискретизации такого уравнения задачи удобны для численного решения именее требовательны к ресурсам компьютера.Исходная задача дифракции сводится к двум различным слабосингулярным интегральным уравнениям Фредгольма I рода с одной неизвестной плот8ностью [6]– [8], задачи Дирихле также формулируются в виде интегральныхуравнений Фредгольма I рода с одной неизвестной плотностью [8,9].
Для приближённого решения исследуемых уравнений используются алгоритмы, в которых искомая плотность отыскивается в виде линейной комбинации гладкихфинитных функций, образующих разбиение единицы на поверхности включения. При дискретизации интегрального уравнения поверхностные интегралы приближаются выражениями, содержащими интегралы по пространствуR3 , которые затем вычисляются аналитически. Это позволяет рассчитыватькоэффициенты систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимирующих соответствующие интегральные уравнения, по весьма простымформулам. После нахождения решения интегральных уравнений решения исходных задач восстанавливаются в любой точке пространства с помощью интегральных представлений.Полученные интегральные уравнения аппроксимируются СЛАУ с плотными матрицами больших порядков = 103 ÷ 105 .
Решение таких системпрямыми методами имеет сложность ( 3 ), однако спектральные свойстваполученных матриц таковы, что использование обобщённого метода минимальных невязок (GMRES) [10] позволяет понизить сложность до ( 2 ).Стоит отметить, что такая оценка обусловлена многократным применениемв GMRES процедуры матрично-векторного умножения.В последние десятилетия для СЛАУ с плотными матрицами развиваютсяразличные «быстрые» методы решения [11] – [15].
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
