Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 21
Текст из файла (страница 21)
м. = V (1−0,1k)/(1+0,1k), а скоростиспокойной звезды и остатка равны соответственноV11k10(1 + k)иV11.10(1 + k)Для того чтобы пара распалась, полная энергия должна быть равна нулю (или больше нуля):2GkMM V 2 121k(k + 1)·=.22100(1 + k)RРешая это уравнение, получаем k = 4,5 или k = −1. В первом случае пекулярные скорости звёзд (они, конечно, равны скорости центра масс) получаются по 40 км/c. Эффект пращи не сработал. Обратим внимание на то,что невыразительная цифра 4,5 скрывает замечательное по своей простотесоотношение: система распадается при потере половины суммарной массы.Действительно, до взрыва масса системы составляла 11M , а после взрываостаётся 5.5M .Второй случай лишён физического смысла.
Может показаться, что емусоответствует некая модель, хотя и весьма экзотическая. Предположим, чтов результате взрыва из массы 10M получилось 11M вещества и M антивещества. Конечно, никакого запаса энергии не хватит, но фантазироватьтак фантазировать. Но нет, и эта модель не проходит. Насчёт гравитационного взаимодействия вещества с антивеществом учёные ещё спорят; если право большинство, то вещество и антивещество должны притягиватьсядруг к другу, а мы при отрицательном значении одной из масс получим99положительную потенциальную энергию, что соответствует отталкиванию.И уж наверняка кинетическая энергия «антизвезды» должна быть положительной величиной. Хотя речь идёт об «антизвезде», все равно, чтобы еёразогнать, надо поработать.Вообще, взрывы звёзд — не такая уж редкость.
Но такие, какие рассчитывали мы в предыдущей задаче — от звезды массы 10M остаётся всеголишь M или чуть больше, — происходят в нашей Галактике один-два раза в тысячелетие. Один из таких взрывов сверхновой наблюдал и подробноописал Тихо Браге в 1572 году. Открытие сыграло дважды положительнуюроль в астрономии. Во-первых, как доказал Браге, новая вспыхнула на сфере неподвижных звёзд. Значит и там, вопреки Аристотелю, может что-томеняться.
Во-вторых, публикация Браге своих наблюдений резко поднялаего авторитет, что немало способствовало получению кредитов у императора на постройку знаменитого Ураниборга.Надо сказать, что китайцы и здесь опередили европейцев. Их астрономы подробно описали вспышку Сверхновой 1054 года — на этом месте сейчас видна знаменитая Крабовидная туманность. Кстати, как же все-такиправильно — новые или сверхновые? Астрономы употребляют приставку«сверх», не имея в виду, что эти звезды новее.
В данном случае смысл приставки — ещё большее изменение блеска, чем у «обычных» новых. С интересующей нас точки зрения отличия таковы: при взрыве новой улетает0,001% её массы со скоростью порядка 100 км/c; у сверхновой — значительная часть массы (десятая, половина, девять десятых — как повезет) разлетается со скоростью больше 1000 км/c. Так что звезда Барнарда, если мыугадали причину её высокой скорости, разогналась при взрыве сверхновой.72. На парус действует сила светового давленияF0 = 105 Па · 5 · 105 м2 = 50 Н.«Диана» движется в поле тяготения Солнца по орбите Земли. Следовательно, на неё, как и на Землю, действует сила притяженияf0 = v02 /R0 = 6 · 10−3 м/с2 в расчёте на единицу массы (6 · 10−3 Н/кг).
Еслимасса корабля равна m0 = M0 /f0 = 8,33 т, силы уравновешиваются и яхтабудет двигаться по прямой. Более 6 т может хватить на корабль и снасти.Как же все-таки узнать максимально допустимую массу?Очень важно заметить, что обе силы — гравитационная и сила световогодавления — убывают с изменением расстояния от Солнца по одному закону:f = f0 (R0 /R)2 , F = F0 (R0 /R)2 . Ситуация такова, как будто происходит движение в поле тяготения тела, масса которого меньше массы Солнца. Можноввести эффективную массу Солнца Mэфф = M −F0 R02 /Gm и рассчитыватьдвижение яхты в «исправленном» поле тяготения.В общем случае так и надо поступать.
Нашу конкретную задачу мыпопробуем решить несколько иначе. Во-первых, тело, движущееся по орбите Земли в поле «нормального» Солнца, имеет кинетическую энергиюmv02 /2 = mf0 R0 /2. Потенциальная энергия такого тела, как мы знаем,100U = −mf0 R0 .
Полю сил светового давления может быть поставлена в соответствие потенциальная энергия U 0 = +F0 R02 /R — это нетрудно понять,сравнивая выражения для гравитационной силы и силы светового давления. Для ухода на бесконечность нужна нулевая полная энергия. Получаемm1 = 2m0 = 16,66 т. Вполне приличная масса — больше 14,5 т, если несчитать парусов.73. Понятно, почему задано такое нелепое значение для массы, — этопросто 2m1 = 4m0 . Теперь нетрудно составить баланс энергий. Надо сравнить энергию «Дианы» с энергией тела той же массы в поле одних сил тяготения и, используя связь полных энергий с осями орбит, определить афелийяхты, который равен 3R0 (3 а.
е.).74. Пусть одна порция горючего сообщает кораблю скорость v. Послесжигания двух порций у корабля (на единицу массы) будет кинетическаяэнергия 2v 2 . Так как он при этом оказывается на круговой орбите, его потенциальная энергия будет −4v 2 , а полная — (−2v 2 ). При сжигании однойпорции горючего он получает кинетическую энергию v 2 /2, а потенциальнаяэнергия остаётся прежней. Итого получается −7v 2 /2. Нетрудно подсчитать,что корабль находился на расстоянии 7 радиусов звезды от её центра (точкакасания — периастр орбиты, так как по условию одной порции хватило вобрез).75.
Очевидно, надо найти точку орбиты, в которой после сжигания второй порции горючего полная энергия корабля становится равной нулю. Может быть, эту задачу судорожно решал командор? Вряд ли, на это оставалось время после первого маневра. Пусть второй пуск двигателя можноосуществить на расстоянии xR от центра звезды. Если на расстоянии 7Rпотенциальная энергия равна −4v 2 , то в точке x она равна −56v 2 /x. Такой же по модулю, но положительной должна быть кинетическая энергия.К точке старта корабль подлетает с полной энергией −7v 2 /2; выражениедля потенциальной энергии в этой точке мы уже записали.
Можно найтивыражение для скорости, с которой корабль подлетает к старту. А ещё онможет увеличить её на v. Получим уравнение!2r56 2827·v =v+1 .xx−1Отсюда x = 3,5. Таким образом, вторую порцию можно было пускать вход уже на расстоянии, большем 3,5 радиуса звезды от её центра, т. е. 2,5радиуса от поверхности.76. Расчёт приводит к трансцендентному уравнению, а в этот раз времени у командора было в обрез, как и горючего.Допустим, на первом этапе израсходована доля топлива k, т. е. скоростькорабля была kv; v, как мы помним, — скорость на круговой орбите радиуса n (радиус звезды примем за единицу). Полная энергия получаетсяk2 v 2 /(2 − v 2 ), а для круговой орбиты с длиной оси, равной 2n, энергия будет−v 2 /2.
Большая ось орбиты, следовательно, равна 2n/(2 − k2 ). По условию101эта величина есть n + 1. С другой стороны, скорость в периастре, равная,очевидно,kvn, должна на (1 − k)v отличаться от параболической скорости√v 2n. Исключая одну из неизвестных величин, приходим к трансцендентpному уравнению относительно другой, например: 2 + k − 2k2 = 2(2 − k2 ).Здесь, конечно, нетрудно освободиться от иррациональности.
Но тогдамы придём к полному кубическому уравнению.Получается, что корабль был на расстоянии 3,3 радиуса звезды от еёцентра; расходуя 0,682 имеющегося топлива, он как раз попадал на орбиту с периастром на поверхности звезды. А там оставшихся 31,8% топливадостаточно для перехода на параболическую орбиту. Вот это и считал командор.77. Перед сближением потенциальная энергия отсеков11+.U = −GM mR+lR−lПосле сближения, если оба отсека оказываются на расстоянии R от центраЗемли, получается U1 = −2GM m/R. Разность энергийU1 − U =2GM ml2·.R1 − (l/R)2Пренебрегая отличием знаменателя от единицы, для относительного изменения потенциальной энергии получаем|(U1 − U )/U | ≈ (l/R)2 .Оценим эквивалентное изменение расстояния от Земли:|ΔU/U | ≈ |ΔR/R|.Следовательно, ΔR ≈ l · Rl действительно гораздо меньше l.К сожалению, прирост полной энергии оказывается ещё гораздо меньшим.
Дело в том, что, раз возрос радиус, в силу закона сохранения момента количества движения должна уменьшиться скорость, т. е. кинетическаяэнергия. Прирост потенциальной энергии и уменьшение кинетической почтиравны. Несколько более подробный анализ показывает, что полная энергиявсе же возрастает. Качественно это понятно: работа против силы тяжести(она совершается над ближним отсеком) больше работы силы тяжести (наддальним отсеком), — сила больше.Однако количественно эффект очень мал. Все же энергия растёт, а значит, если времени достаточно, можно, сдвигая и раздвигая в подходящиемоменты времени отсеки, потихоньку уползти от планеты.
Ясно, что раздвигать отсеки желательно тогда, когда спутник вдоль орбиты: тогда работапротив силы тяжести равна нулю.При таком маневрировании, вернее, при расчёте его эффективности, возникает масса осложнений. Мы вынуждены учитывать различие в силах,102действующих на отсеки, — на этом основан гравилётный способ полёта.
Ноэто означает, что возникает момент сил тяжести, спутник приходит во вращение. . . Поэтому не будем углубляться.78. Чтобы «законопатить» дырку в Земле, надо добавить шар плотности ρ − ρ0 = ρэфф . Значит, силу притяжения при наличии полости можнорассматривать как сумму силы притяжения сплошной Земли и силы отталкивания — в действительности нехватку силы притяжения. Можно тоже самое сказать другими словами: добавим шар радиуса r с плотностью,равной разности плотностей породы и воды, но припишем этой плотностиотрицательное значение.
Тогда потенциал в нижней точке впадины запишется следующим образом: −GM/(r0 − h) + G 34 πr3 ρэфф /(r + H). Полостьгораздо меньше Земли в целом, её влияние вдалеке ничтожно мало. Запишем потенциал там, где влиянием полости можно пренебречь: −GM/r0 . Обеточки находятся на поверхности океана. Приравнивая их потенциалы, получаем 34 πr3 ρэфф /(r + H) = M h/r0 (r0 − h) ≈ M h/r02 . Если предположить, чторадиус полости настолько велик, что в знаменателе левой части H можнопренебречь, получаем 21 км. Более точное значение — 23,6 км.79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
