Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Åñëè æå c ̸= 0, ðàññìîòðèì ïðîåêöèè âåêòîðîâ íàc. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî îïåðàöèÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíà. (Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîò→−−→ðèì íàïðàâëåííûå îòðåçêè −AB= a è BC = b. Ïóñòü A′ , B ′ , C ′ ïðîåêöèè ñîîòâåò−−→−−→ñòâåííî òî÷åê A−,→B , C−−→íà ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþc. Òîãäà prc a = A′ B ′ , prc b = B ′ C ′ ,−−→prc (a + b) = prc AC = A′ C ′ , prc (λa) = λA′ B ′ ).c)(b, c)c+c. ÎòñþäàÈìååì prc(a + b) = (a +|c|b,2 c) c, prc a + prc b = (a,|c|2|c|2Òåîðåìà 3.1.(a + b, c)(a, c)(b, c)c =c+c. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû22|c||c||c|2ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (a + b, c) = (a, c) + (b, c).14ïðè c è äîìíîæàÿ íà|c|2 ,c)(a, c)Àíàëîãè÷íî, (λa,c=pr(λa)=λpr(a)=λc, îòêóäà (λa, c) = λ(a, c). cc|c|2|c|2Ðàâåíñòâà 3) èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû îçíà÷àþò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïîïåðâîìó àðãóìåíòó. Íî òîãäà èç ðàâåíñòâà 2) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü è ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.Òåîðåìà 3.2.Ïóñòü e ÎÍÁ â V , è α1β1 α2  β2   a = e  b = e   αnβn...

,... Òîãäà(a, b) = α1 β1 + α2 β2 + . . . + αn βn .◃ (a, b) = (α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en , β1 e1 + β2 e2 + . . . + βn en ).Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê(ïîëüçóåìñÿ ëèíåéíîñòüþ ñì. ïðåäûäóùóþ òåîðåìó), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî (ei, ej ) ðàâíî 0äëÿ ðàçëè÷íûõ i è j , è ðàâíî 1 äëÿ ðàâíûõ i è j , ïîëó÷àåì íóæíîå âûðàæåíèå. Ñëåäñòâèå.Ïóñòü e = (e1, e2, .

. . , en) ÎÍÁ â V , èα1 α2  a = e  αn... . Òîãäàαi = (a, ei ).Òåîðåìà 3.2 äàåò ðåöåïò äëÿ âû÷èñëåíèé â ÏÄÑÊ äëèí âåêòîðîâ èëè ðàññòîÿíèé ìåæäó√òî÷êàìè (èáî |a| = (a, a)), óãëîâ ìåæäó âåêòîðàìè (ïîñêîëüêó cos ∠(a, b) = |a|(a,· b))è|b|ïðîåêöèé âåêòîðà íà çàäàííîå íàïðàâëåíèå.Ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå (ðàñêðûâàÿ ñêîáêó (a, b) = (α1e1 +α2e2 +.

. .+αnen, β1e1 +β2e2 +. . .+βnen)). ìàòðè÷íîì âèäå ôîðìóëà èìååò âèä (a, b) = αT Γβ , ãäå a = eα, b = eβ (ò.å. α è β êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû âûêòîðîâ a è b), à Γ ìàòðèöà Ãðàìà (γij ), ãäå γij = (ei, ej ).(Ìàòðèöó Ãðàìà ìîæíî íàçâàòü òàáëèöåé ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ.)Çàìå÷àíèå.§4. Îðèåíòèðîâàííûå îáúåìû è ïëîùàäèÎðèåíòàöèÿ íà ïëîñêîñòèÍà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå ââåäåì ïîíÿòèå îðèåíòàöèè áàçèñà.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïëîñêîñòü P2 ëåæèò â ïðîñòðàíñòâå P3. Ïóñòü â ïëîñêîñòè P2âûáðàí áàçèñ, òî åñòü çàôèêñèðîâàíà óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ a èb. Äëÿ óäîáñòâà îòëîæèì ýòè âåêòîðû îò îäíîé òî÷êè O. Îäíî èç ïîëóïðîñòðàíñòâ, íàêîòîðûå P2 äåëèò ïðîñòðàíñòâî, îáúÿâèì ïîëîæèòåëüíûì.

Ñóùåñòâóåò ïîâîðîò ïðîòèâ÷àñîâîé ñòðåëêè (ïðè âçãëÿäå èç ïîëîæèòåëüíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà) âîêðóã O íà óãîëφ ∈ (0, 2π), ïåðåâîäÿùèé âåêòîð a â âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ âåêòîðîì b. (Ýòîò óãîëφ èíîãäà íàçûâàþò óãëîì ïîâîðîòà (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) îò âåêòîðà a äî âåêòîðàb). Åñëè φ ∈ (0, π), òî áàçèñ a, b íàçîâåì ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì, â ïðîòèâíîìñëó÷àå (òî åñòü åñëè φ ∈ (π, 2π)) îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîäàííîå îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè O.Áàçèñû a, b è b, a èìåþò ðàçíóþ îðèåíòàöèþ.Ïðåäëîæåíèå 4.1.15Ñëåäóåò ïðÿìî èç îïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó ñóììà óãëà ïîâîðîòà îò a äî b è óãëàïîâîðîòà îò b äî a ðàâíà 2π.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îðèåíòàöèÿ áàçèñà íà ïëîñêîñòè çàâèñèò îò âûáîðà ïîëîæèòåëüíîãîïîëóïðîñòðàíñòâà. Åñëè â êà÷åñòâå ïîëîæèòåëüíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà âûáðàòü ïðîòèâîïîëîæíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî, òî ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûå áàçèñû ñòàíóò îòðèöàòåëüíîîðèåíòèðîâàííûìè, è íàîáîðîò.◃Îðèåíòàöèÿ â ïðîñòðàíñòâåÏóñòü â ïðîñòðàíñòâå âûáðàíáàçèña, b, c. Îòëîæèì ýòè âåêòîðû îò îäíîé òî÷êè O, òî−→−−→→åñòü ïîñòðîèì âåêòîðû OA = a, OB = b, −OC= c. Èç äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ îòíîñèòåëüíîïëîñêîñòè OAB , îáúÿâèì ïîëîæèòåëüíûì òî, êîòîðîå ñîäåðæèò òî÷êó C . Òåì ñàìûì ìûââîäèì îðèåíòàöèþ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â ïëîñêîñòèOAB . Åñëè â îïèñàííîé ñèòóàöèè óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà âåêòîðîâ a, b ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî áàçèñ a, b, c ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí,èëè ÷òî òðîéêà a, b, c ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé òðîéêîé.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå a, b, c íàçîâåì îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì áàçèñîì, èëè ëåâîé òðîéêîé. ßñíî, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè O.Óïîðÿäî÷åííûå òðîéêè b, c, a è c, a, b èìåþò òó æå îðèåíòàöèþ,÷òî è òðîéêà a, b, c, à òðîéêè b, a, c, c, b, a, a, c, b èìåþò îðèåíòàöèþ, ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèè òðîéêè a, b, c.◃ Ïóñòü, îïðåäåëåííîñòè, òðîéêà a, b, c ïðàâàÿ (äëÿ ëåâîé òðîéêè äîêàçàòåëüñòâî àíà→−−→−→ëîãè÷íî). Ïóñòü âåêòîðû îòëîæåíû îò îäíîé òî÷êè O: −OA= a, OB = b, OC = c. Ðàññìàòðèâàÿ òðåõãðàííûé óãîë âåðøèíîé O è ðåáðàìè OA, OB , OC , âèäèì, ÷òî óãîë ïîâîðîòàïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ïðè âçãëÿäå èç ïîëóïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè OBC ,ñîäåðæàùåãî òî÷êó A) îò b äî c ðàâåí ∠BOC ∈ (0, π).

Ñëåäîâàòåëüíî, òðîéêà b, c, a ïðàâàÿ. Òàê æå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî òðîéêà c, a, b ïðàâàÿ.Äàëåå, èç îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè è ïðåäëîæåíèÿ 4.1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî îðèåíòàöèÿ óòðîåê a, b, c è b, a, c ðàçëè÷íàÿ. Òî æå âåðíî äëÿ òðîåê b, c, a è c, b, a, à òàêæå äëÿ òðîåêc, a, b è a, c, b. Ïðåäëîæåíèå 4.2.Îðèåíòèðîâàííûéîáúåìïàðàëëåëåïèïåäà.Îðèåíòèðîâàííàÿïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììàÎòëîæèì âåêòîðû a, b, c îò òî÷êè O. Äîñòðîèì êîíñòðóêöèþ äî ïàðàëëåëåïèïåäà P (a, b, c),îòâå÷àþùåãîòðîéêå −a→, b, c (ïàðàëëåëåïèïåäP (a, b, c) èìååò âåðøèíû, çàäàííûå ðàäèóñ−→−−→−→−−→−−→−→âåêòîðàìèOO = 0, OA = a, OB = b, OC = c, OD = a + b, OE = b + c, OF = c + a,−→OG = a + b + c). Åñëè âåêòîðû a, b, c êîìïëàíàðíû, òî ó P (a, b, c) âñå âåðøèíû ëåæàò âîäíîé ïëîñêîñòè; â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàåì, ÷òî P (a, b, c) ïàðàëëåëåïèïåä íóëåâîãî îáúåìà(âûðîæäåííûé).Îðèåíòèðîâàííûì îáúåìîì ïàðàëëåëåïèïåäà P (a, b, c) íàçûâàåòñÿ÷èñëî ±V , ãäå V îáúåì P (a, b, c), çíàê ′′+′′ áåðåòñÿ â ñëó÷àå ïðàâîé òðîéêè a, b, c,à çíàê ′′−′′ â ñëó÷àå ëåâîé òðîéêè a, b, c.Îïðåäåëåíèå.Áóäåì îáîçíà÷àòü îðèåíòèðîâàííûé îáúåì V±(a, b, c) èëè ïðîñòî (a, b, c) (åñëè ýòî íåâûçîâåò äâóñìûñëåííîñòè).

×èñëî (a, b, c) íàçûâàåòñÿ òàêæå ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåìóïîðÿäî÷åííîé òðîéêè âåêòîðîâ a, b, c (ñì. òåîðåìó 5.1).16Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü S±(a, b) ïàðàëëåëîãðàììà, ñîîòâåòñòâóþùåãî óïîðÿäî÷åííîé ïàðå âåêòîðîâ a, b ∈ V2.Åñëè e = (e1, e2, e3) ÎÍÁ â V3, òî V±(e1, e2, e3) = ±1, ãäå çíàê′′ ′′+ ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ïðàâîé òðîéêè e1 , e2 , e3 , à çíàê ′′ −′′ ñëó÷àþ ëåâîé òðîéêèe1 , e2 , e3 .◃ Òàê êàê P (e1 , e2 , e3 ) ýòî åäèíè÷íûé êóá, òî |V± (e1 , e2 , e3 )| = 1.

Âûáîð çíàêà âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèé. Åñëè e = (e1, e2) ÎÍÁ â V3, òî S±(e1, e2) = ±1, ãäå çíàê ′′+′′ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîãî áàçèñà, à çíàê ′′−′′ îòðèöàòåëüíîîðèåíòèðîâàííîãî.◃ Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðåäëîæåíèþ. Ïðåäëîæåíèå 4.3.Ïðåäëîæåíèå 4.3.'Âåêòîðû a, b, c ∈ V3 êîìïëàíàðíû ⇔ V±(a, b, c) = 0.◃ Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé. Âåêòîðû a, b ∈ V êîëëèíåàðíû ⇔ S±(a, b) = 0.◃ Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé.

Ïðåäëîæåíèå 4.4.Ïðåäëîæåíèå 4.4.'∀ a, b, c, d ∈ V3 , ∀ λ ∈ R âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ îáúåìîâ:1) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = −(b, a, c) = −(c, b, a) = −(a, c, b) ;2) (a, b, λc) = λ(a, b, c) ;3) (a, b, c + d) = (a, b, c) + (a, b, d) .◃ 1) Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî îáúåìà è ïðåäëîæåíèÿ 4.2.2), 3)  ñëó÷àå a ∥ b ñâîéñòâà î÷åâèäíû.Ïóñòü a ∦ b.

Ðàññìîòðèì òàêîé âåêòîð e, ÷òî |e| = 1, e ⊥ a, e ⊥ b, è òðîéêà a, b, e ïðàâàÿ òðîéêà. Èç ôîðìóëû îáúåìà (a, b, c) = |S±(a, b)| · (±h), ãäå h âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà P (a, b, c). Çàìåòèì, ÷òî ìíîæèòåëü ±h ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ïðîåêöèè âåêòîðà cíà e. Îòñþäà (a, b, c) = |S±(a, b)| · (c, e). Òåïåðü ñâîéñòâà 2) è 3) âûòåêàþò èç ëèíåéíîñòèñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. òåîðåìó 3.1).Ðàâåíñòâà 2) è 3) èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû îçíà÷àþò, ÷òî îðèåíòèðîâàííûé îáúåì ëèíååíïî òðåòüåìó àðãóìåíòó. Íî òîãäà èç ðàâåíñòâà 1) ñëåäóåò ëèíåéíîñòü ïî êàæäîìó èç òðåõàðãóìåíòîâ.

Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ ïðåäûäóùåé, âåðíà è äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ ïëîùàäåé.∀ a, b, c ∈ V2 , ∀ λ ∈ R âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:1) S±(a, b) = −S±(b, a) ;2) S±(a, λb) = λS±(a, b) ;3) S±(a, b + c) = S±(a, b) + S±(a, c) .◃ Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû.  ñëåäóþùèõ òåîðåìàõ ðàñêðûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî èòðåòüåãî ïîðÿäêà.(îðèåíòèðîâàííûé îáúåì â êîîðäèíàòàõ) Ïóñòü e = (e1, e2, e3) áàçèñ(ïðîèçâîëüíûé) â V3;Òåîðåìà 4.1.Òåîðåìà 4.1.'Òåîðåìà 4.2.17  α1β1γ1a = e α2  b = e β2  c = e γ2 α3β3γ3,.

Ïîëîæèìα1 α2 α3 ∆ = β1 β2 β3 γ1 γ2 γ3 . ÒîãäàV± (a, b, c) = ∆ · V± (e1 , e2 , e3 ). ÷àñòíîñòè, a, b, c êîìïëàíàðíû ⇔ ∆ = 0.◃ Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäëîæåíèåì 4.3 è òåîðåìîé 4.1, à òàê æå òåì ôàêòîì, ÷òî(ei , ej , ek ) = 0 åñëè õîòÿ áû äâà èç èíäåêñîâ i, j, k ñîâïàäàþò (ñì. ïðåäëîæåíèå 4.4),ïîëó÷àåì: (a, b, c) = (α1e1 + α2e2 + α3e3, β1e1 + β2e2 + β3e3, γ1e1 + γ2e2 + γ3e3) == α1 β2 γ3 (e1 , e2 , e3 ) + α1 β3 γ2 (e1 , e3 , e2 ) + α2 β1 γ3 (e2 , e1 , e3 ) + α2 β3 γ1 (e2 , e3 , e1 )++α3 β1 γ2 (e3 , e1 , e2 ) + α3 β2 γ1 (e3 , e2 , e1 ) = α1 β2 γ3 (e1 , e2 , e3 ) − α1 β3 γ2 (e1 , e2 , e3 )−−α2 β1 γ3 (e1 , e2 , e3 ) + α2 β3 γ1 (e1 , e2 , e3 ) + α3 β1 γ2 (e1 , e2 , e3 ) − α3 β2 γ1 (e1 , e2 , e3 ) == ∆ · (e1 , e2 , e3 ).

Ñëåäñòâèå.(a, b, c) = ∆.Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû e ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé ÎÍÁ, òî(Ïóñòü) e = (e1 , e2 ) áàçèñ (ïðîèçâîëüíûé)α1 α2 β1b=e. Ïîëîæèì δ = β1 β2 . Òîãäàβ2Òåîðåìà 4.2.'(α1a=eα2),â V2 ;S± (a, b) = δ · S± (e1 , e2 ). ÷àñòíîñòè, a ∥ b ⇔ δ = 0.◃ Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû e ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé ÎÍÁ, òîÑëåäñòâèå.S± (a, b) = δ.§5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâÂåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåêòîð b (a, b ∈ V3) íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð c ∈ V3, ÷òî1) |c| = |S±(a, b)|;2) c ⊥ a, c ⊥ b;3) (ïðè a ∦ b) òðîéêà âåêòîðîâ a, b, c ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà.Îïðåäåëåíèå.Äëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå [a, b] (òàêæå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå a × b).Îïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî çàäàåò ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà [a, b] ïî âåêòîðàì a è b.Ñëåäóþùèå äâà ïðåäëîæåíèÿ âûòåêàþò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé.Åñëè e1, e2, e3 ïðàâûé ÎÍÁ â V3, òî [e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1,[e3 , e1 ] = e2 .◃ Ñëåäóåò èç ðàññìîòðåíèÿ åäèíè÷íîãî êóáà P (e1 , e2 , e3 ).

Характеристики

Список файлов лекций