Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214)
Текст из файла
Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè:âåêòîðíàÿ àëãåáðà, ïðÿìûå è ïëîñêîñòèÏ.À. Êîæåâíèêîâ18 ÿíâàðÿ 2017 ã.2Îãëàâëåíèå1Âåêòîðû è ñèñòåìû êîîðäèíàò1. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. Áàçèñ . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü . . . . . . . .
. . . . .Áàçèñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñå . . . . . . . . .Çàìåíà áàçèñà . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Ñèñòåìû êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò . . . . . . . . .Çàìåíà äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò . . .
.Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû . . . . . . . . . . . . .Öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû .§ 3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . .§ 4. Îðèåíòèðîâàííûå îáúåìû . . . . . . . . . . . . . . .Îðèåíòàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îðèåíòàöèÿ . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .Îðèåíòèðîâàííûé îáúåì . . . . . . . . . . . .§ 5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . .§2Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè................................................................................................1. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .Ñïîñîáû çàäàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ . . . . . . . . . . .Ëèíåéíîå íåðàâåíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïó÷îê ïðÿìûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé è ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è .§ 2. Ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñïîñîáû çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíîå íåðàâåíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïó÷îê ïëîñêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè è ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è§ 3. Ïðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñïîñîáû çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ . . . . . . . . . . .Ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .§3................................................................................................................................................................................................................................5................66910111111121313141515161618................21212122222223232324252526272728284Ãëàâà 1Âåêòîðû è ñèñòåìû êîîðäèíàòÎáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òî÷åê ïðÿìîé, ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåçP1 , P2 , P3 (èëè P , åñëè ðå÷ü èäåò î ëþáîì èç ìíîæåñòâ P1 , P2 , P3 ).
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîP1 ⊂ P 2 ⊂ P 3 .−→Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà òî÷åê X, Y ∈ P îïðåäåëÿåò íàïðàâëåííûé îòðåçîê −XY(íàïðàâ−→ëåííûå îòðåçêè è âåêòîðû îáîçíà÷àåì ñòðåëêîé èëè æèðíûì øðèôòîì, íàïðèìåð, −XYèëèa). Òî÷êè X è Y íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëîì è êîíöîì íàïðàâëåííîãî îòðåçêà. Äëÿíàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ îïðåäåëåíî (èçâåñòíûì îáðàçîì) ïîíÿòèå ðàâåíñòâà, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì (äëÿ ëþáûõ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ a, b, c):1. a = a (ðåôëåêñèâíîñòü);2. åñëè a = b, òî b = a (ñèììåòðè÷íîñòü);3. åñëè a = b è b = c, òî a = c (òðàíçèòèâíîñòü).Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ ðàñïàäàåòñÿ íà êëàññû ðàâíûõ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Ýòè êëàññû íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè, èëè ñâîáîäíûìè âåêòîðàìè.Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ íà ïðÿìîé, ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç V1, V2, V3 (èëè V , åñëè ðå÷ü èäåò î ëþáîì èç ìíîæåñòâ V1, V2, V3).
Ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî V1 ⊂ V2 ⊂ V3. Ìíîæåñòâî V áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì (ýòîíàçâàíèå äàíî â ñîãëàñèè ñ îïðåäåëåíèåì àáñòðàêòíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîåïðèíÿòî â àëãåáðå).Âåêòîðàìè ìû, îäíàêî, áóäåì èíîãäà íàçûâàòü è íàïðàâëåííûå îòðåçêè. (Ïðè ýòîì èçêîíòåêñòà áóäåò ÿñíî, ôèêñèðîâàíû ëè êîíöû ðàññìàòðèâàåìîãî âåêòîðà, òî åñòü èìååì ëèìû â âèäó ñâîáîäíûé âåêòîð èëè íàïðàâëåííûé îòðåçîê.) ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ òîò ôàêò,÷òî îò ëþáîé òî÷êè ìîæíî îòëîæèòü åäèíñòâåííûé âåêòîð, ðàâíûé äàííîìó.Íà ìíîæåñòâå V èçâåñòíûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî,óäîâëåòâîðÿþùèå ñâîéñòâàì (∀ a, b, c ∈ V , ∀ λ, µ ∈ R):1. (a + b) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü);2.
a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü);3. ∃ 0 ∈ V (íóëåâîé âåêòîð), óäîâëåòâîðÿþùèé ðàâåíñòâó a + 0 = a;4. a + (−1)a = 0 (âåêòîð (−1)a îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå −a è íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìâåêòîðó a).5. (λ + µ)a = λa + µa (ëèíåéíîñòü ïî êîíñòàíòàì);6. λ(a + b) = λa + λb (ëèíåéíîñòü ïî âåêòîðàì);7. 1 · a = a;8. (λµ)a = λ(µa).Îòìåòèì åùå òîæäåñòâà 0 · a = λ · 0 = 0, −(λa) = (−λ)a = λ(−a).
Îïåðàöèþ âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê a − b = a + (−b), ïðè ýòîì (λ − µ)a = λa − µa,λ(a − b) = λa − λb.Íåñêîëüêî âåêòîðîâ èç V3 êîëëèíåàðíû, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, êîòîðîé îíè ïàðàë5ëåëüíû. Íåñêîëüêî âåêòîðîâ èç V3 êîìïëàíàðíû, åñëè ñóùåñòâóåò ïëîñêîñòü, êîòîðîé îíèïàðàëëåëüíû. (Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî íóëåâîé âåêòîð ïàðàëëåëåí ëþáîé ïðÿìîé è ëþáîé ïëîñêîñòè, â ÷àñòíîñòè íóëåâîé âåêòîð êîëëèíåàðåí ëþáîìó âåêòîðó.) Îáîçíà÷åíèåäëÿ êîëëèíåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ a è b: a ∥ b. Ñîîòâåòñòâåííî, çàïèñü a ∦ b îçíà÷àåò,÷òî âåêòîðû a è b íå êîëëèíåàðíû. Îòìåòèì ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäó êîëëèíåàðíîñòüþ èóìíîæåíèåì íà ÷èñëî.
Ïóñòü a, b ∈ V , a ̸= 0. Òîãäà a ∥ b ⇔ ∃ λ ∈ R: b = λa.Óãîë ìåæäó íåíóëåâûìèâåêòîðàìè a è b èç V3 ðàâåí óãëó AOB ìåæäó íàïðàâëåí−→−−→íûìè îòðåçêàìè OA = a è OB = b (ãäå O ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà; êàê íåòðóäíî âèäåòü,îïðåäåëåíèå óãëà íå çàâèñèò îò åå âûáîðà). Îáîçíà÷åíèå: ∠(a, b). Óãîë ìåæäó íåíóëåâûìèâåêòîðàìè ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [0, π]. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë ìåæäó íóëåâûìâåêòîðîì è ëþáûì äðóãèì íå îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî, òî πåñòü ñ÷èòàåì âåðíûì ðàâåíñòâî∠(a, 0) = α ïðè ëþáûõ a ∈ V è α ∈ [0, π].
Åñëè ∠(a, b) = , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîðû a è b2ïåðïåíäèêóëÿðíûå, èëè îðòîãîíàëüíûå (îáîçíà÷åíèå: a⊥b). Åñëè ∠(a, b) = 0, òî ãîâîðÿò,÷òî âåêòîðû a è b ñîíàïðàâëåííûå (îáîçíà÷åíèå: a b). Åñëè ∠(a, b) = π, òî ãîâîðÿò, ÷òîâåêòîðû a è b ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå (îáîçíà÷åíèå: a ↑↓ b).  ÷àñòíîñòè, ∀ a ∈ V3èìååì: a⊥0, a 0, a ↑↓ 0.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ a ̸= 0 è b èç V3 ñïðàâåäëèâûóòâåðæäåíèÿ: a b ⇔ ∃ λ > 0: b = λa; a ↑↓ b ⇔ ∃ λ 6 0: b = λa.Åñëè çàôèêñèðîâàíà åäèíèöà èçìåðåíèÿ, òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà äëèíà, èëè íîðìà (îáîçíà÷åíèå: |a| èëè ∥a∥). ßñíî, ÷òî (∀ a, b ∈ V , ∀ λ ∈ R):|a| = 0 ⇔ a = 0;|λa| = |λ||a|;|a + b| 6 |a| + |b| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).Èíîãäà óïîòðåáëÿþò âûðàæåíèå ”íîðìèðîâàòü íåíóëåâîé âåêòîð a“ , îçíà÷àþùåå ”çà1ìåíèòü âåêòîð a íà ñîíàïðàâëåííûé åäèíè÷íûé âåêòîð |a|a“ . äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèÿõ íàì âñòðåòÿòñÿ íàáîðû èëè ñèñòåìû âåêòîðîâ (îòëè÷èåíàáîðà îò ìíîæåñòâà â òîì, ÷òî â íàáîðå îäèí ýëåìåíò ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â íåñêîëüêèõýêçåìïëÿðàõ). Ïóñòü a1, a2, .
. . , ak ∈ V íåêîòîðàÿ êîíå÷íàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ. Áóäåìãîâîðèòü, ÷òî ñèñòåìà ai , ai , . . . , ai , ãäå 1 6 i1 < i2 < . . . < il 6 k, ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîéñèñòåìû a1, a2, . . . , ak . Åñëè â êîíå÷íîé ñèñòåìå âåêòîðîâ çàôèêñèðîâàí ïîðÿäîê, â êîòîðîìïåðå÷èñëÿþòñÿ âåêòîðû, òî ãîâîðÿò îá óïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìå âåêòîðîâ.Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . . .
, ak âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè ai ⊥ aj äëÿ âñåõ i, j òàêèõ, ÷òî 1 6 i < j 6 k. Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìàâåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè|a1 | = |a2 | = . . . = |ak | = 1.1§2l1. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñèñòåì âåêòîðîâ. ÁàçèñËèíåéíàÿ çàâèñèìîñòüÎïðåäåëåíèå.Ïóñòü a1, a2, . . . , ak ∈ V , λ1, λ2, .
. . , λk ∈ R. Ñóììàλ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λk a kíàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâλ1 , λ2 , . . . , λk .a1 , a2 , . . . , ak(1.1)ñ êîýôôèöèåíòàìèÅñëè |λ1| + |λ2| + . . . + |λk | > 0 (òî åñòü õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ íå ðàâåí 0),òî ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (1.1) íåòðèâèàëüíàÿ (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé).6 òîì ñëó÷àå, êîãäà b ∈ V ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ a1, a2, .
. . , ak , òàêæåãîâîðÿò, ÷òî b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì a1, a2, . . . , ak èëè ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçâåêòîðû a1, a2, . . . , ak .Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (1.1) èíîãäà óäîáíî çàïèñàòü â âèäå ìàòðè÷íîãî ïåðåìíîæåíèÿñòðîêè èç âåêòîðîâ íà ñòîëáåö ÷èñåë:λ1 λ2 (a1 a2 , . . .
an ) .. ..λnÑèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, . . . , ak ∈ V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé,åñëè íåêîòîðàÿ èõ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà 0, è ëèíåéíî íåçàâèñèìîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Ïðèìåðîì ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ 0. Ïîëàãàþò, ÷òî ïóñòàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà (ôîðìàëüíî ýòîñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì).Îïðåäåëåíèå.Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1, a2, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
