Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Весь момент количества движения переходит к Луне. ВеличинаmЛ vЛ RЛ должна возрасти на 20%. Но закон Кеплера требует постоянства20vЛRЛ . Получаем новое расстояние до Луны RЛ= RЛ · 1,22 = 553 тыс. км.Новый месяц T Л = T0Л · 1,23 = 47,2 сут.80. Сила, действующая на спутник, мала.
А что, собственно говоря, этозначит? По сравнению с чем мала? Ну, видимо, по сравнению с силой притяжения к Земле — это, так сказать, главная сила. Например, в качествепервого приближения вычислим, какую работу совершит — около 20 МДж.А кинетическая энергия корабля массы 10 т при скорости почти 8 км/c —около 300 тыс. МДж.
Но кинетическая энергия не может уменьшиться, дажена тысячные доли процента, без изменения орбиты. А какая орбита подходит для нового значения энергии?Предположим, что орбита осталась круговой, а полная энергия по модулю равна кинетической. Значит, если изменение энергии (потери на трение)составляет за оборот 0,0066% начальной кинетической, то такую же долюоно составляет от полной энергии. Итак, полная энергия уменьшилась, амодуль её возрос на 0,0066%. За сутки такой спутник совершит чуть больше 16 оборотов.
Энергия, а значит и полуось орбиты, изменится примернона десятую долю процента. Спутник потеряет около 7 километров высоты.А скорость, кинетическая энергия? Они, конечно, увеличатся — на болеенизкой орбите скорость больше! Этот разгон с помощью тормозящей силыи называют парадоксом спутников.С энергетической точки зрения тут все вроде бы ясно. Но интересно всеже проследить, как сила, направленная против скорости (!), увеличиваетскорость.Предположим, летит себе спокойно спутник без сопротивления, а вкакой-то момент «включают» тормозящую силу.
Тогда спутник, потеряв103немного кинетической энергии, перейдёт на эллиптическую орбиту с апогеем в точке включения силы. Скорость перестаёт быть перпендикулярнойсиле тяжести (рис. 34), возникает составляющая силы тяжести, ускоряющая спутник. И эта составляющая оказывается больше тормозящей силы.Скорость растёт.rFтFуW mgЗемляРис. 3481.
Рассмотрим для примера ближайшую кЮпитеру глыбу (рис. 35). Распад роя означает,?что расстояние между этой глыбой и центромr6 роя возрастает.Рой как целое падает на Юпитер с ускоре6a1?нием, которое ему сообщает сила притяженияa3?R Юпитера: a1 = GMЮ /R2 .
В то же время ройсообщает глыбе ускорение a2 = Gmp r2 , а Юпитер — a3 = GMЮ /(R − r)2 .Если a3 − a2>a1 , рой начиЮпитернает распадаться. Полагая Rr,получим2rMЮ /R3>mр /r2 ;pРис. 35R 6 r 3 2MЮ /mр = 1,26 млн км.Читатель без особого труда докажет (легкопоказать), что то же самое условие получится для любой глыбы, котораянаходится на прямой центр Юпитера — центр роя.Подчеркнём, что это лишь грубая оценка.
Для уточнения следовало быучесть движение роя и Юпитера в поле тяготения Солнца и движение рояв поле Юпитера. Впрочем, ответ изменится меньше, чем в два раза.82. Надо вычислить радиус звезды, у которой при плотности Солнцаскорость убегания равна скорости света. Получаем 485 радиусов Солнца,у Мичелла — 500. Не менее интересен вопрос, при каком радиусе звезда смассой Солнца стала бы чёрной дырой; оказывается, 3 км.
Эту величину — всоответствии с ОТО — вычислил Шварцшильд и получил rш = 2GM/c2 — вточности по Мичеллу. Опубликовал этот результат Лаплас, первым получилМичелл, а радиус — Шварцшильда. . .q qqq qq qq qq qqq qqqq qqa2610483. Заранее положим, что частота изменится мало. Во-первых, радиус Солнца гораздо больше, чем расчётный радиус Шварцшильда, а вовторых, в правомерности этого предположения нас уверит ответ. Запишем,что изменение энергии «тела» массы hν/c2 — при удалении с поверхностиСолнца на бесконечность равно hΔν. С точки зрения СТО закон всемирного тяготения не изменился.
Получаем относительное изменение частотыΔν/ν = GM /(r c2 ) = g r /c2 = 2,13 · 10−6 . Обратим внимание, что вответе получилась безразмерная величина.84. Работа по удалению массы hν/c2 на небольшое расстояние ΔRсовершается за счёт убыли энергии кванта −hΔν. Приходим к соотношению, сходному с тем, которое привело нас к формуле Циолковского:Δν/ν = −(GМ/R2 c2 )ΔR. Читателю, не знакомому с интегрированием, придётся поверить на слово, что для звезды радиуса r отношение начальной иконечной частот, как в формуле Циолковского, зависит по экспоненциаль2ному закону от знакомой нам безразмерной комбинации: ν0 /ν = eGM/Rc .В нуль частота обратится только при нулевом радиусе.85. Луч отклоняется ничтожно мало.
Пренебрежём тем, что скорость света не меняется, и посчитаем, какой импульс получит фотон в поперечном наFправлении, как будто продольный импульс не изменился (рис. 36). Но сначала обратим внимание на тоrI обстоятельство, что угол — величина безразмерная.С такой величиной, по-видимому, имеющей отношеFние к нашей задаче, мы только что встречались —это GM/rc2 . Для Солнца GM /r c2 = 2,13 · 10−6 .αТрудно поверить, что эта цифра не имеет отношенияP ?к ответу.2Максимальное значение силы −(hν/c2 )GM /r.hν/c?Но уже при удалении от ближайшей к центру Солнца точки на расстояние r сила убывает в 2 раза, аРис.
36поперечная составляющая — почти в 3 раза. Многоли наберется на ещё больших расстояниях? Так чтопримерно на пути 2r действует сила, мало отличающаяся от максимальной, а потом — быстро убывающая. Время действия максимальной силы —2r /c. Значит, нашу оценку разумно удвоить.ОТО даёт 4GM /r c2 ≈ 8,5 · 10−6 радиана (1,7500 ).86.
Мы знаем два факта: то, что отклонение луча света Солнцем составляет 1,7500 , и то, что это отклонение пропорционально отношению M/R. Незабудем, что искомый угол А–Земля–В вдвое меньше угла отклонения лучаА–Галактика–В. В результате получаем 5,8◦ .87. Опустим перпендикуляр ГД из Г на AЗ (рис. 37); обозначенияна рисунке достаточно очевидны: З — Земля, Г — галактика, создающаяэффект гравитационной линзы, А — квазар). Запаздывание определяетсяразницей путей: (АГ + ГЗ) − (АД + ДЗ) = cτ , где c — скорость света.105pНетрудно найти ГЗ − ДЗ = Δl = l − l cos α = l(l − 1 − sin2 α) ≈ lα2 /2 == 4,5 · 10−3св.
лет= 1,42 · 105 св. с. Теперь можно вычислитьАГ − АД = Δx = cτ − Δl = 3,1 · 104 св. с. С другой стороны, можнопо аналогии с Δl написать Δx = xβ 2 /2. Наконец (учтём малость углов),ГД = h = lα = xβ 2 /2. Комбинируя это соотношение с выражениями для Δlи Δx, получим lΔl = xΔx = h2 /2. Следовательно, x = lΔl/Δx = 4,58·109 св.лет. Расстояние АЗ = АД + ДЗ = АГ + ГЗ = 5,58 · 109 св. лет.АqДαβqГРис.
37106q ЗСТАНДАРТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ(СОС)a — большая полуось эллипсаb — малая полуось эллипсаc — скорость светаg — ускорение силы тяжестиG — гравитационная постояннаяr — радиус телаR — радиус орбитыT — период обращения тела поорбитеK — кинетическая энергияU — потенциальная энергияE — полная энергия (суммакинетической и потенциальной)ν — частотаТретий закон Кеплера(a1 /a2 )3 = (T1 /T2 )2Закон всемирного тяготенияF = GmM/R2Потенциальная энергия вгравитационном полеU = −GmM/RСвязь большой полуоси орбиты сполной энергией2a = −GM/EПервая космическая (круговая)скоростьv1к =p√GM/R = gRВторая космическая скорость(параболическая скорость,скорость убегания)v2к =p√2GM/R = 2gRФормула Циолковскогоm0 /m = еv/uЭнергия квантаE = hνПлощадь эллипсаS = πab107СПРАВКИG ≈ 6,6 · 10−11 Н · м2 /кг2c ≈ 300 000 км/с2 = 3 · 108 м/сr0 ≈ 6370 кмg0 ≈ 9,81 м/с2Гравитационная постояннаяСкорость светаРадиус ЗемлиУскорение силы тяжести наповерхности ЗемлиРадиус орбиты ЗемлиСветовой годR0 = 1 а.
е. = 149,6 млн км ≈ 1,5·108 км1 св. год = 6,33 · 104 а. е. == 9,46 · 1012 км ≈ 1013 км1 пк = 2,06 · 105 а. е. ≈≈ 2 · 105 а. е. ≈ 3 · 1013 км1 год = 365,25 сут = 3,156·107 с ≈ 3·107 сR ≈ 6,96 · 105 кмrЛ ≈ 1738 кмRЛ ≈ 384 400 км ≈ 60 · r0h ≈ 6,62 · 10−34 Дж · сПарсекГодРадиус СолнцаРадиус ЛуныРадиус орбиты ЛуныПостоянная Планка108СЛОВАРИК(не совсем полный и совсем не глубокий)АДАМС Джон Кауч (1819–1892) — нашёл Нептун раньше Леверье, ноего никто не проверил.АРИСТАРХ Самосский (320–250 до н. э.) — «Коперник древнего мира»(так его назвал Энгельс). Первый сдвинул Землю. Но ему никто не поверил.АРИСТОТЕЛЬ (382–322 до н. э.) — знал все. К сожалению, церковьверила в это слишком долго.АРМСТРОНГ Нил (1930–2013) и ОЛДРИН Эдвин (р.
тоже 1930) — первые люди на Луне.АРХИМЕД (287–212 до н. э.) — величайший инженер древности: обнаружил обман в известной истории с короной царя Гиерона; забросал камнями,а потом поджег римский флот; готовился сдвинуть Землю, но не успел найтиточку опоры. Для своих инженерных надобностей изобрёл правило рычага,полиспаст, закон Архимеда, начал интегрировать параболу.БЕССЕЛЬ Фридрих Вильгельм (1784–1846) — одним из первых измерилпараллакс — движение «неподвижных» звёзд.БОР Нильс Хенрик Давид (1885–1962) — в 1922 году в одной из газет появилось сообщение: «Известный футболист, игрок сборной Дании, любимецпублики Нильс Бор получил Нобелевскую премию».
Чуть позже выяснилось, что премию он получил по физике: переспорил Эйнштейна, а томууже дали за прошлый год. Пришлось дать и Бору, хотя он и футболист.БРАГЕ Тихо (1546–1601) — о нём в книге и так много сказано, а из чегоон сделал себе искусственный нос, неясно — из серебра или сплава CuSn.БРУНО Джордано (1548–1600) — костром на Площади Цветов отплатила церковь этому монаху за вольнодумство. Искры от костра зажгли большесердец, чем смогла погасить церковь.БРЮСОВ Валерий Яковлевич (1873–1924) — поэт, уникально образованный человек, предвидел многие достижения науки. Под его стихами:«Быть может, эти электроны —Миры, где пять материков,Искусства, знанья, войны, троныИ память сорока веков!»подпишется почти любой физик-теоретик, стоит лишь заменить электронына фридмоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
