Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Åñëè â óðàâíåíèè (2.7) A ̸= 0, òî â êà÷åñòâåíàïðàâ íåêîëëèíåàðíûõïàðû−C−Bëÿþùèõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè ìîæíî âçÿòü âåêòîðû A è 0 .Ñëåäñòâèå 1.0Ñëåäñòâèå 2.AÑîïóòñòâóþùèé âåêòîð n íå ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè (2.7). 3Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé(äâå ïëîñêîñòè) Ïóñòü äâå ïëîñêîñòè σ1 è σ2 çàäàíû îáùèìè óðàâíåíèÿìè L1 = 0 è L2 = 0 âèäà (2.7). Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) σ1 ∥ σ2 èëè σ1 = σ2 ⇔ n1 ∥ n2, ïðè÷åìσ1 = σ2 ⇔ L1 è L2 ïðîïîðöèîíàëüíû.
e1 e2 e3 2) Åñëè σ1 ∦ σ2, òî ïðÿìàÿ σ1 ∩ σ2 èìååò íàïðàâëÿþùèé âåêòîð d = A1 B1 C1. 4Ïðåäëîæåíèå 2.2.A2 B2 C2 A2A1◃  ñëó÷àå n1 ∥ n2 ñòîëáöû B1 è B2 ïðîïîðöèîíàëüíû, çíà÷èò óðàâíåíèÿ ïëîñC2C1êîñòåé σ1 è σ2 èìåþò âèä A1x + B1y + C1z + D1 = 0 è λ(A1x + B1y + C1z) + D2 = 0.
ÏðèD2 = λD1 ýòè óðàâíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû, çíà÷èò çàäàþò îäíó è òó æå ïëîñêîñòü. Èíà÷åñèñòåìà èç ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé èìååò ïóñòîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ò.å. ïëîñêîñòè σ1 è σ2íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.Êàê óâèäèì äàëåå, â ïðåäëîæåíèè 2.4, äëÿ ÏÄÑÊ ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì êïëîñêîñòè.4  ÏÄÑÊ ýòî óòâåðæäåíèå íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ òåîðåìîé 5.3 ãëàâû 1: d = ±[n , n ] .12324 ñëó÷àå n1 ∦ n2 ïðåäúÿâëåííûé â ôîðìóëèðîâêåÍåïîñðåäñòâåííîâåêòîð d íåíóëåâîé.B1 C1 C1 A1 A1 B1 ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî åãî êîîðäèíàòû δ1 = B2 C2, δ2 = C2 A2, δ3 = A2 B2 óäîâëåòâîðÿþòðàâåíñòâàì Aiδ1 + Biδ2 + Ciδ2 = 0, i = 1, 2 (ëåâàÿ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàñêðûòèåîïðåäåëèòåëÿi = 1, 2. Ai Bi Ci A1 B1 C1 ).A2 B2 C2 Ýòè ðàâåíñòâà, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.1, îçíà÷àþò, ÷òî d ∥ σi,(òðè ïëîñêîñòè) Ïóñòü äàíû òðè ïëîñêîñòè σi, çàäàííûå îáùèìèóðàâíåíèÿìè Li = 0 âèäà (2.7), i = 1, 2,3.
Ïëîñêîñòè σ1 , σ2 è σ3 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîéÏðåäëîæåíèå 2.3.òî÷êå ⇔ n1, n2 è n3 íåêîìïëàíàðíûA1 B1 C1 ̸ 0⇔ A2 B2 C2 =A3 B3 C3 . ñëó÷àå n1 ∥ n2 âåêòîðû n1, n2 è n3 êîìïëàíàðíû. Ïî ïðåäëîæåíèþ 2.2, â ýòîìñëó÷àå σ1 ∥ σ2 èëè σ1 = σ2, ïîýòîìó σ1, σ2 è σ3 íå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ â îäíîé òî÷êå.Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî n1 ∦ n2. Ïî ïðåäëîæåíèþ2.2, â ýòîì ñëó÷àå σ1 ∩ σ2 ýòî ïðÿ◃δ1B1 C1 C1 A1 A1 B1 ìàÿ ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì d δ2, ãäå δ1 = B2 C2, δ2 = C2 A2, δ3 = A2 B2 .δ3 òàêîì ñëó÷àå ïëîñêîñòè σ1, σ2 è σ3 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå ⇔ d ∦ σ3.
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.1, ïîñëåäíåå óñëîâèåïåðåïèñûâàåòñÿêàê A3δ1 + B3δ2 + C3δ3 ̸= 0. Íî âûðàæåíèåA1 B1 C1 A3 δ1 + B3 δ2 + C3 δ3 ðàâíî A2 B2 C2 . A3 B3 C3 Ëèíåéíîå íåðàâåíñòâîÎò íåêîòîðîé òî÷êè ïëîñêîñòè σ, çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì L = 0, îòëîæèì âåêòîð n. Òîïîëóïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî σ, â êîòîðîì ëåæèò êîíåö ýòîãî âåêòîðà (ïî ñëåäñòâèþ èçïðåäëîæåíèÿ 2.1 îí íå áóäåò ëåæàòü â σ), îáúÿâèì ïîëîæèòåëüíûì, à äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî îòðèöàòåëüíûì.
(Åñëè èçìåíèòü çíàê â óðàâíåíèè, òî åñòü ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå−L = 0, òî ïîëîæèòåëüíîå è îòðèöàòåëüíîå ïîëóïðîñòðàíñòâà ïîìåíÿþòñÿ ðîëÿìè.) x1M1 y1 z1Òî÷êàëåæèò â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíîïëîñêîñòè σ, çàäàííîé óðàâíåíèåì L = 0 âèäà (2.7) ⇔ L(x1, y1, z1) > 0.◃ ×åðåç òî÷êó M1 ïðîâåäåìïðÿìóþ,ïàðàëëåëüíóþ âåêòîðó n. Ïóñòü ýòà ïðÿìàÿ ïåðåx0−→ñåêàåò ïëîñêîñòü σ â òî÷êå M0 y0 .
Ïóñòü −M−−0M1 = λn, òîãäà x1 = x0 + λA, y1 = y0 + λB ,z0z1 = z0 + λC . Î÷åâèäíî, M1 ëåæèò â ïîëîæèòåëüíîì ïîëóïðîñòðàíñòâå ⇔ λ > 0.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, L(x1, y1, z1) > 0 ⇔ A(x0 + λA) + B(y0 + λB) + C(z0 + λC) + D > 0⇔ (Ax0 + By0 + Cz0 + D) + λ(A2 + B 2 + C 2 ) > 0 ⇔ λ(A2 + B 2 + C 2 ) > 0 ⇔ λ > 0. Òåîðåìà 2.1.Ïó÷îê ïëîñêîñòåéÏó÷êîì ïëîñêîñòåé ñ îñüþ l íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðÿìóþ l.Îïðåäåëåíèå.25Ïó÷îê îáîçíà÷àåì Π(l). Ïó÷îê îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïëîñêîñòÿìè.Ïóñòü Li = 0 îáùèå óðàâíåíèÿ âèäà (2.7) ïëîñêîñòåé σi, i = 1, 2, 3, ïðèýòîì ïëîñêîñòè σ1 è σ2 ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé l.
Ïëîñêîñòü σ3 ïðèíàäëåæèò ïó÷êóΠ(l) ⇔ ∃ λ1 , λ2 òàêèå, ÷òî L3 = λ1 L1 + λ2 L2 .Òåîðåìà 2.2. x0◃ ⇐ Äëÿ ëþáîé òî÷êè M0 y0 , ëåæàùåé íà ïðÿìîé l, âûïîëíåíî L1 (x0 , y0 , z0 ) = 0z0è L2(x0, y0, z0) = 0 ⇒ λ1L1(x0, y0, z0) + λ2L2(x0, y0, z0) = 0 ⇒ L3(x0, y0, z0) = 0 ⇒ M0 ∈ σ3.Òåì ñàìûì, l ⊂ σ3. x3⇒ Ðàññìîòðèì òî÷êó M3 y3 , íå ëåæàùóþ íà ïðÿìîé l, íî ëåæàùóþ â ïëîñêîz3ñòè σ3. Ïîëîæèì µ1 = L2(x3, y3, z3), µ2 = −L1(x3, y3, z3). Õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë µ1,µ2 íåíóëåâîå, èíà÷å M3 ∈ σ1 ∩ σ2 = l ñ ïðîòèâîðå÷èåì ñ âûáîðîì òî÷êè M3 . Ïîëîæèì L′3 = µ1L1 + µ2L2. Óðàâíåíèå L′3 = 0 ëèíåéíîå (èìååò âèä (2.7)) ñ êîýôèöèåíòàìè µ1A1 + µ2A2, µ1B1 + µ2B2, µ1C1 + µ2C2 ïðè x, y, z.
Õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ íå ðàâåí 0, ïîýòîìó óðàâíåíèå L′3 = 0 çàäàåò íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü σ3′ .Ñîãëàñíî ïåðâîé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà, ïëîñêîñòü σ3′ ñîäåðæèò ïðÿìóþ l. Êðîìå òîãî,L′3 (x3 , y3 , z3 ) = µ1 L1 (x3 , y3 , z3 ) + µ2 L2 (x3 , y3 , z3 ) = µ1 (−µ2 ) + µ2 µ1 = 0, ïîýòîìó ïëîñêîñòüσ3′ ïðîõîäèò è ÷åðåç òî÷êó M3 . Çíà÷èò, σ3′ ñîâïàäàåò ñ σ3 .
Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè è ìåòðè÷åñêèå çàäà÷èÑ ýòîãî ìîìåíòà äî êîíöà ïàðàãðàôà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÄÑÊ ïðÿìîóãîëüíàÿ.Ïóñòü σ ïëîñêîñòü, çàäàííàÿ îáùèì óðàâíåíèåì Ln ⊥ σ.Ïðåäëîæåíèå 2.4.= 0. Òîãäà α1◃ Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.1, äëÿ ëþáîãî íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a α2 ïëîñêîñòè σα3âåðíî ðàâåíñòâî Aα1 + Bα2 + Cα3 = 0.
Ïîñêîëüêó ìû ðàáàòàåì â ÏÄÊÑ, ýòî ðàâåíñòâîîçíà÷àåò, ÷òî n ⊥ a. Èòàê, n îðòîãîíàëåí ëþáîìó íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó, à çíà÷èò îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè σ. Òàêèì îáðàçîì, â ÏÄÑÊ ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûì, èëè íîðìàëüíûì ê ïëîñêîñòè.Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (â ñèëó òåîðåìû 3.2 ãëàâû 1) ïðèîáðåòàåò âèä(r, n) + D = 0 .(2.8)Óðàâíåíèå (2.8) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.Âûâåäåì ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíûõ ìåòðè÷åñêèõ çàäà÷.(pàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè) Ïóñòü σ ïëîñêîñòü, çàäàííàÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì (2.8) èëè îáùèì óðàâíåíèåì (2.7) â ÏÄÑÊ.
ÒîãäàÏðåäëîæåíèå2.5x1M1 y1 z1|Ax1 + By1 + Cz1 + D|√ρ(M1 , σ) =A2 + B 2 + C 2ðàññòîÿíèå îò òî÷êè.äî ïëîñêîñòèσñîîòâåòñòâåííî.26ðàâíîρ(M1 , σ) =|(r1 , n) + D||n|èëè◃ Âûáåðåì â ïëîñêîñòè σ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M0 , çàäàííóþ ðàäèóñ-âåêòîðîì r0 , òàê−→÷òî (r0, n)+D = 0. Çàìåòèì, ÷òî ρ(M1, σ) ðàâíî äëèíå ïðîåêöèè âåêòîðà −M−−0M1 íà íîðìàëü: (r1 − r0 , n) |(r1 , n) − (r0 , n)|−−−−→|(r1 , n) + D|n =·|n| =ρ(M1 , σ) = | prn M0 M1 | = | prn (r1 −r0 )| = .22|n||n||n|Çàäà÷à ïîèñêà óãëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷è îòûñêàíèè óãëà ìåæäó èõíîðìàëüíûìè âåêòîðàìè n1 è n2.§3.
Ïðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâåÑïîñîáû çàäàíèÿÒàê æå, êàê è ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè, ïðÿìàÿ l â ïðîñòðàíñòâå îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ òî÷êîéM0 ∈ l è íåíóëåâûì íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a. Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ äëÿ ïðÿìîé íàïëîñêîñòè, âûâîäèì âåêòîðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèår = r0 + ta .(2.9) xx0α1x = x0 + α1 tÝòî óðàâíåíèå èìååò êîîðäèíàòíóþ çàïèñü y = y0 + α2t , ãäå y , y0 , α2zz0α3z = z0 + α 3 têîîðäèíàòíûå ñòîëáöû òî÷åê M , M0 è âåêòîðà a ñîîòâåòñòâåííî.Ïðè α1 ̸= 0, α2 ̸= 0, α2 ̸= 0 óðàâíåíèå (2.9) ëåãêî ïåðåâîäèòñÿ â êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèåx − x0y − y0z − z0 5==.α1α2α3(2.10)Íà ñàìîì äåëå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.10) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïëîñêîñòåé. Âîîáùå, ïðÿìóþâ ïðîñòðàíñòâå ìîæíî çàäàòü ñèñòåìîé äâóõ íåïðîïîðöèîíàëüíûõ{ëèíåéíûõ óðàâíåíèé LL1 == 00 .2Óðàâíåíèå (2.9) ðàâíîñèëüíî êîëëèíåàðíîñòè r− r0 ∥ a, à ýòî óñëîâèå ìîæíî ïåðåïèñàòüñ ïîìîùüþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ñì.
ïðåäëîæåíèå 5.2 ãëàâû 1): [r − r0, a] = 0 èëè[r, a] = [r0 , a]. Ïîëîæèâ b = [r0 , a], ìû ïîëó÷àåì çàäàíèå ïðÿìîé ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ[r, a] = b ,(2.11)ãäå a íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé, à b ⊥ a. Íàîáîðîò, ïðè a ̸= 0 è b ⊥ a óðàâíåíèå (2.11) çàäàåò ïðÿìóþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèâ r0 = [a,|a|b]2 , èìååì (ñ ó÷åòîì ïðåäëîæåíèÿ 5.3 ãëàâû 1 è òîãî, ÷òî (a, b) = 0) [r0, a] = |a|1 2 [[a, b], a] = − |a|1 2 [a, [a, b]] =1− 2 (a(a, b)−b|a|2 ) = b. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (2.11) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó [r, a] = [r0 , a],|a|èëè [r − r0, a] = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî r − r0 ∥ a.5Èíîãäà çàïèñü (2.10) äîïóñêàþò è â ñëó÷àå αi = 0 äëÿ íåêîòîðîãî i.27Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõÏóñòü äâå ïðÿìûå l1 è l2 â ïðîñòðàíñòâå çàäàíû âåêòîðíîïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè r = r1 + ta1 è r = r2 + ta2.
Òîãäà âåðíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. ñëó÷àå a1 ∥ a2:r2 − r1 ∦ a1 ⇔ l1 ∥ l2 ;r2 − r1 ∥ a1 ⇔ l1 = l2 . ñëó÷àå a1 ∦ a2:r2 − r1 , a1 , a2 êîìïëàíàðíû ⇔ l1 è l2 ïåðåñåêàþòñÿ;r2 − r1 , a1 , a2 íåêîìïëàíàðíû ⇔ l1 è l2 ñêðåùèâàþòñÿ.◃ Ñëåäóåò èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà âåêòîðîâ r1 , a1 , r2 , a2 . Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ïðèíàäëåæíîñòü, ïåðåñå÷åíèå â îäíîé òî÷êå èëè ïàðàëëåëüíîñòü) ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèå 2.1.Ïðåäëîæåíèå3.1.Ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è(ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé) Ïóñòü l ïðÿìàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (2.9).
Òîãäà ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M1, çàäàííîé ðàäèóñ-âåêòîðîì r1 äî ïðÿìîé l− r0 , a)|ðàâíî ρ(M1, l) = |S±(r1|a|èëè ρ(M1, l) = |[r1 −|a|r0, a]| .6Ïðåäëîæåíèå 3.2.Ïîñòðîèì íà âåêòîðàõ r1 − r0 è a ïàðàëëåëîãðàìì. Òîãäà åãî âûñîòà ê îñíîâàíèþäëèíû |a| ðàâíà ρ(M1, l) è íóæíàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà. (ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè) Ïóñòü l1, l2 ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå r = r1 + ta1 è r = r2 + ta2 (a1 ∦ a2). Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè− r1 , a1 , a2 )| 7.ðàâíà ρ(l1, l2) = |V±(r|S2 −(ar1,,aa1)|, a2)| èëè ρ(l1, l2) = |(r2 |[a, a )]|◃Ïðåäëîæåíèå 3.3.±1212Ïîñòðîèì íà âåêòîðàõ r2 − r1, a1 è a2 ïàðàëëåëåïèïåä. Ýòîò ïàðàëëåëåïèïåä èìååòãðàíü ïëîùàäè |S±(a1, a2)|, à âûñîòà ê ýòîé ãðàíè ðàâíà ρ(l1, l2).
Òîãäà íóæíàÿ ôîðìóëàïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû îáúåìà ïàðàëëåëåïèïåäà. Çàäà÷à ïîèñêà óãëà ìåæäó ïðÿìûìè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷è îòûñêàíèè óãëà ìåæäó èõ íàïðàâëÿþùèìè. À ÷òîáû íàéòè óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ, äîñòàòî÷íî íàéòè óãîëìåæäó íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé è íîðìàëüíûì âåêòîðîì ïëîñêîñòè.◃Èìååòñÿ è äðóãîé âèä ôîðìóëû ρ(M1 , l) = |r1 − r0 − pra (r1 − r0 )|.Çàìåòèì, ÷òî ρ(l1 , l2 ) = 0 ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ ñì. ïðåäëîæåíèå 3.1. Äðóãîéâèä ôîðìóëû ρ(l1 , l2 ) = | pr[a ,a ] (r2 − r1 )|.671228.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
