Мещанюк (1222518), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При для семейства линий тока получается уравнение

При допущении выражение (2.43) принимает вид:

что представляет собой уравнение линий тока для призматического водоема.

Связь между длиной и периодом волны получается в виде:

Легко заметить, что при выполнении условия

волна с периодом неустойчива. Этот фактор, по-видимому, можно использовать при конструировании волногасящих сооружений.

2.2 Методы решения одномерной задачи поверхностных гравитационных волн в водохранилище

2.2.1 Конечно-разностный метод

Решим численным методом начально-краевую задачу поверхностных гравитационных волн в случае одномерного уравнения (1.29) – (1.31).

На плоскости введем равномерную сетку , где – шаги сетки по направлениям и соответственно. Воспользуемся приемом сдвига сетки на полшага [10]. Именно, пусть , , , . Здесь – рассматриваемый период времени (измеряется в секундах); – количество узлов сетки для переменных соответственно.

Примем за совокупность узлов сетки, то есть множество , положим , .

Для любого узла напишем уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.3.3)

где , , .

По [11] конечно-разностное уравнение (2.47) аппроксимирует исходное уравнение (1.29) с порядком .

Запишем уравнения, аппроксимирующие начальные условия (1.30)–(1.31).

При этом значение функции в расчетной точке будем заменять средним арифметическим. Таким образом, для точки имеем

Теперь необходимо записать граничные условия для конечно-разностной схемы в точках и , соответственно,

где .

Приведенная схема (2.47) – (2.49) является явной; устойчивость соблюдается при выполнении условия, которое представляет собой ограничение на шаги пространственной и временной координате:

2.2.2 Аналитический метод решения одномерной задачи

В представленной работе начально-краевая задача решена для частного задания функций и . Ширина водохранилище аппроксимируется экспоненциальной функцией вида

Скорость вторжения представим в виде функции Хевисайда

Вместо независимой переменной введем новую переменную с помощью следующей подстановки

При такой подстановке начально-краевая задача (1.29) – (1.31) запишется следующим образом

где – значение длины водохранилища в системе координат .

В уравнении (2.53) коэффициент при производной первого порядка приравниваем к постоянной величине:

В результате (2.50) из дифференциального уравнения (2.56) получается следующая зависимость для глубины

Постоянные интегрирования можно подобрать так, чтобы выполнялись следующие условия на границах водохранилища

в результате получим

Итак, при задании ширины и глубины водоема в виде функции, представленных в выражениях (2.50) и (2.59), коэффициент дифференциального уравнения (2.53) становится постоянным и начально-краевая задача решается эффективно, уравнение волновой поверхности получается в явном виде. При переходе к пределу при ширина водоема становится постоянной, а глубина – параболической функцией второго порядка

Считая в уравнении (2.53) коэффициент при первой производной постоянным, получим

где

Начально-краевая задача (2.54), (2.55), (2.61) имеет точное аналитическое значение, а именно, применим следующую подстановку:

краевая задача для функции запишется следующим образом

Введем функцию

дифференциальный оператор

Применив к обоим частям равенства (2.67) оператор , получим

Начальные и граничные условия (2.65) и (2.66) относительно функции запишется следующим образом:

Заменим подстановку

Начально-краевая задача (2.69)–(2.71) относительно функции имеет вид:

Первая часть выражения (2.73) обозначим через , где

Тогда дифференциальное уравнение (2.73) запишется следующим образом

Представим неизвестную функцию в виде следующего тригонометрического ряда

Функцию разложим в ряд Фурье по синусам в интервале (

где

Легко заметить, что граничные условия (2.75) автоматически удовлетворяются. Для нахождения функции подставим выражения (2.79) и (2.78) в (2.77) и (2.74). В результате получим

При этом принимается, что . Решение дифференциального уравнения (2.80) с начальными условиями (2.81) имеет следующий вид:

Подставляя полученное выражение в (2.78), а потом в (2.72) получим

При известной функции выражение (2.67) можно рассмотреть как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции . Его общее решение имеет следующий вид

Функция определяется из выражения (2.63)

Можно доказать, что функция . Тогда получим

Если скорость вторжения представим в виде функции Хевисайда (2.51), интеграл упрощается, и в результате его вычисления получим

При соответственно получим:

Уравнение волновой поверхности определяется из следующей зависимости: при

при

Тем самым получили выражения, с помощью которых, исходя из геометрических параметров водоема (горного водохранилища), можем определить амплитуду образованной волны при вторжение в него селелавинообразного потока или обвально-оползневого массива.

2.3 Моделирование генерации поверхностных волн движением оползня

2.3.1 Схема модельной области и механизмы движения оползня

Генерация волн движением оползня с помощью различных математических моделей является актуальной задачей. Следует отметить работы по исследованию различных моделей движение оползней и работы по совместному лабораторному и вычислительному моделированию рассматриваемых волновых процессов [12, 13]. Эти исследования показали, что самые общие характеристики изучаемых волновых режимов могут быть определены с помощью простейших моделей теории мелкой воды [14]. Это касается волн, распространяющихся в сторону берега, противоположную направлению движения оползня. Однако, волны распространяющиеся в открытую зону, попутном оползню направлении, требуют для своего воспроизведения учета вертикальных процессов. Этот факт подтверждается близостью результатов, полученных с помощью полной гидродинамической моделью, и экспериментальных данных.

Характеристики

Список файлов ВКР