Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. орбита вырождается в отрезок прямой, соединяющей точку, где тело «замерло» в неподвижности, и центр притяжения. Этотрезультат нам ещё пригодится.А чтобы, наконец, сесть на Луну, надо снизить скорость до 0,07 км/c.53. В первом приближении орбита Марса в N = 1,5 раза больше орбитыЗемли. После выхода из поля тяготения Земли ракета по условию неподвижна относительно Земли. Относительно Солнца, в чьём поле ракета теперьдолжна лететь, она имеет круговую скорость 29,8 км/c.
Теперь надо перейтина орбиту с n = (N + 1)/2. Дополнительная скорость — 2,84 км/c.Однако вспомним, что орбита Марса заметноотличается от окружности. Минимальное расстояние до Марса — в великом противостоянии — всего 56 млн км. И если мы прицелимся в перигелийМарса, то понадобится только 2,26 км/c дополнительной скорости.54. В момент изменения направления скоростиэнергия ракеты не меняется. Значит, не должнаизмениться большая ось орбиты, т.
е. радиус такой круговой орбиты равен большой полуоси начальной орбиты, в нашем случае — около 43 тыс.км.Подчеркнём, что изменение скорости будетзначительным. Скорость — вектор. Посмотрим наРис. 27рис. 27. Очевидно, что менять скорость придётся вконце малой оси. Для достаточно вытянутой траектории — эллипса с большим эксцентриситетом — скорость надо повернутьпочти на 90◦ . Если ракета падает из неподвижного состояния,то угол, ко√нечно, в точности прямой.
Изменение скорости тогда в 2 раз больше само́йскорости в этой точке.55. Круговая скорость у поверхности Луны v0 = 1,68√км/с. На удвоенном расстоянии от поверхности √круговая скорость в 2 раз меньше:v1 = 1,19 км/с, а параболическая (в 2 раз больше круговой) как раз равнаv0 . Значит, нам надо набрать скорость V = 0,49 км/с.Пересядем в систему «корабль». Перед началом маневра в этой системекорабль по определению неподвижен.
После срабатывания двигателя масса94корабля изменяется на величину m = M0 − M . Газы массы m вылетают соскоростью u = 4 км/с (как мы договорились раньше), а «остаток» должениметь скорость V . Значит, um = V (M − m), откуда m = M V /(u + V ). В нашем случае масса израсходованного топлива составит 10,9% массы корабля.56. Мы уже неоднократно переходили с орбиты на орбиту. Поэтому приведём только числовые результаты для проверки. Необходимая скорость —1,61 км/c, изменение скорости — 0,42 км/с, расход топлива — 9,5%.Заметим, что минимальная скорость,vпри которой можно достигнуть места пересадки, определяется законом сохранения6энергии и равна 1,60 км/c. Но в этом слуΔvчае она должна быть направлена по ради-^усу точно от центра Луны, чтобы моментvminимпульса был равен нулю. Тогда на максимальном удалении от Луны скорость может обратиться в нуль.
Но вектор изменения скорости при этом получается вычитанием двух взаимно перпендикулярных скоРис. 28ростей (рис. 28), а его модуль равен 2 км/c.Расход топлива оказывается больше того,который необходим для ухода на бесконечность.57. Теперь можно все сравнивать с приземной орбитой. Расстояние (отЗемли) равно 54,3r0 , скорость v = 0,87 км/с. Находим, что большая ось орбиты будет равна 80,8r0 , а нам нужно иметь 55,3r0 .
Расчёт даёт, что припереходе с орбиты на орбиту сразу в точке пересадки надо израсходоватьмассу топлива, равную 14,3% имеющейся массы корабля, т. е. 12,9% той массы, что корабль имел на окололунной орбите. Всего, значит, топливо должнобыло составлять 22,4% массы корабля.Остаётся одно сомнение: почему мы поспешили перейти на посадочнуюорбиту? Может быть, стоило это сделать, например, в перигее орбиты, накоторую мы попали? Ведь в перигее легче изменить энергию. Но нам понадобятся разные изменения энергии!В общем случае сравнивать переход на посадочную орбиту в перигееи апогее утомительно.
Рассмотрим предельный случай. Пусть корабль движется по очень вытянутой орбите. Тогда в перигее его скорость мало отличается от параболической для этого расстояния. Нам надо попасть на орбиту,ось которой меньше расстояния до Земли, т. е. скорость должна стать меньше круговой для этого же расстояния.√ Значит, изменение скорости должносоставить, как минимум, примерно 2 − 1 ≈ 0,4 круговой (опять же, конечно, для перигейного расстояния). А на большом расстоянии сама скоростьгораздо меньше перигейной, уменьшать же её до нуля не придётся. Ясно,что при этом топлива потребуется совсем немного.
При любых конкретныхпараметрах орбиты расчёт подтвердит этот вывод.9558. Скорость кометы Галлея вблизи орбиты Земли примерно равна параболической, т. е. 42,1 км/с. Можно её вычислить точнее (вспомним задачи31 и 33), но вряд ли это стоит делать, так как мы довольно приблизительноописываем встречу «Веги» с кометой.vк Kv⊥vвСолнце«Вега»dvпtЗемляРис. 29Как эта скорость направлена? Тут нам поможет второй закон Кеплера.Посмотрим иа рис. 29. Если в перигелии заметаемая радиусом-вектором площадь определяется всей скоростью кометы vп , то в точке встречи — толькосоставляющей v⊥ . Скорость в перигелии мы знаем — это округлённо 55 км/c.В точке встречи vк = 42 км/с.
Второй закон Кеплера даёт возможность вычислить cos ϕ = rп vп /R0 vк = 0,77. По теореме косинусов (не забудем, чтоугол π − ϕ между vк и vв тупой) получаем относительную скорость «Веги»и кометы — 68 км/c. В действительности она была ещё больше — около78 км/c.59. Конечная масса должна составлять одну двадцатичетырехмиллионную долю начальной. Следовательно, чтобы развернуть в погоню за кометой 1 грамм «Веги» (корпус аппарата, защита, приборы и т. п.), необходимоизрасходовать 24 тонны топлива!60.
Оторвавшись от Земли, корабль должен иметь небольшую скоростьотносительно Солнца. Мы почти не ошибёмся, если примем, что скоростьотносительно Земли равна 29,8 км/с. Тогда получим, что v4к = 31,8 км/с.Согласно формуле Циолковского на полезную нагрузку (плюс корпус, бакии т. д.) придётся меньше 0,04% стартовой массы. В ракете, уже вылетевшейиз сферы притяжения Земли с нулевой скоростью (и со скоростью 29,8 км/cотносительно Солнца), на полезную нагрузку придётся побольше — почти0,06%.
Не густо. . .61. Мы движемся по круговой орбите с длиной оси 2R0 , а хотим попастьна орбиту с длиной оси 6,2R0 , поскольку от Солнца до Юпитера 5,2 а. е.96Такие расчёты мы уже проводили. Нужна прибавка скорости 8,8 км/c. Следовательно, 88,9% стартовой массы должно составлять горючее.62.
Ответ однозначен — 5,65 км/c. Действительно, все планеты обращаются вокруг Солнца в одном направлении, поэтому геометрия нашего полётатакая, как на рис. 30. Скорость Юпитера — 13,07 км/c — найдём с помощьютретьего закона Кеплера, скорость корабля — 7,42 км/c — даёт второй законКеплера.# qЗемля`"!КорабльUfЮпитерРис. 3063.
Максимум скорости мы можем получить при сонаправленных скоростях корабляи Юпитера — это 18,72 км/c. А параболическая скорость√корабля в 2 раз больше скорости Юпитера — 18,48 км/c! Топлива не надо.64. Скорость кометы вблизи Юпитера (параболическая) равна18,48 км/c. Она перпендикулярна скорости Юпитера, значит их относительная скорость составит 22,64 км/c.
С этой же скоростью относительноЮпитера комета уйдёт из его сферы притяжения. Но если комета развернётся так, что скорости вычтутся, то относительно Солнца её скоростьстанет всего 9,57 км/с. Это и есть скорость в афелии. Привычный уже намрасчёт даёт расстояние в перигелии 2,18 а. е.65.
Из третьего закона Кеплера получаем большую полуось орбиты; онаравна 8,78 · 104 а. е. Затем методом, описанным в решении задачи 35, находим минимальное и максимальное расстояние до Солнца — соответственно1,56 · 104 и 1,60 · 105 а. е.66. Первыми сдвинутся с места кометы в точке B (рис. 31). РасстояниеOB по главному свойству эллипса равно большой полуоси орбиты Немезиды.Для кометы, падающей на Солнце беззаметной начальной скорости из точкиB, — это большая ось орбиты. Нетрудноподсчитать, что кометы из точки B попадут на Солнце через 4,6 млн лет (полРис. 31периода) после начала движения, т.
е.после прохождения Немезидой точки B97(назовем этот момент началом эры Немезиды — э. Н.). Кометы из точки B 0 ,естественно, запоздают на время пребывания Немезиды в банке, т. е. онипридут в 10,8 млн году э. Н.Но в 3,1 млн году э. Н. Немезида будет в перигелии — всего в 1,56·104 а. е.от Солнца, откуда кометам всего 0,35 млн лет лёту до Солнца. И эти кометы«откроют душ» в 3,45 млн году э. Н., т. е. на 1,15 млн лет раньше, чем кометы, прилетевшие из точки B.
В таком случае кометный «душ» продолжалсябы 7,35 млн лет.67. Пересядем в систему отсчёта, связанную с Солнцем (рис. 32). К Солнцу из бесконечности летят частицы со скоростью vпек = 20 км/с. Какиеиз них врежутся в Солнце, какие пролетят мимо? Запишем для перигелиявыражения энергии и момента импульса и приравняем их соответственнозначениям при бесконечном удалении от Солнца.
Плечо импульса — расстояние a — обычно называется прицельным параметром. Вычислим значениеприцельного параметра, при котором перигелий отстоит от Солнца на расстояние r . Все частицы внутри цилиндра радиуса a0 попадут на Солнце.Получаемp2a0 = r 1 + 2g r /vпек= 1,52 · 1010 м;m = ρπa20 H ≈ 7 · 1018 кг ≈ 3,5 · 10−12 M .Мы не подумали, что частицы могут притормозить Солнце, но ответ насуспокаивает на этот счёт.68. Частица, находящаяся на расстоянии rот центра, начинает падение на центр в полетяготения «внутренней» массы mr = 43 πr3 ρ.? #qПредположим, что она все время падает, неa0обгоняя внутренние частицы и не отставая от~внешних.
Тогда время её падения — полупе6~"! риод кеплеровой орбиты с осью r в поле телаСолнцемассы mr — равноpτ = 3π/32ρg ≈ 2 · 1025 лет.Рис. 32Как видим, r выпало из ответа, все частицы придут одновременно, так чтонаша модель, по-видимому, правильна. Так как плотность звезды гораздобольше плотности глобулы, а радиус соответственно меньше, разумным кажется и выбор полупериода в качестве времени падения.Конечно, со временем частицы начнут сталкиваться, нагреваться, возникнут другие силы, помимо гравитационных.
И все же оценка остаётсяразумной, так как увеличение плотности всего на один порядок величинызанимает более 80% всего времени. Кстати, читатель может сам оценить этувеличину, применив решение задачи 35 или 65 к эллипсу, выродившемуся вотрезок прямой (фокусы такого эллипса — на концах отрезка).69. Звезды обращаются вокруг общего центра масс (рис. 33). Ясно, чтоскорость напарницы V /10 = 40 км/с. Полная кинетическая энергия системы 11M V 2 /20. Потенциальная энергия, равная −GM · 10M /R, как мы98помним, по модулю должна быть в 2 раза больше кинетической.
Из этихсоображений получаем R = 7,5 · 109 м = 7,5 млн км.x=M1V1010R11V6MБm?fRРис. 3370. Пересядем в систему центра масс. Звезда Барнарда движется со скоростью 400 км/с, остаток — со скоростью 40 км/c в противоположную сторону. Скорость центра масс Vц. м. = 180 км/с, скорости звёзд в системе центра2масс Vц. — по 220 км/с. Из закона сохранения энергии 2M Vц2 /2−GM/R =2= 2M V∞ /2 найдём, что при бесконечном удалении скорости звёзд (относительно центра масс) V∞ = 175 км/с. Абсолютные скорости звёзд равнысоответственно 355 и 5 км/c.71. Пусть k — отношение массы остатка к массе Солнца (и спокойнойзвезды). Тогда скорость центра масс vц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
