Талтыкина (1235576), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При удвоении количества точекпогрешности падают в два раза, т.е. метод имеет второй порядок точностиотносительно ℎ2 ∼ −1 .51Рисунок 3.8 – Время решения СЛАУ для примера 2 при распараллеливании.Порядок СЛАУ – 64139 (сплошная линия) и 128946 (пунктирная линия).Пример 4. Рассматривается задача дифракции плоской акустической волны на единичном шаре с центром в начале координат и тремя различныминаборами параметров вмещающей среды и включения. Комплексная амплитуда исходного волнового поля давлений имеет вид 0 () = exp( 3 ), 0 =++0 , 1 = 0 , параметры сред: ) = 8, = 3, = 5.5, = 1; ) =15.5, = 5, = 9, = 4; ) = 21, = 7, = 30.5, = 9.5.Дискретизация уравнений (1.15) и (1.17) осуществлялась по формулам(2.9), (2.10), порядок матрицы варьировался от 1000 до 64000.
ТочностьGMRES для следующих примеров была 10−7 , а точность аппроксимации =10−5 .Правильность предлагаемого подхода проверялась путём сравнения приближённых решений задачи дифракции с известным аналитическим решением [41]. Последнее рассчитывалось по формулам (, ) =∞∑︁(2 + 1) =0ℎ ( ) (cos ) , ≥ 1,52 (, ) =∞∑︁(2 + 1) +1 =0 ( ) (cos ) , ≤ 1.Здесь = ||, cos = 3 /,′′ = ( ( ) ( ) − ( ) ( ))|=1 ,′ = ( ( ) ℎ′ ( ) − ℎ ( ) ( ))|=1 ,√︂√︂ (1) () =+1/2 () , ℎ () =() ,22 +1/2(1)+1/2 , +1/2 – функции Бесселя и функции Ханкеля 1 рода ( + 1/2)-гопорядка соответственно, – полиномы Лежандра -го порядка.Решения интегральных уравнений, найденные приближённо, сравнивались с аналитическими решениями, имеющими вид=−∞∑︁(2 + 1) +1 (cos ) =0=− ( ),∞∑︁(2 + 1) +2 (cos ) =0ℎ ( )для уравнений (1.15) и (1.17) соответственно.Погрешности решений интегральных уравнений вычислялись в нормепространства сеточных функций [9]⃦ ℎ ⃦2⃦ ⃦ −1/2ℎ(Γ)=∑︁ * ,, =1где * – комплексно сопряженное к число,¯ ¯= 3/22 ∫︁(︀)︀exp −2 , ̸= ,¯2 ¯+.= 3/22 2 1/20Относительные погрешности решения интегральных уравнений (1.15) и(1.17) представлены на рисунке 3.9.
При удвоении порядка матрицы погрешности падают в два раза, значит, метод имеет второй порядок точно53сти. Относительные погрешности решения задач их примера 4 приведены нарисунках 3.10 и 3.11. В данном случае метод также имеет второй порядоксложности.Рисунок 3.9 – Погрешности решения интегральных уравнений (1.15) и (1.17)для задач из примера 4На рисунках 3.12 и 3.13 изображены зависимости времени решения СЛАУ,аппроксимирующей уравнения (1.15) и (1.17) соответственно, от порядка матриц. Римскими цифрами обозначены варианты наборов параметров сред изпримера 4. Сравнение результатов показывает, что помимо существенногоускорения (до 100 раз при = 63886) сложность GMRES с использованиеммозаично-скелетонного метода растёт почти линейно, тогда как без использования данного метода GMRES имеет второй порядок сложности.В таблицах 3.5 и 3.6 приведены средние значения мозаичного ранга ифактора сжатия для СЛАУ, аппроксимирующей соответствующие интегральные уравнения.
Как и в предыдущих примерах, мозаичный ранг растёт как(ln3 ( )), а фактор сжатия, начиная с некоторого , уменьшается как(ln3 ( )/ ).Результаты работы параллельной версии решения СЛАУ с использовани54Рисунок 3.10 – Погрешности решений (сплошные линии) и (пунктирные линии) для задач из примера 4Рисунок 3.11 – Погрешности решений (сплошные линии) и (пунктирные линии) для задач из примера 455Рисунок 3.12 – Время решения СЛАУ для примера 4 с использованиеммозаично-скелетонного метода (пунктирная линия) и без его использования(сплошная линия) для уравнения (1.15)Таблица 3.5 – Мозаичный ранг для задачи из примера 4k∖MIIIIII998484.8497.4499.02042 39988150 15974 32598681.0 843.2 1016.2 1189.8 2 142.1780.3 975.2 1172.7 1364.0 1610.3949.4 1237.1 1493.8 1729.4 2012.4638861704.21902.92336.2Таблица 3.6 – Фактор сжатия для задачи из примера 4k∖MIIIIII99897.299.8100204266.776.493.0399842.248.861.98150 15974 32598 6388624.9 14.98.75.328.8 17.19.96.036.7 21.712.37.3ем мозаично-скелетонного метода представлены на рисунках 3.14 и 3.15 дляуравнений (1.15) и (1.17) соответственно.
Как и в предыдущих случаях быстрее всего найти решение СЛАУ с помощью 16 ядер. Однако время расчётана 16 ядрах не сильно отличается от времени работы на 8 ядрах.56Рисунок 3.13 – Время решения СЛАУ для примера 4 с использованиеммозаично-скелетонного метода (пунктирная линия) и без его использования(сплошная линия) для уравнения (1.17)Пример 5. Рассматривается задача дифракции плоской акустической волны на трёхосном эллипсоиде с полуосями (0.75, 1, 0.5) с центром в началекоординат. Комплексная амплитуда исходного волнового поля давлений инаборы параметров такие же как в примере 4.В данном случае решения, найденные приближенно, сравнивались с решениями, посчитанными на густой сетке, т.е.
при 64139 точек дискретизации.Это объясняется тем, что аналитическое решение задачи из примера 5 неизвестно. Относительные погрешности решения задачи из 5 с использованиемуравнения (1.15) приведены на рисунке 3.16, а с использованием уравнения(1.17) – на рисунке 3.17.Время решения СЛАУ с использованием мозаично-скелетонного метода ибез него приведены на рисунках 3.18 и 3.19 для уравнений (1.15) и (1.17) соответственно. Время выполнения GMRES в 200 раз меньше при использованиимозаично-скелетонного метода.Средние значения мозаично ранга и фактора сжатия для задачи из при57Рисунок 3.14 – Время решения СЛАУ для примера 4 для уравнения 1.15)при распараллеливании.
Порядок СЛАУ – 32598 (сплошная линия) и 63886(пунктирная линия)Рисунок 3.15 – Время решения СЛАУ для примера 4 для уравнения 1.17) сиспользованием мозаично-скелетонного метода (пунктирная линия) и безего использования (сплошная линия) для уравнения (1.17)58Рисунок 3.16 – Погрешности решений (сплошные линии) и (пунктирные линии) для задач из примера 5Рисунок 3.17 – Погрешности решений (сплошные линии) и (пунктирные линии) для задач из примера 559Рисунок 3.18 – Время решения СЛАУ для примера 5 с использованиеммозаично-скелетонного метода (пунктирная линия) и без его использования(сплошная линия) для уравнения (1.15)Рисунок 3.19 – Время решения СЛАУ для примера 5 с использованиеммозаично-скелетонного метода (пунктирная линия) и без его использования(сплошная линия) для уравнения (1.17)60мера 5 приведены в таблицах 3.7 и 3.8 соответственно.Таблица 3.7 – Мозаичный ранг для задачи из примера 5k∖MIIIIII1032484.8461.5506.12096 40108022 16033 32120681.0 843.2 1016.2 1189.8 2 142.1666.4 838.4 1029.6 1223.2 1467.5800.7 1034.2 1265.6 1490.4 1758.4641391704.21758.62070.6Таблица 3.8 – Фактор сжатия для задачи из примера 5k∖MIIIIII103282.189.498.1209656.863.676.4401037.241.851.68022 16033 32120 6413923.1 13.88.35.125.7 15.39.15.531.6 18.611.06.5Результаты работы параллельной версии метода и матрично-векторногоумножения приведены на рисунках 3.20 и 3.21 для решения задачи из примера 5 с использованием уравнений (1.15) и (1.17) соответственно.
Времярасчёта на 16 ядрах либо не отличается существенно от времени на 8 ядрах,либо даже немного превышает его. Вследствие этого, предлагается решатьданную задачу на 8 ядрах.Пример 6. Рассматривается задача дифракции на трёхосном эллипсоиде сполуосями (0.75, 1, 0.5) с центром в начале координат. Комплексная амплитуда исходного волнового поля давлений и наборы параметров вмещающейсреды и включения такие же как в примере 4.Погрешности решений и для задачи из примера 6, сформулированнойв виде уравнения (1.15), приведены на рисунках 3.22 и 3.22 соответственно.Погрешности решений и для задачи из примера 6, сформулированной ввиде уравнения (1.17), отражены на рисунках 3.24 и 3.24 соответственно.
Всепогрешности имеют второй порядок сложности.Суммарный мозаичный ранг и среднее значения фактора сжатия для задачи из примера 6 приведены в таблицах 3.9 и 3.10 соответственно. Мозаичный ранг как и в предыдущих примерах растёт со скоростью (ln3 ( )), афактор сжатия падает как (ln3 ( )/ ).61Рисунок 3.20 – Время решения СЛАУ для примера 5 для уравнения 1.15)при распараллеливании.
Порядок СЛАУ – 32120 (сплошная линия) и 64139(пунктирная линия)Таблица 3.9 – Мозаичный ранг для задачи из примера 6k∖MIIIIII1032421.6459.1504.32096 40108022 16033592.8 740.1 910.0 1106.1663.4 831.0 1017.4 1223.2797.9 1028.0 1252.7 1490.4321201337.61467.51758.4641391621.91758.62070.6Таблица 3.10 – Фактор сжатия для задачи из примера 6k∖MIIIIII103281.789.097.7209656.663.376.1401036.941.451.38022 16033 32120 6413922.7 13.88.35.125.4 15.39.15.531.2 18.610.96.562Рисунок 3.21 – Время решения СЛАУ для примера 5 для уравнения 1.17)при распараллеливании.
Порядок СЛАУ – 32120 (сплошная линия) и 64139(пунктирная линия)Рисунок 3.22 – Погрешности решений для задачи из примера 663Рисунок 3.23 – Погрешности решений для задачи из примера 6Рисунок 3.24 – Погрешности решений для задачи из примера 664Рисунок 3.25 – Погрешности решений для задачи из примера 665ЗАКЛЮЧЕНИЕЦели и задачи диссертации выполнены в полном объёме.Мозаично-скелетонный метод реализован для численного решения задачДирихле для уравнения Гельмгольца и задач дифракции акустических волн.Алгоритм метода адаптирован для матриц с комплексными коэффициентами.
Создана параллельная версия рассматриваемого метода, а также численного матрично-векторного умножения.В рамках выполнения поставленных целей добавлено три новых модуля впрограммное обеспечение, предназначенное для численного решения исходных задач. Данные модули реализуют три этапа мозаично-скелетоного метода. Для распараллеливания используется реализация стандарта OpenMP3.0 для компиляторa Intel Fortran Compiler. В программах решения исходныхзадач используются функции из библиотеки Intel MKL.Проведена серия численных экспериментов по решению задач Дирихлеи задач дифракции.
Эксперименты различаются формой включения, типомисточника и параметрами сред. Все численные эксперименты показали существенное ускорение при использовании мозаично-скелетонного метода. Крометого сложность GMRES и мозаичного-метода почти линейна, тогда как безданного метода GMRES имеет второй порядок сложности. Для всех примеровприведены погрешности решений исходных задач, они имееют второй порядок по ℎ2 ∼ −1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
