Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Äëÿ âåêòîðîâ a, b ∈ V3 ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) a ∥ b; 2) [a, b] = 0; 3) a, b, [a, b] êîìïëàíàðíû.Ïðåäëîæåíèå 5.1.Ïðåäëîæåíèå 5.2.18Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå a ∥ b óñëîâèÿ 2) è 3) âûïîëíåíû, à â ñëó÷àåîáà ýòè óñëîâèÿ íàðóøàþòñÿ. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïðîÿñíÿåò, ïî÷åìó îðèåíòèðîâàííûé îáúåì òàêæå íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì.∀ a, b, c ∈ V3 âûïîëíåíî1) (a, b, c) = ([a, b], c) ;2) (a, b, c) = (a, [b, c]) .◃ 1) Åñëè a ∥ b, òî îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà ðàâíû 0.Ïóñòü a ∦ b. Èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî âåêòîðde, èñïîëüçóåìûé â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4.1, ðàâåí, ãäå d = [a, b].
Îòñþäà|d|◃a∦bÒåîðåìà 5.1.((a, b, c) = |S± (a, b)| · (e, c) = |[a, b]| ·d,c|d|)= |d| ·(d, c)= (d, c) = ([a, b], c).|d|2) Èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà è òåîðåìû 4.1 ñëåäóåò, ÷òî(a, [b, c]) = ([b, c], a) = (b, c, a) = (a, b, c). (àíòèñèììåòðè÷íîñòü è ëèíåéíîñòü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ) ∀ a, b, c ∈ V3,âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:(àíòèñèììåòðè÷íîñòü);1)2) [λa, b] = λ[a, b] ;3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c] .◃ 1) Åñëè a ∥ b, òî îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà ðàâíû 0.Èíà÷å òðîéêà b, a, −[a, b] ïðàâàÿ, è çíà÷èò âåêòîð −[a, b] óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì â îïðåäåëåíèè âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ b íà a.2), 3) Ðàññìîòðèì ÎÍÁ e = (e1, e2, e3), è äîêàæåì òðåáóåìûå ðàâåíñòâà âåêòîðîâ ïîêîîðäèíàòíî (ñì. ïðåäëîæåíèå 1.6), ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùåé òåîðåìîé, ñëåäñòâèåì èç òåîðåìû 3.2è ëèíåéíîñòüþ îðèåíòèðîâàííîãî îáúåìà (òåîðåìà 4.1).Èìååì (äëÿ i = 1, 2, 3): ([λa, b], ei) = (λa, b, ei) = λ(a, b, ei) = λ([a, b], ei), òî åñòü i-ÿêîîðäèíàòà âåêòîðà [λa, b] ïîëó÷àåòñÿ èç i-é êîîðäèíàòû âåêòîðà [a, b] äîìíîæåíèåì íà λ.Äàëåå: ([a + b, c], ei) = (a + b, c, ei) = (a, c, ei) + (b, c, ei) = ([a, c], ei) + ([b, c], ei), òî åñòüi-ÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà [a + b, c] ðàâíà ñóììå i-õ êîîðäèíàò âåêòîðîâ [a, c] è [b, c].
Ðàâåíñòâà 2) è 3) èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû îçíà÷àþò, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî âòîðîìó àðãóìåíòó. Íî òîãäà èç ðàâåíñòâà 1) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü è ïî ïåðâîìóàðãóìåíòó.(êîîðäèíàòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ) Ïóñòü e = (e1, e2, e3) ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé ÎÍÁ â V3 ;δ1β1α1a = e α2 , b = e β2 . Òîãäà [a, b] = e δ2 , ãäåÒåîðåìà 5.2.∀λ ∈ R[b, a] = −[a, b]Òåîðåìà 5.3. β3 α3 α1 α2 α3 α1 α2 α3 δ =δ =δ1 = β2 β3 2 β3 β1 3 β1 β2 ,,δ3.◃ Ïîëüçóÿñü ïðåäëîæåíèåì 5.1 è òåîðåìîé 5.2, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî [ei , ei ] = 0, ïîëó÷èì[a, b] = [α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 , β1 e1 + β2 e2 + β3 e3 ] == α1 β2 [e1 , e2 ] + α2 β1 [e2 , e1 ] + α1 β3 [e1 , e3 ] + α3 β1 [e3 , e1 ] + α2 β3 [e2 , e3 ] + α3 β2 [e3 , e2 ] == (α1 β2 − α2 β1 )[e1 , e2 ] + (α3 β1 − α1 β3 )[e3 , e1 ] + (α2 β3 − α3 β2 )[e2 , e3 ] = δ3 e3 + δ2 e2 + δ1 e1 .
19Ðàâåíñòâî e1 e2 e3 [a, b] = α1 α2 α3 β1 β2 β3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäîáíîå ñèìâîëè÷åñêîå ïðàâèëî äëÿóòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû: ðàñêðûâàåì îïðåäåëèòåëü è ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå [a, b]ïî ïðàâîìó ÎÍÁ e.Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîèçâîëüíîì áàçèñåèìååò âèä:Çàìå÷àíèå.[e2 , e3 ] [e3 , e1 ] [e1 , e2 ]α2α3 [a, b] = α1 β1β2β3 Åå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîâòîðèâ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.3 âïëîòü äî ïîñëåäíåãî çíàêà ðàâåíñòâà.Çàâåðøàÿ ðàçãîâîð î âåêòîðíîì ïðîèçâåäåíèè, äîêàæåì ôîðìóëó ðàñêðûòèÿ äâîéíîãîïðîèçâåäåíèÿ, â óñòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì ôîëüêëîðå èìåíóåìóþ "áàö ìèíóñ öàá".∀ a, b, c ∈ V3 âûïîëíåíî ðàâåíñòâîÏðåäëîæåíèå 5.3.[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b).Âûáåðåì ïðàâûé ÎÍÁ e = (e1, e2, e3) â V3 òàê, ÷òîáû e1 è c áûëè êîëëèíåàðíû,à âåêòîðû e1, e2 è b êîìïëàíàðíû.Òîãäàâåêòîðîâ a, b, c áóäóò âûãëÿäåòü êîîðäèíàòû α1β1γñëåäóþùèì îáðàçîì: a = e α2, b = e β2, c = e 0.
Òîãäà (ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 5.3)◃0 00−α2 β2 γïîëó÷àåì: [b, c] = e 0 , [a, [b, c]] = e α1β2γ .−β2 γ0Ñ äðóãîé ñòîðîíû,, (a, b) = α1β1 +α2β2, ïîýòîìó(a, c) =α1 γ−α2 β2 γα1 γβ1(α1 β1 + α2 β2 )γ = e α1 β2 γ . 0b(a, c) − c(a, b) = e α1 γβ2 − 000 α320Ãëàâà 2Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè ýòîé ãëàâå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ïëîñêîñòè P2 èëè â ïðîñòðàíñòâå P3 ââåäåíà ÄÑÊ(O, e), ãäå e = (e1 , . . . , en ) áàçèñ (n = 2 äëÿ ïëîñêîñòè è n = 3 äëÿ ïðîñòðàíñòâà).Àáñöèññû, îðäèíàòû è àïïëèêàòû òî÷åê â äàííîé ÄÑÊ îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî x, y, z.Êàê îáû÷íî, ïðÿìûå Ox, Oy, Oz íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò, à ïëîñêîñòè Oxy, Oyz, Ozx êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè.§1.
Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè.Ñïîñîáû çàäàíèÿ.Ïðÿìàÿ l îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ òî÷êîé M0 ∈ l è íåíóëåâûì íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a.Ïóñòü M0 èìååò ðàäèóñ-âåêòîðr0 , è ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M èìååò ðàäèóñ-âåêòîð r.−−−→Òîãäà M ∈ l ⇔ âåêòîðû M0M = r−r0 è a êîëëèíåàðíû ⇔ r−r0 ïðîïîðöèîíàëåí âåêòîðó a.Òàêèì îáðàçîì, èìååì âåêòîðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèår = r0 + ta .(2.1){x = x0 + α1 ty = y0 + α2 t,( ) ( ) ( )xx0α1,,yy0α2Ýòî óðàâíåíèå èìååò êîîðäèíàòíóþ çàïèñüãäåêîîðäèíàòíûå ñòîëáöû òî÷åê M , M0 è âåêòîðà a ñîîòâåòñòâåííî.Ïðè α1 ̸= 0, α2 ̸= 0 óðàâíåíèå (2.1) ëåãêî ïåðåâîäèòñÿ â êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèåx − x0y − y0 1=.α1α2(2.2)Òàêæå ïðÿìàÿ l çàäàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåìAx + By + C = 0 ,(2.3)ãäå |A| + |B| > 0.
Èíîãäà äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îáîçíà÷àòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ Ax + By + C÷åðåç L(x, y) èëè L, òåì ñàìûì îáùåå óðàâíåíèå (2.3) áóäåò çàïèñûâàòüñÿêàê L = 0.( )A 2Ñ îáùèì óðàâíåíèåì (2.3) ñâÿæåì ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð n = B .Èíîãäà çàïèñü (2.2) èñïîëüçóþò è â ñëó÷àå α1 = 0 èëè α2 = 0.Êàê óâèäèì äàëåå, â ïðåäëîæåíèè 1.3, äëÿ ÏÄÑÊ ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì (òîåñòü ïåðïåíäèêóëÿðíûì) ê ïðÿìîé.1221( )α1a=α2Aα1 + Bα2 = 0(êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè) Äëÿ òîãî, ÷òîáû âåêòîðïàðàëëåëåí ïðÿìîé Ax + By + C = 0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû◃ Àíàëîãè÷íî ïðåäëîæåíèþ 2.1 (òîëüêî ïðîùå). Ïðåäëîæåíèå 1.1.()Ñëåäñòâèå 1.ÂåêòîðÑëåäñòâèå 2.Ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð n íå ïàðàëëåëåí ïðÿìîé (2.3).−BAáûë.ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëÿþùèì äëÿ ïðÿìîé (2.3).Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõÄâå ïðÿìûå, çàäàííûå îáùèìè óðàâíåíèÿìè L1 = 0, L2 = 0 âèäà (2.3)ïàðàëëåëüíû èëè ñîâïàäàþò ⇔ n1 ∥ n2, ïðè÷åì ïðÿìûå ñîâïàäàþò ⇔ L1 è L2 ïðîïîðöèîíàëüíû.( ) ( )A1◃  ñëó÷àå n1 ∥ n2 ñòîëáöûè BA22 ïðîïîðöèîíàëüíû, çíà÷èò óðàâíåíèÿ ïðÿìûõB1èìåþò âèä A1x + B1y + C1 = 0 è λ(A1x + B1y) + C2 = 0.
Ïðè C2 = λ1 ýòè óðàâíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû, çíà÷èò çàäàþò îäíó è òó æå ïðÿìóþ. Èíà÷å ñèñòåìà èç ýòèõ äâóõ óðàâíåíèéèìååò ïóñòîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ò.å. l1 è l2 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. ñëó÷àå n1 ∦ n2 ñèñòåìà óðàâíåíèé L1 = 0, L2 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ò.å.ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ïðåäëîæåíèå 1.2.Ëèíåéíîå íåðàâåíñòâîÎò íåêîòîðîé òî÷êè ïðÿìîé l, çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì L = 0, îòëîæèì âåêòîð n. Òóïîëóïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæèò êîíåö ýòîãî âåêòîðà (ïî ñëåäñòâèþ èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1 îííå ëåæèò íà ïðÿìîé), îáúÿâèì ïîëîæèòåëüíîé, à äðóãóþ ïîëóïëîñêîñòü îòðèöàòåëüíîé.(Åñëè èçìåíèòü çíàê â óðàâíåíèè, òî åñòü ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå −L = 0, òî ïîëîæèòåëüíàÿ è îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóïëîñêîñòè ïîìåíÿþòñÿ ðîëÿìè.)( )xMyL=0ëåæèò â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿÒî÷êàìîé, çàäàííîé óðàâíåíèåìâèäà (2.3) ⇔ L(x, y) > 0.◃ Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.1.
Òåîðåìà 1.1.Ïó÷îê ïðÿìûõÎïðåäåëåíèå.äÿùèõ ÷åðåç M .Ïó÷êîì ïðÿìûõ ñ öåíòðîì M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïðÿìûõ, ïðîõî-Ïó÷îê îáîçíà÷àåì Π(M ). Ïó÷îê îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïðÿìûìè.Ïóñòü Li = 0 îáùèå óðàâíåíèÿ âèäà (2.3) ïðÿìûõ li, i = 1, 2, 3, ïðè ýòîìïðÿìûå l1 è l2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M .
Ïðÿìàÿ l3 ïðèíàäëåæèò ïó÷êó Π(M ) ⇔ ∃ λ1, λ2òàêèå, ÷òî L3 = λ1L1 + λ2L2.◃ Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.2. Òåîðåìà 1.2.22Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé è ìåòðè÷åñêèå çàäà÷èÑ ýòîãî ìîìåíòà äî êîíöà ïàðàãðàôà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÄÑÊ ïðÿìîóãîëüíàÿ.Ïóñòü l ïðÿìàÿ, çàäàííàÿ îáùèì óðàâíåíèåì L = 0. Òîãäà n ⊥ l.◃ Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ 2.4 (òîëüêî ïðîùå). Òàêèì îáðàçîì, â ÏÄÑÊ ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûì, èëè íîðìàëüíûì ê ïðÿìîé.Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé (â ñèëó òåîðåìû 3.2 ãëàâû 1) ïðèîáðåòàåò âèä(r, n) + C = 0 .(2.4)Óðàâíåíèå (2.4) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.Âûâåäåì ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíûõ ìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ (òî åñòü çàäà÷àõ îá èçìåðåíèè ðàññòîÿíèé è óãëîâ).(pàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé) Ïóñòü l ïðÿìàÿ, çàäàííàÿ íîðìàëüíûìóðàâíåíèåì(2.4) èëè îáùèì óðàâíåíèåì (2.3).
Òîãäà ðàññòîÿíèå îò òî÷êè( )|(r0 , n) + C||Ax0 + By0 + C|x0√M0äîïðÿìîél ðàâíî ρ(M0 , l) =èëèρ(M0 , l) =ñîy0|n|A2 + B 2îòâåòñòâåííî.◃ Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ 2.5. Çàäà÷à ïîèñêà óãëà ìåæäó ïðÿìûìè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷è îòûñêàíèè óãëà ìåæäó èõ íàïðàâëÿþùèìè èëè èõ íîðìàëüíûìè âåêòîðàìè.Ïðåäëîæåíèå 1.3.Ïðåäëîæåíèå 1.4§.2. Ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâåÑïîñîáû çàäàíèÿÏëîñêîñòü σ ⊂ P3 îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ òî÷êîé M0 ∈ σ è ïàðîé íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâa è b, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè σ .
(Âåêòîðû a è b èíîãäà íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèìè äëÿïëîñêîñòè σ.)Ïóñòü M0 èìååò ðàäèóñ-âåêòîðr0 , è ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M èìååò ðàäèóñ-âåêòîð r.−−−→Òîãäà M ∈ σ ⇔ âåêòîðû M0M = r − r0, a è b êîìïëàíàðíû ⇔ r − r0 ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ÷åðåç âåêòîðû a è b.Òàêèì îáðàçîì, èìååì âåêòîðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèår = r0 + ta + sb ,(2.5)ãäå a ∦ b.Ýòî óðàâíåíèå èìååò êîîðäèíàòíóþ çàïèñü β1α1α2 , β2 β3α3x = x0 + α1 t + β1 sy = y0 + α2 t + β2 sz = z0 + α3 t + β3 s, ãäå xx0y , y0 ,z0z êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû òî÷åê M , M0 è âåêòîðîâ a è b ñîîòâåòñòâåííî.Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì êîìïëàíàðíîñòè (ïðåäëîæåíèå 4.4 ãëàâû 1), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå(r − r0 , a, b) = 0 .(2.6)23Òàêæå ïëîñêîñòü σ çàäàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì(2.7)ãäå |A| + |B| + |C| > 0 (òî åñòü ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ L = L(x, y, z) = Ax + By + Cz + Dîòëè÷íàAx + By + Cz + D = 0 ,An B .C α1a α2 α3îò êîíñòàíòû). Ñ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (2.7), ñâÿæåì ñîïóòñòâóþùèé âåêòîðÏðåäëîæåíèå 2.1(êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà è ïëîñêîñòè) Âåêòîð.ðàëëåëåí ïëîñêîñòè σ, çàäàííîé óðàâíåíèåì (2.7) ⇔◃Ïóñòü x0M0 y0 z0Aα1 + Bα2 + Cα3 = 0.ïà- íåêîòîðàÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè σ, òàê ÷òî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.x0 + α1Îòëîæèì îò M0 âåêòîð a, êîíöîì ýòîãî âåêòîðà áóäåò òî÷êà M1 y0 + α2 .z0 + α3Èìååì: a ∥ σ ⇔ M1 ∈ σ ⇔ A(x0 + α1) + B(y0 + α2) + C(z0 + α3) + D = 0 ⇔(Ax0 + By0 + Cz0 + D) + (Aα1 + Bα2 + Cα3 ) = 0 ⇔ Aα1 + Bα2 + Cα3 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
