Талтыкина (1235576), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для любой функции ∈ 1/2 (Γ) существует единственноерешение внешней задачи 2 из пространства 1 (Ω ).Здесь и далее ⟨·, ·⟩Γ – отношение двойственности на 1/2 (Γ) × −1/2 (Γ),обобщающее скалярное произведение в 0 (Γ), ∈ −1/2 (Γ) – нормальнаяпроизводная , понимаемая в смысле распределений [40].Решения задач 1 и 2 будем искать в виде потенциалов простого слоя() () = () () ≡ ⟨(, ·), ⟩Γ , ∈ Ω() , (, ) = exp ( | − |)/(4 | − |).(1.7)(1.8)Ядрами интегральных операторов (1.7) являются фундаментальные решения уравнения Гельмгольца, поэтому и удовлетворяют уравнениям(1.1) и (1.3) в соответствующих областях и условию излучения (1.5) для .Эти функции будут решениями задач 1 и 2, если подобрать плотность так,15чтобы и удовлетворяли граничным условиям (1.2) и (1.4).
Таким образом, задачи 1 и 2 сводятся к граничному тождеству⟨, ⟩Γ = ⟨, ⟩Γ ∀ ∈ −1/2 (Γ).(1.9)Теорема 3. Пусть Im() > 0 или 2 не является собственным значениемзадачи (1.6). Тогда уравнение (1.9) корректно разрешимо в пространстве −1/2 (Γ) и формулы (1.7) дают решения задач 1 и 2.Доказательство. В работе [40] показано, что оператор : −1/2 (Γ) → 1/2 (Γ) представляет собой интегральный оператор Фредгольма, и его индекс равен нулю. Там же установлено, что если Im() > 0 или 2 не являетсясобственным значением задачи (1.6), то подпространство нулей оператора состоит только из нулевого элемента. В силу теории Рисса-Фредгольмаотсюда следует, что уравнение (1.9) корректно разрешимо в пространстве −1/2 (Γ) при любой правой части ∈ 1/2 (Γ).
Его решение , подставленноев формулы (1.7), даёт решения задач 1 и 2.1.2Обобщённая постановка задачи дифракцииРассмотрим трёхмерное евклидово пространство R3 с ортогональной системой координат 1 2 3 заполненное однородной изотропной средой с плотностью , скоростью распространения акустических колебаний и коэффициентом поглощения , в котором имеется ограниченное произвольной замкнутой поверхностью Γ однородное изотропное включение с плотностью ,скоростью звука и коэффициентом поглощения . Области R3 , занятыевключением и вмещающей средой, обозначим через Ω и Ω (Ω = R3 ∖Ω̄ ).Пусть в области Ω имеются гармонические источники звука, возбуждающие во вмещающей среде исходное волновое поле давлений 0 . Звуковыеволны распространяются в пространстве и, достигая включения, рассеиваются на нём.
В результате в области Ω возникают отражённые волны, а вобласти Ω появляются проходящие волны. Поэтому комплексную амплитудуполного поля давлений можно представить в виде:16=⎧⎨ , ∈ Ω ,⎩ + , ∈ Ω ,0где , – комплексные амплитуды поля давлений проходящего и отражённого волновых полей. Сформулируем исходную задачу.Задача 3 Найти в ограниченной области Ω трёхмерного евклидова пространства R3 и в неограниченной области Ω = R3 ∖Ω̄ , разделённых замкнутой поверхностью Γ ∈ + , + > 1, комплекснозначные функции() ∈ 1 (Ω() , ∆), удовлетворяющие интегральным тождествам∫︁*∇() ∇()Ω()−2()∫︁*() () = 0(︀)︀∀() ∈ 01 Ω() ,(1.10)Ω()условиям сопряжения на границе раздела сред из Ω и Ω⟨︀⟨︀⟩︀+−−,= ⟨0 , ⟩ΓΓ, − − + ⟩︀Γ∀ ∈ −1/2 (Γ),= ⟨, 1 ⟩Γ(1.11)∀ ∈ 1/2 (Γ),а также условию излучения на бесконечности для (︁−1 / || − = ||)︁,|| → ∞,(1.12)если на границе включения Γ заданы функции 0 ∈ 1/2 (Γ) и 1 ∈ −1/2 (Γ).Здесь * – комплексно сопряжённая к функция, ± ≡ ± , − : 1 (Ω ) → 1/2 (Γ), + : 1 (Ω ) → 1/2 (Γ) – операторы следов, − : 1 (Ω , ∆) → −1/2 (Γ), + : 1 (Ω , ∆) → −1/2 (Γ) – операторы нормаль+ных производных [40], 0 = +0 , 1 = 0 ,2())︀⧸︁ 2= + () () ,(︀Im(() ) ≥ 0,−2 −1() = 2() ()() , – круговая частота колебаний, () > 0, () > 0, () ≥ 0.1Замечание 2.
Если Im( ) = 0, то ∈ (Ω , ∆).17Теорема 4. Задача 3 имеет не более одного решения.Доказательство теоремы можно найти в [6, 8].Введём обозначения(︀(︁)︀⟨︀⟩︀(︀)︀⟨︀⟩︀() () ≡ () (, ·), Γ , () () ≡ () (, ·), Γ ,(1.13))︁⟨︀⟩︀(︀)︀⧸︀*() () ≡ (·) () (, ·), Γ , () (, ) = exp () | − | (4 | − |).Решение задачи 3 будем искать в виде потенциалов () = ( ) (), ∈ Ω ,(︀(︀)︀(︀)︀)︀ () = + + 1 − * ++(),0(1.14) ∈ Ω ,где ∈ −1/2 (Γ) – неизвестная плотность, 0 ∈ 1/2 (Γ), 1 ∈ −1/2 (Γ), = / .Ядрами этих интегральных операторов являются фундаментальные решения уравнений Гельмгольца и их нормальные производные.
Поэтому, какпоказано в работе [6], они удовлетворяют тождествам (1.10) и условию излучения на бесконечности (1.12). Кроме того, выполнение для них первого изусловий сопряжения (1.11) автоматически влечёт за собой выполнение второго условия сопряжения. Подставляя потенциалы (1.14) в первое условие сопряжения, получаем слабо сингулярное интегральное уравнение Фредгольмапервого рода для определения неизвестной плотности :⟨, ⟩Γ = ⟨2 , ⟩Γ ∀ ∈ −1/2 (Γ),(1.15)где = (0.5 + * ) + (0.5 − ) , 2 = − (0.5 + * ) 0 + 1 .Задача 3 допускает ещё одну эквивалентную формулировку в виде интегрального уравнения Фредгольма первого рода со слабой особенностью в18ядре.
Будем искать её решение в виде () = ( ) (), ∈ Ω ,(︀ (︀)︀(︀)︀)︀ () = 1 − − − * 0 − −(),(1.16) ∈ Ω ,где ∈ −1/2 (Γ) – неизвестная плотность, 0 ∈ 1/2 (Γ), 1 ∈ −1/2 (Γ), = / .В этом случае задача 3 сводится к уравнению⟨, ⟩Γ = ⟨0 , ⟩Γ ∀ ∈ −1/2 (Γ),(1.17) = (0.5 − * ) + (0.5 + ) .Теорема 5. Пусть 0 ∈ 1/2 (Γ), 1 ∈ −1/2 (Γ), > 0 или не являетсясобственной частотой задачи∆ + 2 = 0, ∈ Ω ,− = 0.(1.18)Тогда уравнения (1.15) и (1.17) корректно разрешимы в классе плотностей ∈ −1/2 (Γ) и формулы (1.14) и (1.16) дают решение задачи 3.Доказательство теоремы в [8].Замечание 3. В тех случаях, когда нас больше интересует волновое полев области Ω , предпочтительнее использовать уравнение (1.15), котороедопускает расчёт отражённого поля по более простой формуле.
По аналогичной причине, если нас интересует проходящее волновое поле в областиΩ , предпочтительно использовать уравнение (1.17).192Численный методПрименяемый метод численного решения приведен в работе [9] и представляет собой развитие методики, предложенной и впервые апробированнойв работе [7]. Кратко опишем общую схему метода.2.1Общая схема методаПостроим покрытие поверхности Γ системой {Γ }=1 окрестностей узловых точек ′ ∈ Γ, лежащих внутри сфер радиусов ℎ с центрами в ′ , иобозначим через { } подчинённое ему разбиение единицы. В качестве будем использовать функции () = ′ ()(︃ ∑︁)︃−1′ ()′ () =,{︃ (︀=1⧸︀ 2 )︀321 − ℎ , < ℎ ,0, ≥ ℎ ,где = | − ′ |.Приближённые решения уравнений (1.9), (1.15) и (1.17) будем искать насетке { },1 =¯∫︁ Γ,(2.1)Γгде ¯ определяется интегралом∫︁¯ = Γ,(2.2)Γузлами которой являются центры тяжестей функций .
Будем предполагать, что для всех = 1, 2, . . . , выполняются неравенства0 < ℎ′ ≤ | − | , ̸= , = 1, 2, . . . , ,ℎ′ ≤ ≤ ℎ ≤ ℎ, ℎ/ℎ′ ≤ 0 < ∞,2где ℎ, ℎ′ – положительные числа, зависящие от , 0 не зависит от , =0.5¯ .Вместо заданной на Γ неизвестной функции будем искать обобщённую20функцию Γ , действующую по правилу(Γ , )R3 = ⟨, ⟩Γ∀ ∈ 1 (R3 ).Эту функцию будем приближать выражением () Γ () ≈∑︁(︀⧸︀ )︀ ¯ (), () = (2 )−3/2 exp −( − )2 2 , ∈ R3 ,=1где – неизвестные коэффициенты.В работе [9] показано, что для любой функции и ∈ 1 (Γ) справедливоравенство⟨, ⟩Γ =(︃ ∑︁)︃=12.1.1+ (ℎ2 ).
¯ , R3Численное решение задач Дирихле для уравнения ГельмгольцаПриближение плотности потенциала простого слоя объёмной плотностьюпозволяет получать простые формулы для аппроксимации интегральногооператора (1.7). Теоретическое обоснование изложенного подхода имеется вработе [7].Выберем в качестве в обеих частях тождеств (1.9) функции , =1, 2, . . .
, , и проинтегрируем по Γ. Тогда, учитывая сказанное выше, получаем [9]∫︁ ∫︁⟨, ⟩Γ ≈ ¯ ¯ ( − ) () () =∑︁ ,=1R3 R3 = 1, 2, ..., . =(︀ 2 )︀¯ ¯exp −( (1 ) − (2 )),821 ̸= ,(2.3)¯2=4(︂)︂2+ ( ) , 1/2 (︀ 2)︀1/2= | − | , = + 2, = / ,2 = −1, = 0.5 ,∫︁∞(︀)︀(︀ )︀2 () = − 1/2 exp − 2exp 2 .1 = − ,2 = + ,Точность формул (2.3) может быть повышена за счёт более полного учётазависимости от и добавления внеинтегрального слагаемого, отличного отнуля только при = .
Следуя работе [9], будем аппроксимировать левуючасть (2.3) выражением⟨, ⟩Γ ≈∑︁ , = 1, 2, ..., .(2.4)=1(︀)︀−1 = 1 − 2 + 0.54,⧸︁ )︁¯ (︁21 − 2 3 . = ( + ) , =2 1/2Решая СЛАУ = ,∑︁ = ¯ , = 1, 2, ..., ,(2.5)=1где1 =¯∫︁ Γ,Γнайдём приближённые значения коэффициентов . После этого решения задач 1 и 2 могут быть найдены по формулам() () = ∫︁∑︁(, ) ()Γ ,=1 Γ22 ∈ Ω() ,в «ближней» зоне, и по формулам() () =∑︁ ∈ Ω() ,(, ) ¯ ,=1в «дальней» зоне.2.1.2Численное решение задачи дифракцииИнтегральные операторы из (1.13) на Γ аппроксимируются выражениями[8, 9]⟨︀() , ⟩︀Γ≈∑︁() , = 1, 2, ..., ,(2.6)=1(︀)︀≡() ,()(︀)︀ (︀ (︀ − )︀(︀ + )︀)︀¯ ¯2exp 2 − − , ̸= ,8(︃√ (︂)︂)︃2 32(︀)︀2 ¯¯ + 2 −, () = exp 2 ( ) +4¯ 3 () =22±= + 2 , = 0.5 , = ± ,2 = −1, = / ,(︀)︀2 () = − √ exp − 2∫︁∞(︀ )︀exp 2 ,∑︁⟨︀⟩︀ + () , Γ ≈() , = 1, 2, ..., , = ±0.5,(2.7)=1⟨ +()=()*(), ⟩≈Γ∑︁() , = 1, 2, ..., ,(2.8)=1(︀)︀ (︀)︀exp−1¯ ¯ ,()()24= (− || + + Gs ) ¯ , =3∑︁=123 ̸= ,∑︁ ¯ − , Gs = −,24̸= – компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Γ вточке .Операторы в левых частях уравнений (1.15) и (1.17) аппроксимируем композициями операторов (2.6)–(2.8):⟨, ⟩Γ ≈∑︁ ,⟨, ⟩Γ ≈ −=1∑︁ , = 1, 2, ..., , (2.9)=1 = − ,а правые части уравнений (1.15) и (1.17) – по формулам⟨2 , ⟩Γ ≈∑︁( 1 − 0 ),⟨0 , ⟩Γ = ¯ 0 ,(2.10)=1 = ⟨ , /¯ ⟩Γ , = 0, 1, = 1, 2, ..., .Решая соответствующие СЛАУ, находим приближённые значения плотностейинтегральных уравнений в точках дискретизации.
После этого приближённоерешение задачи дифракции с помощью интегральных представлений можетбыть вычислено в любой точке пространства.2.2Мозаично-скелетонный методВведём понятия мозаичного разбиения и мозаичного ранга [15].Пусть – некоторая подматрица (блок) матрицы × , а Γ( ) – матрица размера × , полученная из путём дополнения до нулями.Определение 1. Конечное множество блоков { } будем называть покрытием , если=∑︁Γ( ),и мозаичным разбиением , если, дополнительно,⋂︀ = ∅.Определение 2. Мозаичным рангом матрицы ∈ C× , соответствую-24щим покрытию { }, будем называть числоmr() =∑︁mem( )/( + ),(2.11)где сумма берётся по всем блокам покрытия ∈ C × , и mem ( ) =min{ , ( + ) rank ( )}.Отметим, что мозаичный ранг характеризует как вычислительную сложность матрично-векторного умножения, так и объём памяти, необходимыйдля хранения покрытия матрицы .Определение 3.
Будем называть скелетоном матрицу вида * , где и – вектор-столбцы, * обозначает вектор-строку, эрмитово-сопряжённуюк вектору .Из определения 3 следует, что rank ( * ) = 1.Мозаично-скелетонный метод состоит из трёх этапов: построение дерева кластеров, создание списка блоков и нахождение малоранговой аппроксимации [16, 18]. Будем считать, что исходная задача сформулирована в видеинтегрального уравнения на границе ограниченной трёхмерной области Ωи проведена его дискретизация, порождающая СЛАУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
