Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2340. Пусть в некоторой точке расстояние от центра притяжения r, а скорость v, и направлена она перпендикулярно радиусу-вектору. Очевидно, этоодна из крайних точек орбиты — допустим, перицентр13 .Попробуем найти расстояние до апоцентра R. Предположим, что скорость спутника в апоцентре равна V . Запишем второй закон Кеплера и закон сохранения энергии для этих двух точек (в расчёте на единицу массыспутника):GMV2GMv2−=−.vr = V R;2r2RИсключим V :v2GMGMv2 r2−−=.2r2R2RА теперь немного подумаем.После приведения к общему знаменателю (R, по-видимому, не равно нулю) мы получим квадратное уравнение, имеющее два решения. Что это зарешения? Это те значения R (r и v мы считаем известными), для которыхвыполняются два наших уравнения.
Это апоцентр и. . . перицентр. Конечно, если неизвестный радиус равен r, а скорость — v, то наши уравненияобращаются в тождества.Поразмыслим ещё чуть-чуть. Нас интересует большая ось орбиты. Ноэто r + R, т. е. сумма решений преобразованного уравнения. Теперь ясно,что она будет равна отношению множителя при 1/R в правой части уравнения к его левой части. Но в левой части — полная энергия единицы массы13 В общем случае ближайшая и наиболее удалённая от Центра притяжения точки называются соответственно перицентром и апоцентром.
Если «светило» — Земля (Гея), то это перигей и апогей, для Солнца (Гелиоса) — перигелий и афелий.Придуманы названия для особых точек орбит спутников Луны (Селены) — периселений и апоселений; возле любой звезды (астры), кроме нашего Солнца, —периастр и апоастр.90спутника. По-моему, всё. Окончательно получим такую связь между большой полуосью орбиты a, полной энергией единицы массы обращающегося поэтой орбите тела E и массой центра тяготения M : 2a = −GM/E = GM/|E|.41. Энергия крышки (мы все время говорим об энергии единицы массы) больше энерСтартгии спутника, значит ось её орбиты больше.cpp p p p pp pВ месте старта скорость крышки перпендикуpp p p p p p ppppppлярна радиусу, значит, это перигей.
Итак, орбита крышки будет выглядеть, как на рис. 24,ppтолько различие между орбитами на рисунке,p p p p pконечно, преувеличено. Используя результатыp p p p p cзадачи 40 и приближённую формулу, которуюr Спутникмы только что вспоминали, попробуем найтиКрышкаразличие в больших осях орбит спутника икрышки:Рис. 24|E|2R + Δ1+Δ2a===≈2R2R2R|E + ΔE|| − v 2 /2|12Δv=≈1+.| − v 2 /2 + vΔv|1 − 2Δv/vvЧитатель может проверить более подробно, но ответ получится тот же.Дальше получаем Δ = R · 4Δv/v = 32 км. Орбита ясна.42. Используя тот же приём, что и в задаче 41, применительно к третьему закону Кеплера, найдём разность периодов обращения спутника икрышки.
Получаем ΔT = T (3Δ/4R) = 19 с. Давайте остановимся и обдумаем этот результат. Большая ось эллипса на 32 км больше радиуса круговой орбиты. Длина эллипса менее чем на πΔ = 100 км превышает длину окружности. Если пренебречь изменением средней скорости, то крышкадолжна опоздать всего на 12 с. Значит, средняя скорость крышки меньше скорости спутника, несмотря на то, что в перигее она даже больше.В общем, этого можно было ожидать.Ведь на круговой орбите, совершенноочевидно, чем больше радиус, тем меньше скорость.
Так вот, средняя скоростьна эллипсе, так мало отличающемся отокружности, близка к той, с которойтело движется по окружности радиуса,равного большой оси эллипса. Эти соображения нам пригодятся в дальнейшем.43. В этом√случае новая скоростькрышки будет v 2 + vк2 , изменение осиорбиты у Леонова вдвое меньше, чем уРис. 25спутника, полуось новой орбиты отличается от радиуса всего на 8 км. Точкастарта теперь не будет перигеем (рис. 25).≈9144.
К моменту встречи первый спутник должен пройти на l = 53 кмменьше полного оборота. Второй спутник к этому времени должен совершить полный оборот по новой орбите, а значит относительное изменениепериода должно составить ΔT /T = l/2πR = 1,2 · 10−3 . Так как изменениеорбиты мало, относительное изменение большой полуоси можно определитьиз соотношения Δa/R = 2ΔT /3T = 8 · 10−3 .
С точностью до знака таким жедолжно быть изменение полной энергии, а так как она может изменитьсятолько за счёт изменения кинетической, то и изменение последней составитте же 8 · 10−4 . Изменить скорость надо, очевидно, на 4 · 10−4 . Осталось рассчитать скорость на исходной орбите, например, с помощью соотношения2v 2 R = v1кr0 . В результате получаемpΔv = 4 · 10−4 v1к r0 /R = 3 м/с.45. Вдали такой метеорит имеет скорость относительно Земли59,6 км/с — это удвоенная скорость Земли.
Кроме того, он наберёт в полетяжести Земли энергию, соответствующую второй космической скорости —11,18 км/с. Из закона сохранения энергии ясно, что складываются квадраты скоростей. В результате получаем 60,64 км/с — как видим, если мы изабыли о приросте скорости, то ошиблись немного.46.
На удвоенном расстоянии от Земли скорость метеорита ещё ближе кудвоенной скорости Земли (vм = 60,1 км/с). Теперь сообразим, какой должна быть скорость спутника после столкновения, чтобы он попал на Землю.Большая ось орбиты, касающейсяЗемли (рис. 26), равна 3r0 , «старая»ось — 4r0 . Используя это соотношение (не забудем рассчитать сначала скорость на старой орбите v1 = 5,59 км/с),зная, как связаны оси и энергии, найдём, что скорость должна упасть доv2 = 4,56 км/с. Закон сохраненияимпульса при ударе выглядит так:v1 M − vм m = v2 (M + m). Отсюдаm = 16 кг.48. Если увеличить скорость корабРис. 26ля v на величину Δv, то изменение кинетической энергии единицы массыΔE = E1 − E0 = (v + Δv)2 /2 − v 2 /2 = vΔv + Δv 2 /2.Отсюда ясно, что при большей скорости прирост энергии больше.
Потенциальную энергию мы считаем неизменной, а полная энергия на орбите неменяется — она одна и та же в апогее и перигее. Может быть, я слишком разжёвываю решение, но очень хочется подчеркнуть неожиданный, на первыйвзгляд, результат: с близкого расстояния улететь легче, чем с далёкого.9249. Первое, что приходит на ум (по крайней мере, автору) — вычислитьпотенциальную энергию на расстоянии 384 тыс. км от Земли, сравнить еёс энергией на поверхности Земли и недостачу восполнить за счёт энергиикинетической.Конкретный расчёт можно произвести по-разному. Мне нравится такойспособ. На поверхности энергия пропорциональна второй космической скорости, на орбите Луны она в 60 раз меньше, чем на Земле (60 — отношениерадиуса орбиты Луны к радиусу Земли).
Значит, энергия, необходимая длядостижения орбиты Луны, составляет 59/60 «второй космической энергии»,а скоростьpvx = v2к 59/60 ≈ v2к (1 − 1/120) = 11,09 км/с.Но тут возникает сомнение — стоит ли лететь до орбиты? И речь идёт нео размерах Луны — читатель без труда убедится, что при нашей (разумной!)точности расчётов это ничего не меняет. Но ведь если мы попадём в область,где притяжение Луны сильнее притяжения Земли, Луна сама затянет нас ксебе в гости.
А это немалое различие — Луна всего в 81 раз «легче» Земли, аэто значит, что можно выиграть 1/10 расстояния. Но при этом вместо 1/120выигрываем 1/108 скорости — понадобится не 11,09, а 11,08 км/c.Далее, на Земле притяжением Луны можно пренебречь. Но в точке «пересадки» силы сравниваются. Почему же мы вообще забыли о притяженииЛуны? Давайте учтём его. Тогда потенциальная энергия в поле Луны кточке пересадки достигает величины (по модулю) (MЛ /M0 )(r0 /6r0 ) = 1/486«второй космической энергии»! Опять мелочи.Оказывается, первая оценка очень хороша? Поживём — увидим.50.
Казалось бы, надо достичь скорости чуть меньшей, чем вторая космическая, а значит, это практически повторение задачи 47. Но в этом варианте у корабля есть горизонтальная составляющая скорости, значит, в силувторого закона Кеплера (момент импульса должен сохраняться) в точке пересадки полная скорость не может обратиться в нуль. Однако она упадёт в54 раза, а значит составит (опять мелочи!) примерно 0,2 км/c.51.
Можно попробовать такой способ. Рассчитаем для нашего расстояния от Луны R = 38,4 тыс. км круговую скорость, а потом сообразим,во сколько раз отличается ось нашей орбиты от R. Итак, круговая скорость пропорциональнаM/R, и её можно вычислить из первой космической:pvкр = v1к MЛ r0 /M0 R = 0,36 км/с.√Но постойте, это втрое меньше нашей скорости. А параболическая лишьв 2 раз больше круговой. Значит, мы опять не попадём на Луну! Толькотолько пересев в её сферу притяжения, мы тут же начнём от неё уходить набесконечность! Надо срочно тормозить.52.
Поскольку мы находимся на расстоянии, в 48 с лишним раз превышающем радиус Луны, а нас устраивает только орбита, касающаяся поверхности Луны, большая ось должна быть чуть больше R. Примем её вкачестве первого приближения равной R. Круговая скорость определяет кинетическую энергию на круговой орбите. Кинетическая энергия единичной9322массы будет vкр/2, а потенциальная равна −vкр. Тогда полная энергия будет2−vкр/2.Нам необходима полная энергия вдвое бо́льшая, причём изменятьмы можем только кинетическую энергию. Запишем соотношение в общем случае для произвольного изменения полной энергии, напримердля увеличения в n раз большой оси по сравнению с круговой орбитой:222(vкр/2 − vкр)n = vn2 /2 − vкр. Тогда для нашего приближения (n = 1/2)22немедленно получаем vn = vкр(2 − 1/n) = 0!Так ли уж это неожиданно? Чем меньше скорость, тем ближе перицентрбудет смещаться к центру притяжения. В пределе (при нулевой скорости)эти точки совпадут, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
