Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , ak ∈ V (k > 2) ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ñðåäè âåêòîðîâ a1, a2, . . . , akâåêòîð, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçîñòàëüíûå k − 1 âåêòîðîâ ýòîé ñèñòåìû.◃ ⇒ Ïóñòü λ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λk ak = 0, è íå âñå êîýôôèöèåíòû ðàâíû 0, ñêàæåì λk ̸= 0. Òîãäà ïîäåëèì ðàâåíñòâî íà −λk è ïåðåíåñåì ak â äðóãóþ ÷àñòü; ïîëó÷èìλiak = µ1 a1 + µ2 a2 + .
. . + µk−1 ak−1 , ãäå µi = − , i = 1, 2, . . . , k − 1.λk⇐ Ïóñòü, ñêàæåì, âåêòîð ak ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì a1 , a2 , . . . , ak−1 :ak = µ1 a1 + µ2 a2 + . . . + µk−1 ak−1 . Òîãäà µ1 a1 + µ2 a2 + . . . + µk−1 ak−1 − ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ 0. 1) Åñëè â êîíå÷íîé ñèñòåìå âåêòîðîâ èç V èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà, òî è âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà.2) Ïîäñèñòåìà êîíå÷íîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìà.◃ 1) Ïóñòü, ñêàæåì, äëÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , .
. . , ak åå ïîäñèñòåìà a1 , a2 , . . . , am(ãäå m 6 k) ëèíåéíî çàâèñèìà, è íåêîòîðàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿµ1 a1 + µ2 a2 + . . . + µm am ðàâíà 0. Òîãäà µ1 a1 + µ2 a2 + . . . + µm am + 0 · am+1 + . . . + 0 · ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ 0.2) Ýòî ïåðåôîðìóëèðîâêà óòâåðæäåíèÿ 1). Ïóñòü âåêòîð b ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû a1, a2, . . . , ak .Òîãäà êîýôôèöèåíòû λi â ðàâåíñòâåb = λ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λk ak(1.2)îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî ⇔ ñèñòåìà a1, a2, . .
. , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà.◃ ⇒ Ïðåïîëîæèì, ÷òî íàïðîòèâ, ñèñòåìà a1 , a2 , . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà êïðàâîé ÷àñòè (1.2) ìîæíî ïðèáàâèòü íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâa1 , a2 , . . . , ak , ðàâíóþ 0. Ïîëó÷èì ëèíåéíîå âûðàæåíèå b ÷åðåç a1 , a2 , . . . , ak , îòëè÷àþùååñÿîò (1.2) õîòÿ áû â îäíîì êîýôôèöèåíòå. Ïðîòèâîðå÷èå.⇐ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîð b ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì a1 , a2 , . . . , ak åùå êàêèì-òî ñïîñîáîì:b = µ1 a1 + µ2 a2 + . . . + µk ak .(1.3)Ïðåäëîæåíèå 1.1.íàéäåòñÿÏðåäëîæåíèå 1.2.Ïðåäëîæåíèå 1.3.7Âû÷èòàÿ (1.2) èç (1.3), ïîëó÷àåì (λ1 − µ1)a1 + (λ2 − µ2)a2 + .
. . + (λk − µk )ak = 0. Òàêêàê a1, a2, . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà, òî ëåâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, îòêóäà λi = µi, i = 1, 2, . . . , k. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâàëîñü "àëãåáðàè÷åñêè òî åñòü ÷åðåçôîðìóëû, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïîíÿòèÿ.1) Ïóñòü b ∈ V ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî êîëëèíåàðíûì âåêòîðàìa1 , a2 , . .
. , ak èç V . Òîãäà âåêòîðû a1 , a2 , . . . , ak , b êîëëèíåàðíû.2) Ïóñòü b ∈ V ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî êîìïëàíàðíûì âåêòîðàì a1, a2, . . . , ak èç V . Òîãäàâåêòîðû a1, a2, . . . , ak , b êîìïëàíàðíû.◃ 1) Ïóñòü âåêòîðû a1 , a2 , . . . , ak ïàðàëëåëüíû ïðÿìîé l. Îòëîæèì èõ îò òî÷êè O ∈ l.Ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî âåêòîð (1.2), îòëîæåííûéîò òî÷êè O, ëåæèò íà ïðÿìîé l.2) Ïóñòü âåêòîðû a1, a2, . . . , ak ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè σ. Îòëîæèì èõ îò òî÷êè O ∈ σ.Ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî âåêòîð (1.2), îòëîæåííûéîò òî÷êè O, ëåæèò â ïëîñêîñòè σ. 1) Ïóñòü âåêòîðû a1 è b òàêîâû, ÷òî a1 ̸= 0 è a1 ∥ b. Òîãäà bëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1.2) Ïóñòü âåêòîðû a1, a2 è b òàêîâû, ÷òî a1 ∦ a2 è âåêòîðû a1, a2, b êîìïëàíàðíû.Òîãäà b ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1, a2.3) Ïóñòü a1, a2, a3 òðîéêà íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ èç V . Òîãäà ëþáîé âåêòîðb ∈ V ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1 , a2 , a3 .◃ 1) Î÷åâèäíî.2) Ïóñòüâåêòîðû a−1−,→a2, b ïàðàëëåëüíûïëîñêîñòè σ.
Îòëîæèì îò íåêîòîðîé òî÷êè O ∈ σ−−→−−→âåêòîðû OA1 = a1, OA2 = a2 è OB = b. Òîãäà òî÷êè A1, A2, B ëåæàò â ïëîñêîñòè σ.Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó B ïðÿìóþ−−l→∥ OA−2−, →è ïóñòüïðÿìûå l è OA1 (îíè íå ïàðàëëåëüíû)−−→−−→→ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå B1. Òîãäà OB = OB1 + B1B . Ïðè ýòîì OB1 ∥ a1 è −−B−−1→B ∥ a2 . Èçïóíêòà1) äàííîãî ïðåäëîæåíèÿ âûòåêàåò (òàê êàê a1 −è−→a2 íåíóëåâûå), ÷òî OB1 = λ1a1 è−−→B1 B = λ2 a2 äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë λ1 è λ2 . Òåì ñàìûì, OB = λ1 a1 + λ2 a2 .−→−−→−−→−−→3) Îòëîæèì îò íåêîòîðîé òî÷êè O âåêòîðû −OA1 = a1 , OA2 = a2 , OA3 = a3 è OB = b.Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó B ïðÿìóþ l ∥ OA3, è ïóñòüïðÿìàÿl è ïëîñêîñòü OA1 A2 (îíè íå−−→−−→ −−→−→ïàðàëëåëüíû) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå B1. Òîãäà OB = OB1 + B1B . Ïðè ýòîì −OB1 ëåæèòâ ïëîñêîñòè OA1A2, è çíà÷èò (êàê ñëåäóåò èç ïóíêòà−−(2)äàííîãîïðåäëîæåíèÿ)ëèíåéíî→−−→âûðàæàåòñÿ ÷åðåç (íå êîëëèíåàðíûå) âåêòîðû a1 è a2: OB1 = λ1a1 +λ2a2.
Òàêêàê B1B ∥ a3,−−→òî èç ïóíêòà (1) äàííîãî ïðåäëîæåíèÿâûòåêàåò (òàê êàê a3 ̸= 0), ÷òî B1B = λ3a3 äëÿ−−→íåêîòîðîãî λ3 ∈ R. Òåì ñàìûì, OB = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3. (êðèòåðèé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè) 1) Ñèñòåìà èç îäíîãî âåêòîðà a1 ëèíåéíîçàâèñèìà ⇔ a1 = 0.2) Ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ a1, a2 ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ a1 ∥ a2.3) Ñèñòåìà èç òðåõ âåêòîðîâ a1, a2, a3 ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ a1, a2, a3 êîìïëàíàðíû.4) Ñèñòåìà èç ëþáûõ ÷åòûðåõ âåêòîðîâ a1, a2, a3, a4 (â ïðîñòðàíñòâå V3) ëèíåéíî çàâèñèìà.◃ 1) Î÷åâèäíî.2) ⇒ Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1 ñëåäóåò, ÷òî îäèí èç âåêòîðîâ a1, a2 ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç äðóãîé. Ïóñòü, ñêàæåì, a2 = λa1. Íî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a1 ∥ a2.Ïðåäëîæåíèå1.4.Ïðåäëîæåíèå 1.5.Òåîðåìà 1.1.8Åñëè a1 = 0, òî ñèñòåìà èç îäíîãî âåêòîðà a1 ëèíåéíî çàâèñèìà ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.2 ñèñòåìà a1, a2 òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìà.Åñëè æå a1 ̸= 0, òî èç êîëëèíåàðíîñòè a1 ∥ a2 âûòåêàåò (ïî ïðåäëîæåíèþ 1.5), ÷òî a2ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1 ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.1 ñèñòåìà a1, a2 ëèíåéíî çàâèñèìà.3) ⇒ Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1 ñëåäóåò, ÷òî îäèí èç âåêòîðîâ a1, a2, a3 ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç äðóãîé.
Ïóñòü, ñêàæåì, a3 ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì a1 è a2. Òîãäà èç ïðåäëîæåíèÿ1.4 ñëåäóåò (òàê êàê äâà âåêòîðà âñåãäà êîìïëàíàðíû), ÷òî a1, a2, a3 êîìïëàíàðíû.⇐ Åñëè a1 ∥ a2 , òî ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ a1 , a2 ëèíåéíî çàâèñèìà (ïî ïóíêòó (2)ýòîé òåîðåìû) ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.2 ñèñòåìà a1, a2, a3 òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìà.Åñëè æå a1 ∦ a2, òî èç êîìïëàíàðíîñòè a1, a2, a3 âûòåêàåò (ïî ïðåäëîæåíèþ 1.5), ÷òî a3ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1 è a2 ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.1 ñèñòåìà a1, a2, a3 ëèíåéíîçàâèñèìà.4) Åñëè a1, a2, a3 êîìïëàíàðíû, òî ñèñòåìà èç òðåõ âåêòîðîâ a1, a2, a3 ëèíåéíî çàâèñèìà (ïî ïóíêòó (3) ýòîé òåîðåìû) ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.2 ñèñòåìà a1, a2, a3, a4 òàêæåëèíåéíî çàâèñèìà.Åñëè æå a1, a2, a3 íå êîìïëàíàðíû, òî (ïî ïðåäëîæåíèþ 1.5) a4 ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç a1, a2 è a3 ⇒ ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.1 ñèñòåìà a1, a2, a3 ëèíåéíî çàâèñèìà.
⇐ÁàçèñÓïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ e = (e1, e2, . . . , en) èç V íàçûâàåòñÿáàçèñîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V , åñëè îíà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, è ëþáîé âåêòîð èçV ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì ýòîé ñèñòåìû.Îïðåäåëåíèå. ÷àñòíîñòè, îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ýòî îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ÿâëÿþùàÿñÿ áàçèñîì, à îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ (ñîêðàùåííî ÎÍÁ) ýòî îðòîíîðìèðîâàííàÿñèñòåìà âåêòîðîâ, ÿâëÿþùàÿñÿ áàçèñîì.(îïèñàíèå áàçèñîâ) Óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà èç n âåêòîðîâ (e1, e2, . . .
, en)âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â V ⇔1) â ñëó÷àå V = V1: n = 1 è e1 ̸= 0;2) â ñëó÷àå V = V2: n = 2 è e1 ∦ e2;3) â ñëó÷àå V = V3: n = 3 è e1, e2, e3 íå êîìïëàíàðíû.◃ 1) Î÷åâèäíî, ÷òî áàçèñ â V1 äîëæåí ñîäåðæàòü õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð.Èç ï. 2) òåîðåìû 1.1 è ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî áàçèñ â V1 íå ìîæåò ñîñòîÿòü áîëåå,÷åì èç îäíîãî âåêòîðà.Îñòàåòñÿ åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: áàçèñ ìîæåò ñîñòîÿòü èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà.
Î÷åâèäíî, ñèñòåìà èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ áàçèñàâ V1.2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàçèñ â V2 ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ, è ïóñòüýòè âåêòîðû ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé l. Òîãäà âåêòîð a ∦ l íå ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîâåêòîðàì áàçèñà ïðîòèâîðå÷èå. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî áàçèñ â â V2 ñîäåðæèòíå ìåíåå äâóõ âåêòîðîâ.Èç ï. 3) òåîðåìû 1.1 è ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî áàçèñ â V2 íå ìîæåò ñîñòîÿòü áîëåå,÷åì èç äâóõ âåêòîðîâ.Îñòàåòñÿ åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: áàçèñ ìîæåò ñîñòîÿòü èç äâóõ íåêîëëèíåàðíûõâåêòîðîâ. Èç ï.
2) òåîðåìû 1.1 è ï. 2) ïðåäëîæåíèÿ 1.5 ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà èç äâóõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ â V2 óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ áàçèñà.3) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàçèñ â V3 ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ, è ïóñòüýòè âåêòîðû ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïëîñêîñòè σ. Òîãäà âåêòîð a ∦ σ íå ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîÒåîðåìà 1.2.9âåêòîðàì áàçèñà ïðîòèâîðå÷èå. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî áàçèñ â â V3 ñîäåðæèòíå ìåíåå òðåõ âåêòîðîâ.Èç ï. 4) òåîðåìû 1.1 è ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî áàçèñ â V3 íå ìîæåò ñîñòîÿòü áîëåå,÷åì èç òðåõ âåêòîðîâ.Îñòàëàñü åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü: áàçèñ ìîæåò ñîñòîÿòü èç òðåõ íåêîìïëàíàðíûõâåêòîðîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
