Мещанюк (1222518), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1.1 Описание модели

В узких ущельях горных рек созданы искусственные глубокие водохранилища (270–300 м) узко-каньонного типа. В них часто вторгаются обвально-оползневые массивы горной породы и потоки селевого или лавинного характера, провоцирующие крупные поверхностные гравитационные волны, приводящие к стихийным бедствия и экологическим бедствиям в виде разрушений, человеческих жертв и загрязнений окружающей водохранилище территории веществами, годами накопленными в хвостохранилищах горно-обогатительных предприятий. В связи с этим проектировщики и эксплуатационные службы обязаны оценивать потенциально возможное повышение уровня воды у плотины и объем перелитой воды через створ плотины, а также зону и степень затопления и загрязнения местности в нижнем бьефе в зависимости от геометрических, кинематических и динамических характеристик потенциально возможных обвально-оползневых масс, селе и лавинообразных потоков. Таким путем можно спрогнозировать, а затем предотвратить либо уменьшить те последствия и ущерб, которые может вызвать образование разрушительных волн. В связи с тем этим стало актуальным исследование вопросов, связанных с волновыми движениями воды в узких глубоких непризматических водоемах.

Составим математическую модель волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище. Модель представляет начально-краевую задачу волновой гидродинамики и гидравлики, в которой наиболее адекватно отражены гидродинамические и гидравлические процессы, имеющие место при вышеприведенных стихийных явлениях, а также геометрическая конфигурация водохранилища. В основном дифференциальном уравнении начально-краевой задачи в качестве переменных коэффициентов содержится ширина водохранилища, зависящая от продольной и вертикальной координат. Данная математическая модель позволяет решить широкий класс прикладных задач, связанных с волновым движением идеальной несжимаемой жидкости в узких глубоких непризматических водохранилищах.

1.2 Уравнение волнового движения идеальной жидкости в узких непризматических водоемах

Предположим, что в прямоугольной системе координат часть пространства, ограниченная условиями представляет узкое глубокое непризматическое водохранилище, расположенное в горном районе. Ось направлена вертикально вверх, ось направлена в продольном, а ось – в поперечном направлении водохранилища, – длина, – ширина, – глубина водохранилища. Как правило, в горных условиях водохранилища строятся в узких глубоких каньонах ущелий рек. В связи с этим в дальнейшем будем считать, что ширина водохранилища намного меньше, чем ее длина. Кроме этого будем считать, что градиенты в поперечном направлении поля скоростей и гидродинамического давления намного меньше, чем градиенты в продольном и вертикальном направлении водохранилища. Ширина схематизированного водохранилища зависит от продольной и вертикальной координат , т.е. рассматривается водохранилище с непризматической конфигурацией как в продольном, так и в вертикальном направлении. На рисунках 1.1, 1.2 представлен схематический чертеж узкого глубокого непризматического водоема (водохранилища).

Рисунок 1.1 – Расчетная схема поставленной задачи

0

B₁(x,z)

Y

Z

Рисунок 1.2 – Плановая (а) и глубинная (б) конфигурация водохранилища

В связи с этим трехмерные дифференциальные уравнения гидродинамики интегрально усредняют по площади живого сечения воды, в результате получают одномерные дифференциальные уравнения движения воды в естественных водоемах. В связи с тем, что водохранилища в горных местностях являются глубокими и узкими, то, в отличие от теоретической гидравлики, трехмерные уравнения гидродинамики интегрально усредняем только по поперечной координате , а вертикальную координату оставляем без изменений.

В гидродинамике волнового движения жидкости дифференциальные уравнения используют в «отфильтрованном» виде, т.е. пренебрегают нелинейные члены как малые величины по сравнению с линейными членами. В проекциях на оси , и эта система в «отфильтрованном» виде запишется так [3]:

где – координаты вектора скорости, – гидродинамическое давление, – ускорение силы тяжести, – плотность жидкости.

В связи с тем, что рассматривается движение жидкости в узком водоеме, ширина которого – плавно изменяющаяся функция переменных и , можно принять следующие упрощающие предположения:

– поперечная составляющая скорости удовлетворяет условиям ,

– поперечная неоднородность движения жидкости в рассматриваемом водоеме пренебрежимо мала по сравнению с продольной и вертикальной неоднородностью движения, т.е.

– из–за наличия боковой приточности к водоему с его боковых бортов величина сравнима с другими градиентными величинами

Проинтегрируем систему (1.1) – (1.4) по переменной в пределах (

С учетом вышеприведенных допущений и известной формулы дифференцирования под знаком интеграла

выражения (1.5) – (1.8) преобразуются следующим образом:

В результате такого осреднения, называемого методом Буссинеска, уравнения (1.1) – (1.4) примут вид:

где приняты следующие обозначения:

Величины , , представляют собой средние по ширине водоема значения , , соответственно, – интенсивность боковой приточности. и – нормальные составляющие вектора скорости к поверхностям и соответственно.

Выражения

представляет собой составляющие силы реакции боковых граней на осях и соответственно (реакция боковых стенок сосуда).

На основании предположения два эти составляющие приближенно равны следующим выражениям:

Система (1.9) – (1.10) в векторной форме запишется так:

Для потенциального движения

Вводя потенциал средней по ширине скорости из выражения (1.12) получаем интеграл Коши в линейном приближении

Компоненты средней по ширине скорости выражаются через потенциал в виде

Пусть – уравнение осредненной по ширине волновой поверхности. Тогда при отсутствии внешнего давления на свободную поверхность выражение (1.14) для принимает вид

куда величина входит неявно. Однако, как это принято в линейной теории волн Коши-Пуассона (где , т.е. амплитуда волны мала по сравнению с длиной волны), выражение (1.16) можно записать следующим образом:

В линейном приближении имеет место равенство

Дифференцируя выражение (1.17) по и подставляя в него (1.18), получаем

С учетом (1.15) уравнение (1.13) примет следующий вид

или в развернутом виде

В классической теории волн Коши-Пуассона потенциал скорости удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа [4, 5, 6, 7].Здесь дополнительно появляются три члена, из которых два последних члена левой части связаны непризматическим очертанием водоема (водохранилища). Правая часть связана с боковой приточностью или со скоростью вторжения в водоем обвально-оползневого массива или потока селевого либо лавинного характера.

При выводе дифференциального уравнения (1.21) используются упрощающие допущения 1 и 2. Аналогичные допущения принимаются для вывода дифференциальных уравнений одномерного неустановившегося движения воды в непризматическом русле (плавно изменяющееся движение воды). В отличие от метода Буссинеска, гидродинамические уравнения Эйлера усредняются не полному живому сечению потока, а лишь по ширине водоема. Дифференциальное уравнение (1.21) дает возможность решить широкий круг задач, связанных с волновым движением идеальной несжимаемой жидкости в узких непризматических водоемах.

Как ранее было положено, что – интенсивность боковой приточности. Другими словами можно сказать, что является скоростью вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения в водохранилище селелавинообразного потока.

Через единичную функцию Хевисайда интенсивность аналитически выражается следующим образом:

где – ширина по фронту обвально-оползневого массива, – абсцисса ее центра, – аппликата ее центра, – мощность обвально-оползневого массива либо глубина селелавинообразного потока, – продолжительность времени вторжения.

Характеристики

Список файлов ВКР