Мещанюк (1222518), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Средняя скорость вторжения вычисляется так:

где – объем вторгшегося массива либо селелавинообразного потока.

В соответствии с физико-механической сущностью задачи, для дифференциального уравнения (1.21) ставятся следующие начальные и граничные условия [4, 6, 7]:

Дифференциальное уравнение (1.21), начальные условия (1.24), граничные условия (1.25) и (1.26) в своей совокупности представляют начально-краевую задачу математической физики и математически моделируют волновое движение воды в узко-глубоком непризматическом водохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в водохранилище обвально-оползневого массива либо селелавинообразного потока.

Коэффициенты дифференциального уравнения (1.21) являются переменными, и это создает большие математические трудности при попытке аналитического решения поставленной начально-краевой задачи.

1.3 Уравнение одномерной модели поверхностных гравитационных волн в горном водохранилище

Рассмотрим одномерную модель поверхностных гравитационных в узком непризматическом водоеме (в горном водохранилище).

В прямоугольной системе координат часть пространства, ограниченная условиями и заполненная водой, представляет водоем (горное водохранилище) непризматическое очертания в плане и с переменной в продольном направлении глубиной (рисунок 1.3). В створе расположена плотина, представляет переменную ширину водохранилища (рисунок 1.4).

Рисунок 1.3 – Схема горного водохранилища

Рисунок 1.4 – Ширина водохранилища

Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что с берега в водохранилище вторгся обвально-оползневый массив или поток селевого либо лавинного характера. В приближении линейной теории мелкой воды волновое движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где – средняя по ширине каньона скорость движения воды, – ширина каньона, – глубина воды в водохранилище при невозмущенном состоянии, – возмущение глубины в результате вторжения.

Введем функцию , подобную потенциалу скорости, следующим образом

Дифференциальное уравнение (1.27) относительно функции превращается в тождество, а уравнение (1.28) принимает следующий вид:

Начальные и граничные условия для рассматриваемой задачи запишутся следующим образом:

где – скорость вторжения.

Таким образом, модель представляет начально-краевую задачу (1.29) – (1.31) для дифференциальных уравнений теории «мелкой воды».

2 Методы решения задачи волнового движения воды

2.1 Численное решение начально-краевой задачи волнового движения воды в водохранилище

Волновое движение воды в узких глубоких непризматических водоемах (водохранилищах) вызванное вторжением обвально-оползневых массивов либо лавинообразных потоков описывается дифференциальным уравнением (1.21) и начальными и граничными условиями (1.24) – (1.26).

Приступив к решению начально-краевой задачи, вначале принимаются некоторые предположения, упрощающие путь ее решения. Так, например, будем полагать, что ширина водохранилища аппроксимируется следующей экспоненциальной функцией

Кроме этого в дальнейшем будем полагать, что

В результате применения подстановки

Начально-краевая задача (1.21) – (1.26), (2.1) – (2.4) относительно функции принимает следующий вид:

Введем функцию и дифференциальные операторы , ,

Применив линейные дифференциальные операторы , , последовательно к обеим частям (2.7) и учитывая (2.5) – (2.6) относительно введенной функции , получим:

Для решения начально-краевой задачи (2.11) – (2.13) последовательно применяются интегральное преобразование Лапласа по времени и разложение в ряды Фурье по переменной в интервале

Для функции получается обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя граничными условиями

где

В результате решения краевой задачи (2.16) – (2.17) определяется функция , .

Далее обратным ходом сначала определяется функция из (2.15), а затем ее оригинал . При этом для определения оригинала достаточно таблицы операционного исчисления. После определения из выражения (2.7), как из обыкновенного дифференциального уравнения, определяется функция . Наконец, при известной функции из выражения (2.4) определится потенциал скорости и, следовательно, поставленная начально-краевая задача решена.

Уравнение волновой поверхности получается дифференцированием потенциала по времени

Окончательно для уравнения свободной волновой поверхности получаются следующие выражения:

где

Полученные расчетные выражения (2.19) – (2.24) легко реализуется на ЭВМ. Результаты численных экспериментов позволяют определить амплитуды образованных волн в узком глубоком водоеме (водохранилище) в зависимости от геометрических габаритов водоема и от кинематических и динамических характеристик вторгшегося селелавинообразного потока либо обвально-оползневого массива.

2.1.1 Волновое движение воды в отсутствии вторжения обвально-оползневого массива или селелавинообразного потока

Рассмотрим частный случай движения поверхностных гравитационных волн, когда отсутствует интенсивность боковой приточности , т.е. движение волн не будет вызвано вторжением обвально-оползневого массива. Подставим уравнение (2.1) в уравнение (1.21), при получим

Граничные условия на свободной поверхности и на дне имеют следующие вид:

Решение уравнения (2.25) можно представить так

Подставим (2.28) в выражения (2.25) – (2.27), получим

Частное решение дифференциального уравнения (2.29) представим в следующем виде:

Подставим выражение (2.32) в (2.29) – (2.31), получим

Далее имеем

где

Подставим выражение (2.36) в граничные условия (2.34) и (2.35), получим

Подставим значения и из (2.37) и (2.38) в (2.39), найдем фазовую скорость

где длина волны

При и из выражения (2.40) получается общеизвестная формула для фазовой скорости в призматическом бассейне [4, 7, 8, 9].

При выражения (2.41) упрощается и принимает вид

Анализ этой формулы показывает, что параметр непризматичности, в продольном направлении незначительно влияет на фазовую скорость волны, а параметр , характеризующий переменность ширины водоема в вертикальном направлении, – существенно.

Характеристики

Список файлов ВКР