Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Значит, в Самарканде Солнце не доходитдо зенита 16◦ , в Булгаре — 32◦ — ровно вдвое больше. Можно, конечно,вычислить длины минимальных теней и сравнить их. Но на вопрос задачиможно ответить, не заглядывая в таблицу тангенсов. Достаточно вспомнитьформулу tg 2α = 2 tg α/(1 − tg 2α), и станет понятно, что tg 2α больше 2 tg α.Значит, тридцатиметровая обсерватория отбрасывала меньшую тень, чемпятнадцатиметровый минарет.11.
При движении к Юпитеру Земля получает сигнал об очередном затмении Ио раньше на время t0 vЗ /c, где c — скорость света, а t0 — периодобращения Ио вокруг Юпитера. При движении от Юпитера сигнал на такое же время запаздывает. Значит, действительное время между затмениями равно t0 = (t1 + t2 )/2, а кроме того, t2 − t1 = (t2 + t1 )v3 /c.
В результатеполучаем с = v3 (t2 + t1 )/(t2 − t1 ) = 3,04 · 105 км/с.Погрешность в 1% естественна — примерно с такой точностью мы «замерили» разность времён между затмениями.12. RЛ = (g0 r02 TЛ2 /4π)1/3 = 383 тыс. км (точное значение —384,4 тыс. км).13. Примерно 275 м/с3 .14. Приравнивая для Ио центростремительную силу и силу притяженияЮпитером, получаем MЮ = 4π 2 R3 /(GT 2 ), где G = 6,67 · 10−11 H · м2 /кг2 —гравитационная постоянная. Получаем MЮ = 1,9 · 1027 кг (около 318 массЗемли). Теперь ускорение силы тяжести на поверхности Юпитера можновычислить двумя способами. Первый — путём сравнения масс и размеровЗемли и Юпитера: gЮ /g0 = (MЮ /M0 )(r0 /rЮ )2 . Второй — путём вычисленияускорения Ио: GMЮ /R2 = 4π 2 R/T 2 , а затем, в соответствии с законом обратных квадратов, полученное значение умножим на квадрат отношения радиуса орбиты Ио и радиуса Юпитера, т.
е. на 35,4. В любом случае получаем,что ускорение свободного падения на поверхности Юпитера gЮ = 25,2 м/с2 .√15. v1K = g0 r0 . Получаем для Земли 7,9 км/c, для Солнца — 437,5 км/c,Юпитера — 42,4 км/с.16. Подобно тому, как это делалось в задаче 14, можно вычислить массуСолнца, а затем и его плотность: ρЗ = 1,4 · 103 кг/м3 .Ясно, что минимальный период обращения вокруг Солнца имеет спутник, движущийся по «стелющейся» орбите. Это прямо следует из третьегозакона Кеплера (окружность — вырожденный эллипс). Для этого периодаminполучаем TQ= (3π/ρQ G)1/2 = 104 с.17. Посмотрим на рис.
21. Расстояние l = 2,42 · 103 а. е., а расстояниеL = 10,4·103 а. е. (пересчёт пусть читатель проверит сам). По теореме Пифагора найдём радиус орбиты Проксимы: r = 10,7 · 103 а. е. Период обращения86можно найти, сравнивая движение Проксимы с движением Земли:TП = T0 · (r/R0 )3/2 · (MQ /MAB )1/2 = 8 · 105 лет.Нетрудно найти также угол ϕ = 13◦ .AB?lueeϕr6ПроксимаL??К Солнечной системеРис. 21В задаче не оговорено, в какую сторону движется Проксима.
Если онаприближается к нам, то ближайшей она будет ещё 370 тыс. лет, а если удаляется, то — «всего» 30 тыс. лет.min/TН )2 = 1,4 · 1017 кг/м3 . Нейтронная звезда в сто трил18. ρЯ = ρ0 (TQлионов раз плотнее Солнца! Массы этих звёзд всего в 2–3 раза больше массы Солнца, а значит, диаметр нейтронной звезды всего несколько десятковкилометров. Что там Земля! «Уважающий себя» астероид в десятки разбольше такой звезды!19. 6,5 · 1010 M . Напомним, что в этой задаче речь идёт о звездах, которые ближе Солнца к центру Галактики. В следующей задаче фигурируетуже масса всей Галактики.20.
Период обращения Магеллановых Облаков (не будем утомлять читателя многократно использованными формулами) около 3 млрд лет. В телескоп ЕЮО можно зафиксировать угол λ/D ≈ 1,7 · 10−7 рад. Такой уголМагеллановы Облака пройдут примерно за 80 лет.22. Приняв за единицы измерения соответственно массу Солнца, радиус земной орбиты и земной год, для массы Сириуса В получим уравнение(2,3 + x2 )/x3 = 10,9. Подбором определяем x = 1, т. е. масса Сириуса В примерно равна массе Солнца. Становится непонятным, почему такую звездуне видно невооружённым глазом. Ведь Солнце с Сириуса выглядит звездойвторой величины — как Полярная. Оказывается, Сириус В — белый карлик.Это не нейтронная звезда, но все же звезда очень плотная, её плотность вмиллион раз больше плотности Солнца. Нетрудно подсчитать, что при равных массах поверхность такой звезды в 10 тысяч раз меньше поверхности87Солнца (радиус карлика порядка радиуса Земли).
Поэтому, хотя температура карлика в два с лишним раза выше температуры Солнца, он в сотнираз слабее Солнца как источник света.23. Расстояние√не изменилось, а масса возросла вдвое. Отсюда ответ —год уменьшится в 2 раз.24. Звёзды A и B движутся по окружностям радиусов |AO| = |OB| = rс некоторой угловой скоростью ω. Второй закон Ньютона для них можно записать в виде GM/(2r)2 = ω 2 r. Планета движется с той же угловойскоростью по окружности радиуса |OC| = x под действием составляющихсил притяжения, направленных вдоль OC. Запишем второй закон для неё:(2GM/R2 ) · (x/R) = ω 2 x.
Исключая√ очевидный случай x = 0 и учитывая,что R2 = r2 + x2 , получаем x = 3. Заметим, что |AC| = |BC| = 2r, т. е.треугольник ABC — равносторонний.√26. Относительно центра Землиэто расстояние R = r0 2, а высота подъ√ёма, следовательно, равна r0 ( 2 − 1) = 2640 км.√27.
v2к = g0 r0 = 11,18 км/с.p28. gЮ = g0 (MЮ /М0 )(r0 /rЮ )2 ; vпар = v2k MЮ r0 /(M0 rЮ ) = 60,1 км/c.29. 42,1 км/c.30. У поверхности Земли ракета должна обладать достаточной энергией, чтобы, выйдя из её поля тяготения, ещё иметь скорость 12,3 км/c.Вспомнив, что сложение энергий соответствует сложению квадратов скоростей, без труда получим 16,6 км/с. Направление скорости по выходе из полятяготения Земли должно при этом совпадать с направлением орбитальнойскорости Земли.
Запуск надо очень аккуратно рассчитать. В частности, обратим внимание на такое обстоятельство. Предположим, мы попробуем запустить ракету со скоростью 16,6 км/c относительно центра Земли. Но этаскорость складывается из двух составляющих. Какую-то скорость сообщилракете двигатель, и эта составляющая обычно направлена по радиусу Земли. А ещё надо учесть скорость, связанную с суточным вращением Земли.А если говорить серьёзно, то нельзя забывать и о сопротивлении воздуха.
. .31. Выразим в третьем законе Кеплера для круговых орбит период обра3222щения через скоростьp и радиус: (r1 /r2 ) = (T1 /T2 ) = (2πr1 /v1 ) /(2πr2 /v2 ) .Получаем v1 /v2 = r2 /r1 . Зная скорость Земли,p легко вычислим круговуюскорость для перигелия кометы Галлея:29,81/0,59 = 38,6 км/с. Парабо√лическая скорость кометы больше в 2 раз, т. е. равна 54,9 км/c.32. 2v.p33. vп =2GMQ /[rп (1 − rп /ra )]. Прежде чемpподставлять числовыезначения, обратим внимание на то, что выражение 2GMQ /rп — это параболическая скорость кометы в перигелии, которую мы вычислили в задаче31.
Теперь можно ещё преобразовать то, что осталось. Учитывая малостьвеpличины rп /ra — обозначим её x, — можно записать следующее: 1/ (1 + x) ≈≈ (1 + x/2)−1 ≈ 1 − x/2. Сразу видно, какого порядка погрешность мы допустили при оценке. Уточнённый ответ — 54,4 км/с.8834. Это действительно очень просто: применив второй закон Кеплера кперигелию и афелию, немедленно получим, что в афелии комета движется«совсем медленно» — её скорость равна 0,9 км/с.
Приличный истребительможет соперничать с такой кометой.35. Посмотрим на рис. 22. За время прохождения дальней половины орбитырадиус-вектор кометы заметает площадь фигуры CBAB 0 (площадь этой фигуры равнаπab/2 − b(a − rп )), а за время прохожденияближней к Солнцу половины орбиты — оставшуюся часть от площади πab. Расчёт даёт 14,7года.
Но в точках B и B 0 комета находитсяот Солнца на расстоянии, равном большой полуоси её орбиты. А это ещё ой как далеко отРис. 22Солнца — больше 18 а. е.! В наши дни (свидание 1986 года) с помощью сверхмощных ЭВМудалось предсказать положение кометы с точностью до нескольких угловыхсекунд. Поиски велись на телескопе с 5-метровым зеркалом. И в телескоп«смотрел» не человек, а сверхчувствительный фотоприёмник, способныйрегистрировать одиночные кванты света. И все же комету заметили лишьза три с небольшим года до прохождения перигелия, на расстоянии около11 а.
е. от Солнца. Таким образом, даже будучи вооружёнными современнойтехникой, мы в состоянии следить за этой самой изученной кометой лишь втечение 1/12 периода её обращения вокруг Солнца.36. Площадь, ограниченная всей орбитой Плутона, как мы помним, равна S = πab. Нам надо найти, какую площадь он заметает за время пребывания на месте восьмой планеты. Это площадь сектора эллипса. Вычислитьточно её нам не удастся. Но обратим внимание, что расстояние от Солнца вэтот период меняется незначительно: в начале и в конце — 4,5 млрд км, а всередине — минимальное — 4,44 млрд км, т. е.
по форме эта область похожана сектор окружности. Если мы возьмём некоторый средний радиус, например (r + R1 )/2, то наверняка получим довольно точное значение площади21001π r+R. Не знаю, убедит ли это читателя, но можно проверить,S1 = 3602что если вместо квадрата среднего радиуса [(r + R1 )/2]2 мы возьмём средний квадрат радиуса (r2 + R12 )/2, то результат практически не изменится.В любом случае получаем для времени пребывания Плутона внутри орбитыНептуна τ = T S1 /S = 24 года.Значит, Плутон будет восьмой планетой 24 года.38. Около 42 тыс. км.39. Когда первый спутник находится в точке a, второй — в a0 (рис.
23),когда первый — в b, второй — в b0 . Ясно, что участки a0 a и b0 b второй спутникдолжен пройти за одно и то же время — это время, на которое он отстаётот первого. Из второго закона Кеплера отношение Oa к Ob должно бытьравно 2 : 5. Большую ось орбиты найдём, например, сравнивая при помощи89третьего закона Кеплера наш спутник со спутником минимального периодаобращения. Получаем большую ось 25 570 км, и перигейный и апогейныйрадиусы соответственно 7306 и 18 265 км; не забудем вычесть радиус Землии получим в ответе: 936 км в перигее, 11 895 км в апогее.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
