Лекции по аналитической геометрии векторная алгебра, прямые и плоскости - Кожевников (1188214), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Èç ï. 3) òåîðåìû 1.1 è ï. 3) ïðåäëîæåíèÿ 1.5 ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà èç òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ â V3 óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ áàçèñà. Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî íàøè îáîçíà÷åíèÿ ñîãëàñóþòñÿ ñ êîëè÷åñòâîì âåêòîðîâ â áàçèñå: êàæäûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Vn (n = 1, 2, 3) ñîñòîèò èç n âåêòîðîâ.Êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñåÏóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V çàôèêñèðîâàí áàçèñ e = (e1, e2, . . . , en). Êîýôôèöèåíòû α1, α2, . . . , αn â ðàçëîæåíèèa = α1 e1 + α2 e2 + .

. . + αn en âåêòîðà a ∈ V ïî ýòîìó áàçèñó íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà a â áàçèñå e.Îïðåäåëåíèå.Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.3 ñëåäóåò, ÷òî óïîðÿäî÷åííûé íàáîð êîîðäèíàò âåêòîðà â áàçèñå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí. Äëÿ ëþáîãî óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà êîîðäèíàò èìååòñÿ âåêòîð èç Vèìåííî ñ òàêèì íàáîðîì êîîðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V çàôèêñèðîâàí áàçèñ e = (e1, e2, . . . , en), òî èìååòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóâåêòîðàìèèç V è óïîðÿäî÷åííûìè íàáîðàìè (α1, α2, . .

. , αn) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ñòîë aα1 α2 áåö α =  ..  íàçûâàåòñÿ . αnáàçèñå e. Çàïèñüêîîðäèíàòíûì ñòîëáöîì, èëè ñòîëáöîì êîîðäèíàò âåêòîðà a âa = eαáóäåò îçíà÷àòü, ÷òî a èìååò êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö α âáàçèñå e (ýòà çàïèñü ñîãëàñóåòñÿ ññèìâîëè÷åñêèì óìíîæåíèåì ìàòðèö:α1 α2  (e1 e2 . .

. en )  ..  . αn).(ëèíåéíîñòü ñîïîñòàâëåíèÿ êîîðäèíàò) Ïóñòü â Vn çàôèêñèðîâàí áàçèñ e = (e1, e2, . . . , en). Òîãäà ïðè ñëîæåíèè âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ñêëàäûâàþòñÿ, à ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ÷èñëî λ ∈ R ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòûóìíîæàþòñÿ íà λ.   Ïðåäëîæåíèå 1.6(Òî åñòü åñëè.α1 α2  a = e  αn... èβ1 β2  b = e  βn... , òîα1 + β1 α2 + β2 a + b = eα n + βn...èλα1 λα2 λa = e λαn... .)◃ Ïî óñëîâèþ a = α1 e1 +α2 e2 +.

. .+αn en , b = β1 e1 +β2 e2 +. . .+βn en . Ñëîæèâ ðàâåíñòâà,èìååì a + b = (α1 + β1)e1 + (α2 + β2)e2 + . . . + (αn + βn)en. Óìíîæèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íàλ, èìååì λa = (λα1 )e1 + (λα2 )e2 + . . . + (λαn )en . 10Çàìåíà áàçèñàÏóñòü e = (e1, e2, . . . , en) è e′ = (e′1, e′2, . . . , e′n) äâà áàçèñà â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå Vn.(Óñëîâíî íàçîâåì èõ ñòàðûé è íîâûé.)Ìàòðèöà S ðàçìåðà n × n, j -ûé ñòîëáåö êîòîðîé ðàâåí êîîðäèíàòíîìóñòîëáöó âåêòîðà e′j â áàçèñå e, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′.Îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû ïåðåõîäà ìîæíî ñèìâîëè÷åñêè çàïèñàòü â âèäå ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, èñïîëüçóÿ ñòðîêè èç âåêòîðîâ e = (e1, e2, . . . , en) è e′ = (e′1, e′2, .

. . , e′n):e′ = eS.Ïóñòü a ∈ Vn èìååò â áàçèñàõ eêîîðäèíàòíûå ñòîëáöû α è α′. ÒîãäàÒåîðåìà 1.3.= (e1 , e2 , . . . , en )è e′= (e′1 , e′2 , . . . , e′n )α = Sα′ ,ãäå S ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′.◃ "Ñèìâîëè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî"(ïðîâåðüòå ýòó âûêëàäêó â êîîðäèíàòàõ) âûãëÿäèòòàê: a = e′α′ = (eS)α′ = e(Sα′). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Sα′ ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòíûì ñòîëáöîìâåêòîðà a â áàçèñå e, òî åñòü ñîâïàäàåò ñî ñòîëáöîì α. 1.

Åñëè e = e′, òî ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê e′ èìååò âèä S = En, ãäå En åäèíè÷íàÿìàòðèöà.2. Åñëè e = (e1, e2) ÎÍÁ íà ïëîñêîñòè, à áàçèñ e′ = (e′1, e′2) ïîëó÷åí èç e ïîâîðîòîì (íà óãîë φ (â íàïðàâëåíèèîò e1 ê e2), òî ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê e′ èìååò âèä)cos φ − sin φS=.sin φ cos φÏóñòü e, e′, e′′ òðè áàçèñà â V . Ïóñòü S ìàòðèöà ïåðåõîäà îòe ê e , à R ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e′ ê e′′ . Òîãäà ìàòðèöà ïåðåõîäà îò e ê e′′ ðàâíà SR.◃ Ñèìâîëè÷åñêîå "äîêàçàòåëüñòâî": e′′ = e′ R = (eS)R = e(SR).

Ïðåäëîæåíèå 1.7.′§2. Ñèñòåìû êîîðäèíàòÄåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàòÏðè ôèêñàöèèíà÷àëà êîîðäèíàò O ïîëîæåíèå òî÷êè M çàäàåòñÿ îäíîçíà÷íî ðàäèóñ−→âåêòîðîì −OM.Äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ïðèìåì ñîêðàùåíèå ÄÑÊ) íà ïðÿìîé, íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå áóäåì íàçûâàòü ïàðó (O, e), ãäå O ∈ P íåêîòîðàÿ òî÷êà, íàçûâàåìàÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò, à e íåêîòîðûé áàçèñ â V .ÄÑÊ (O, e) áóäåì íàçûâàòü ïðÿìîóãîëüíîé (ïðèìåì ñîêðàùåíèåÏÄÑÊ), åñëè e ÎÍÁ.Îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.11Êîîðäèíàòàìè−−òî÷êèM â äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (O, e) íà→çûâàþòñÿ êîîðäèíàòû âåêòîðà OM â áàçèñå e.Îïðåäåëåíèå.Òàêèì îáðàçîì,êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö òî÷êè M â ÄÑÊ (O, e) ýòî êîîðäèíàòíûé ñòîë−−→áåö âåêòîðà OM âáàçèñå e.

Òîò ôàêò, ÷òî òî÷êà M ∈ P èìååò â ÄÑÊ (O, e) êîîðäèíàòíûéñòîëáåöx1 x2  X =  .. .xn←→áóäåì çàïèñûâàòü M (O,e)X . Òàêèì îáðàçîì,−−→←→M (O,e) X ⇔ OM = eX.Ñîõðàíÿåòñÿ ïðèâû÷íàÿ òåðìèíîëîãèÿ: äëÿ ÄÑÊ â P3 êîîðäèíàòû x1, x2, x3 íàçûâàþòñÿñîîòâåòñòâåííî àáñöèññà, îðäèíàòà, àïïëèêàòà è ÷àñòî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè x, y, z. Ïðÿìûå Ox, Oy, Oz, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò O ïàðàëëåëüíî áàçèñíûì âåêòîðàìe1 , e2 , e3 , íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò, à ïëîñêîñòè Oxy , Oyz , Ozx êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ïîìèìî îáîçíà÷åíèÿ (O, e) ÄÑÊ íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå áóäåì îáîçíà÷àòüOxy è Oxyz .(O, e) ÄÑÊ, Ïóñòü M è N íåêîòîðûå òî÷êè, ïðè÷åìÏðåäëîæåíèå←→M (O,e)◃2.1.x1 x2  ←→  N (O,e) xn... ,y1 y2    yn...

. Òîãäày1 − x1y−−→ 2 − x2 MN = e yn − xn....−−→ −−→Ñëåäóåò èç âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà −M−→N = ON − OM è ïðåäëîæåíèÿ 1.6. (Äåëåíèå îòðåçêàâ äàííîìîòíîøåíèè)Ïóñòü (O, e) ÄÑÊ, M è N Ïðåäëîæåíèå 2.2.x1 x2  ←→  N (O,e) xn←→ íåêîòîðûå òî÷êè, ïðè÷åì M (O,e)... ,MNy1 y2    yn... . Ïóñòü òî÷êà P äåëèò îòðåçîê←→â îòíîøåíèè λ ∈ R, òî åñòü −M−→P = λ−M−→N .

Òîãäà P (O,e)(1 − λ)x1 + λy1 (1 − λ)x2 + λy2 (1 − λ)xn + λyn....→ −−→−−→−−→−−→Ñëåäóåò èç âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà −OP= OM + λM N = (1 − λ)OM + λON è ïðåäëîæåíèÿ 1.6. ◃Çàìåíà äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÂûÿñíèì, êàê ñâÿçàíû êîîðäèíàòû îäíîé è òîé æå òî÷êè â ðàçíûõ ÄÑÊ.′ ′ çàìåíå ñèñòåìû êîîðäèíàò) Ïóñòü (O, e) è (O , e ) äâå ÄÑÊ, ïðè÷åì (îÒåîðåìà 2.1.γ1 γ2  ←→O′ (O,e) γ =   γn...

, à ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e′ ðàâíà S .12Ïóñòü òî÷êà M èìååò â ÄÑÊ (O, e) êîîðäèíàòíûé ñòîëáåöx′1 x′  2X′ =   x′n(O′ , e′ )êîîðäèíàòíûé ñòîëáåöx1 x2  X =   xn... , à â ÄÑÊ... . ÒîãäàX = SX ′ + γ.−−→′−−→−−→Ïî óñëîâèþOO = eγ , OM = eX , O′ M = e′ X ′ . Èç òåîðåìû 1.3 î çàìåíå áàçèñà âûòå→−−→ −−→ −−→êàåò, ÷òî −O−′M= e(SX ′ ). Èç ðàâåíñòâà OM = O′ M + OO′ , ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëîæåíèÿ1.6, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî X = SX ′ + γ .

◃Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòûÐàññìîòðèìíà ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ ÏÄÑÊ Oxy. Äëÿ òî÷êè M (x, y) îáîçíà÷èì√x2 + y 2 ïîëÿðíûé ðàäèóñ. Åñëè r ̸= 0, òî ïóñòü φ óãîë ïîâîðîòà ïðîòèâ ÷àñîâîé−→ñòðåëêè îò e1 äî −OM(ïîëÿðíûé óãîë). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî φ ∈ [0, 2π) èëè ÷òî φ îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî âèäà 2πk, k ∈ Z. Ïàðà (r, φ) ýòî ïîëÿðíûå êîîðäèíàòûòî÷êè M .{cos φ,Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ê ñîãëàñîâàííîé ÏÄÑÊ: xy == rr sinφ.r=Öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòûÏóñòü â ïðîñòðàíñòâå çàäàíà íåêîòîðàÿ ÏÄÑÊ Oxyz, à â ïëîñêîñòè Oxy ââåäåíû ïîëÿðíûåêîîðäèíàòû, ñîãëàñîâàííûå ñ ÏÄÑÊ Oxy.Ïóñòü ïðîåêöèÿ M ′ òî÷êè M (x, y, z) íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü Oxy èìååò ïîëÿðíûåêîîðäèíàòû (r, φ).

Ïîëîæåíèå òî÷êè M îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé M ′ è àïïëèêàòîé z.Òðîéêà (r, φ, z) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè M (x, y, z) (ñîãëàñîâàííûå ñ äàííîé ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò).[ π π]−→Ïóñòü R = |−OM|. Ïî ïîëîæåíèþ òî÷êè M îïðåäåëèì θ ∈ − ,ñëåäóþùèì îáðàçîì.22Åñëè z > 0 è M ′ ̸= O, ïîëîæèì θ = ∠M OM ′ (â ÷àñòíîñòè, θ = 0, åñëè M ∈ Oxy, M ̸= Oπ);åñëè z < 0 è M ′ ̸= O, ïîëîæèì θ = −∠M OM ′; åñëè z > 0 è M ′ = O, ïîëîæèì θ = 2 ;åñëè z < 0 è M ′ = O, ïîëîæèì θ = − π2 ; åñëè M = O, ñ÷èòàåì, ÷òî θ ðàâíî ïðîèçâîëüíîìó[]çíà÷åíèþ èç îòðåçêà − π2 , π2 .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî z = R sin θ, r = R cos θ.

Ïî ýòèì ôîðìóëàì ìîæíî, èñõîäÿ èç öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò, âû÷èñëèòü R, φ, θ, è íàîáîðîò, çíàÿ R, φ, θ, îïðåäåëèòü öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.Òðîéêà (R, φ, θ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè M (x, y, z) (ñîãëàñîâàííûå ñ äàííîé ÏÄÑÊ).Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ê ÏÄÑÊ:13x = R cos φ cos θ,y = R sin φ cos θ,z = R sin θ.§3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâÏóñòü a, b âåêòîðû èç V , è φ óãîë ìåæäó íèìè. ×èñëî |a|·|b| cos φíàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b.Îïðåäåëåíèå.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b îáîçíà÷àåòñÿ (a, b) (èíîãäà ïèøóò ab), òåìñàìûì, îïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü ôîðìóëîé(a, b) = |a| · |b| cos φ .Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó âûòåêàåòÏóñòü a, b ∈ V .

Òîãäà21) (a, a) = |a| ;2) a⊥b ⇔ (a, b) = 0 .◃ Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî åñëè õîòÿ áû îäèí èç âåêòîðîâ a è b íóëåâîé, òî (a, b) = 0. Ïðîåêöèþ âåêòîðà a íà ïðÿìóþ ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì b ̸= 0 áóäåì îáîçíà÷àòüprb a.Ïóñòü a, b ∈ V , b ̸= 0. ÒîãäàÏðåäëîæåíèå 3.1.Ïðåäëîæåíèå 3.2.prb a =(a, b)b.|b|2◃ Ïðîåêöèÿ prb a äëèíó |a| · | cos φ|, ãäå φ = ∠(a, b). Êðîìå òîãî, îíà ñîíàïðàâëåíà ñâ ñëó÷àå cos φ > 0 è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíà âåêòîðó b â ñëó÷àå cos φ < 0.

Ïîýòîbìó prb a = (|a| cos φ) |b|. (Âåëè÷èíà |a| cos φ èíîãäà íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ïðîåêöèåébb)b, ÷òî èâåêòîðà a íà íàïðàâëåíèå b). Ïðåîáðàçóåì: prb a = (|a| · |b| cos φ) |b|b 2 = (a,|b|2òðåáîâàëîñü.  ÷àñòíîñòè, åñëè |b| = 1, òî ïî ïðåäûäóùåìó ïðåäëîæåíèþ prb a = (a, b)b.∀ a, b, c ∈ V , ∀ λ ∈ R âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:1) (a, a) > 0 , ïðè÷åì (a, a) = 0 ⇔ a = 0.2) (b, a) = (a, b) (ñèììåòðè÷íîñòü);3à) (a + b, c) = (a, c) + (b, c) ;3á) (λa, c) = λ(a, c) .◃ 1) è 2) ñëåäóåò ñðàçó èç îïðåäåëåíèé.3) Ðàâåíñòâà î÷åâèäíû, åñëè c = 0.

Характеристики

Список файлов лекций